Решетка Бете

В статистической механике и математике решетка Бете (также называемая регулярным деревом ) представляет собой бесконечный связный граф без циклов , все вершины которого имеют одинаковое количество соседей. Решетка Бете была введена в физическую литературу Гансом Бете в 1935 году. В таком графе каждый узел соединен с z соседями; число z называется либо координационным числом , либо степенью в зависимости от поля.

Из-за особой топологической структуры статистическую механику решеточных моделей на этом графе часто легче решать, чем на других решетках. Решения связаны с часто используемым анзацем Бете для этих систем.

Основные свойства

При работе с решеткой Бете часто бывает удобно пометить данную вершину как корень, чтобы использовать ее в качестве ориентира при рассмотрении локальных свойств графа.

Размеры слоев

Как только вершина помечена как корень, мы можем сгруппировать другие вершины в слои в зависимости от их расстояния от корня. Количество вершин на расстоянии $d>0$ от корня это $z(z-1)^{d-1}$ , поскольку каждая вершина, кроме корня, смежна с $z-1$ вершины находятся на расстоянии, большем от корня, и корень примыкает к $z$ вершины на расстоянии 1.

В статистической механике

Решетка Бете представляет интерес для статистической механики главным образом потому, что модели решетки на решетке Бете часто легче решить, чем на других решетках, таких как двумерная квадратная решетка . Это связано с тем, что отсутствие циклов устраняет некоторые более сложные взаимодействия. Хотя решетка Бете не так точно описывает взаимодействия в физических материалах, как другие решетки, она все же может дать полезную информацию.

Точные решения модели Изинга

Модель Изинга — это математическая модель ферромагнетизма , в которой магнитные свойства материала представлены «спином» в каждом узле решетки, который равен +1 или -1. Модель также оснащена постоянным $K$ представляющий силу взаимодействия между соседними узлами и константу $h$ представляющее внешнее магнитное поле.

Модель Изинга на решетке Бете определяется статистической суммой

$Z=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{(i,j)}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right).$

Намагниченность

Чтобы вычислить локальную намагниченность, мы можем разбить решетку на несколько одинаковых частей, удалив вершину. Это дает нам рекуррентное соотношение, которое позволяет нам вычислить намагниченность дерева Кэли с n оболочками (конечный аналог решетки Бете) как

$M={\frac {e^{h}-e^{-h}x_{n}^{q}}{e^{h}+e^{-h}x_{n}^{q}}},$

где $x_{0}=1$ и ценности $x_{i}$ удовлетворить рекуррентное соотношение

$x_{n}={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x_{n-1}^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x_{n-1}^{q-1}}}$

В $K>0$ В случае, когда система ферромагнитна, приведенная выше последовательность сходится, поэтому мы можем взять предел для оценки намагниченности решетки Бете. Мы получаем

$M={\frac {e^{2h}-x^{q}}{e^{2h}+x_{q}}},$ где x — решение $x={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x^{q-1}}}$ .

У этого уравнения есть 1 или 3 решения. В случае, когда их 3, последовательность $x_{n}$ будет сходиться к наименьшему, когда $h>0$ и самый большой, когда $h<0$ .

Бесплатная энергия

Свободная энергия f в каждом узле решетки в модели Изинга определяется выражением

${\frac {f}{kT}}={\frac {1}{2}}[-Kq-q\ln(1-z^{2})+\ln(z^{2}+1-z(x+1/x))+(q-2)\ln(x+1/x-2z)]$ ,

где $z=\exp(-2K)$ и $x$ все как прежде. ^[1]

По математике

Вероятность возврата случайного блуждания

Вероятность того, что случайное блуждание по решетке Бете степени $z$ начиная с данной вершины, в конечном итоге возвращается в эту вершину, определяется выражением ${\frac {1}{z-1}}$ . Чтобы показать это, позвольте $P(k)$ быть вероятностью возвращения в исходную точку, если мы находимся на расстоянии $k$ прочь. У нас есть рекуррентное соотношение

$P(k)={\frac {1}{z}}P(k-1)+{\frac {z-1}{z}}P(k+1)$

для всех $k>1$ , поскольку в каждом месте, кроме начальной вершины, есть $z-1$ ребра, идущие от начальной вершины, и одно ребро, идущее к ней. Суммируя это уравнение по всем $k>1$ , мы получаем

$\sum _{k=1}^{\infty }P(k)={\frac {1}{z}}P(0)+{\frac {1}{z}}P(1)+\sum _{k=2}^{\infty }P(k)$ .

У нас есть $P(0)=1$ , поскольку это указывает на то, что мы только что вернулись в начальную вершину, поэтому $P(1)=1/(z-1)$ , и это то значение, которое нам нужно.

Обратите внимание, что это резко контрастирует со случаем случайных блужданий по двумерной квадратной решетке, вероятность возврата которой, как известно, равна 1. ^[2] Такая решетка является 4-регулярной, но 4-регулярная решетка Бете имеет вероятность возврата 1/3.

Количество закрытых прогулок

Можно легко оценить количество замкнутых блужданий длины $2k$ начