Итерированная система функций

Треугольник Серпинского, созданный с помощью IFS (раскрашен для иллюстрации самоподобной структуры)

Цветная IFS, разработанная с использованием программного обеспечения Apophys и визуализированная с помощью Electric Sheep .

В математике системы итерированных функций ( IFS ) представляют собой метод построения фракталов ; получающиеся в результате фракталы часто оказываются самоподобными . Фракталы IFS больше связаны с теорией множеств, чем с фрактальной геометрией. Они были представлены в 1981 году.

Фракталы IFS , как их обычно называют, могут иметь любое количество измерений, но обычно рассчитываются и рисуются в 2D. Фрактал состоит из объединения нескольких своих копий, каждая из которых преобразуется функцией (отсюда и «система функций»). Канонический пример — треугольник Серпинского . Функции обычно являются сжимающими , что означает, что они сближают точки и уменьшают формы. Следовательно, форма фрактала IFS состоит из нескольких, возможно, перекрывающихся меньших его копий, каждая из которых также состоит из копий самого себя, до бесконечности . В этом источник его самоподобной фрактальной природы.

Определение

Формально итерированная система функций представляет собой конечное множество сжимающих отображений на полном метрическом пространстве . Символически,

$\{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\dots ,N\},\ N\in \mathbb {N}$

является итерированной системой функций, если каждая $f_{i}$ является сжатием полного метрического пространства $X$.

Свойства

Построение IFS с помощью игры хаоса (анимация)

IFS создается с двумя функциями.

Хатчинсон показал, что для метрического пространства $\mathbb {R} ^{n}$или, в более общем смысле, для полного метрического пространства $X$, такая система функций имеет единственное непустое компактное (замкнутое и ограниченное) фиксированное множество S . Один из способов построения фиксированного набора состоит в том, чтобы начать с начального непустого замкнутого и ограниченного множества 0 _и действия fi , _{принимая} Sn + _{под 1} за объединение образов Sn _{итерировать} действием fi _S ; затем принимая S за замыкание предела $\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}$. Символически единственное фиксированное (непустое компактное) множество $S\subseteq X$ имеет собственность

$S={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S)}}.$

Таким образом, множество S является фиксированным набором оператора Хатчинсона. $F:2^{X}\to 2^{X}$ определено для $A\subseteq X$ с помощью

$F(A)={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A)}}.$

Существование и единственность S являются следствием принципа сжимающего отображения , как и тот факт, что

$\lim _{n\to \infty }F^{n}(A)=S$

для любого непустого компакта $A$ в $X$. (Для сжимающего IFS эта сходимость имеет место даже для любого непустого замкнутого ограниченного множества $A$). Случайные элементы, сколь угодно близкие к S, могут быть получены с помощью «игры в хаос», описанной ниже.

Недавно было показано, что IFS несжимающего типа (т.е. состоящие из отображений, не являющихся стягиванием относительно какой-либо топологически эквивалентной метрики в X ) могут давать аттракторы.Они естественным образом возникают в проективных пространствах, хотя классическое иррациональное вращение на окружности тоже можно адаптировать.

Коллекция функций $f_{i}$ генерирует моноид ​ при композиции . Если таких функций всего две, то моноид можно представить как бинарное дерево , где в каждом узле дерева можно составить ту или иную функцию ( т.е. взять левую или правую ветвь). В общем, если существует k функций, то можно представить моноид как полное k -арное дерево , также известное как дерево Кэли .

Конструкции

Папоротник Барнсли , ранний сорт IFS.

Губка Менгера , трехмерная IFS.

«Дерево» IFS, построенное с помощью нелинейной функции Джулии

Иногда каждая функция $f_{i}$ должно быть линейным или, в более общем смысле, аффинным преобразованием и, следовательно, представляться матрицей . Однако IFS также могут быть построены из нелинейных функций, включая проективные преобразования и преобразования Мёбиуса . Фрактальное пламя — пример IFS с нелинейными функциями.

Самый распространенный алгоритм вычисления фракталов IFS называется « игрой хаоса ». Он состоит из выбора случайной точки на плоскости, а затем итеративного применения одной из функций, случайно выбранных из системы функций, для преобразования точки и получения следующей точки. Альтернативный алгоритм состоит в том, чтобы сгенерировать каждую возможную последовательность функций до заданной максимальной длины, а затем построить график результатов применения каждой из этих последовательностей функций к начальной точке или форме.

Каждый из этих алгоритмов предоставляет глобальную конструкцию, которая генерирует точки, распределенные по всему фракталу. Если рисуется небольшая область фрактала, многие из этих точек выйдут за границы экрана. Это делает нецелесообразным масштабирование конструкции IFS, нарисованной таким образом.

Хотя теория IFS требует, чтобы каждая функция была сжимающей, на практике программное обеспечение, реализующее IFS, требует, чтобы вся система была сжимающей в среднем.

Системы секционированных итерированных функций

PIFS (системы секционированных итерированных функций), также называемые локальными системами итерированных функций, обеспечивают удивительно хорошее сжатие изображений, даже для фотографий, которые не имеют самоподобной структуры, которую демонстрируют простые фракталы IFS.

Обратная задача

Основная статья: Фрактальное сжатие

Существуют очень быстрые алгоритмы для создания изображения на основе набора параметров IFS или PIFS. Это быстрее и требует гораздо меньше места для хранения описания того, как оно было создано, передачи этого описания на целевое устройство и повторного создания этого изображения на целевом устройстве, чем сохранение и передача цвета каждого пикселя изображения. .

Обратная задача более сложна: для некоторого исходного произвольного цифрового изображения, например цифровой фотографии, попытаться найти набор параметров IFS, которые при итерационной оценке создают другое изображение, визуально похожее на оригинал.В 1989 году Арно Жакен представил решение ограниченной формы обратной задачи, используя только PIFS; общий вид обратной задачи остается нерешенным.

По состоянию на 1995 год все программное обеспечение для фрактального сжатия основано на подходе Жакена.

Примеры

На схеме показано построение IFS из двух аффинных функций. Функции представлены своим влиянием на двухединичный квадрат (функция преобразует обведенный квадрат в заштрихованный квадрат). Комбинация двух функций образует оператор Хатчинсона . Показаны три итерации оператора, а затем окончательное изображение фиксированной точки, конечного фрактала.

Ранние примеры фракталов, которые могут быть созданы с помощью IFS, включают набор Кантора , впервые описанный в 1884 году; и кривые де Рама — тип самоподобной кривой, описанный Жоржем де Рамом в 1957 году.

История

IFS в их нынешнем виде были задуманы Джоном Э. Хатчинсоном в 1981 году. и популяризирован Майкла Барнсли книгой «Фракталы повсюду» .

IFS предоставляют модели для определенных растений, листьев и папоротников благодаря самоподобию, которое часто встречается в ветвящихся структурах в природе.

- Майкл Барнсли и др.

См. также

• Комплексно-базовая система
• Теорема о коллаже
• Бесконечные композиции аналитических функций
• L-система
• Фрактальное сжатие

Ссылки

• Дравс, Скотт ; Эрик Рекейс (июль 2007 г.). «Алгоритм фрактального пламени» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 мая 2008 г. Проверено 17 июля 2008 г.
• Фальконер, Кеннет (1990). Фрактальная геометрия: Математические основы и приложения . Джон Уайли и сыновья. стр. 113–117, 136 . ISBN  0-471-92287-0 .
• Барнсли, Майкл ; Эндрю Винс (2011). «Игра в хаос в общей итеративной функциональной системе». Эргодическая теория Динам. Системы . 31 (4): 1073–1079. arXiv : 1005.0322 . Бибкод : 2010arXiv1005.0322B . дои : 10.1017/S0143385710000428 . S2CID   122674315 .
• Для исторического обзора и обобщения: Дэвид, Клэр (2019). «фрактальные свойства функций типа Вейерштрасса» . Труды Международного геометрического центра . 12 (2): 43–61. дои : 10.15673/tmgc.v12i2.1485 . S2CID   209964068 .

Внешние ссылки

• Букварь по элементарной теории бесконечных композиций комплексных функций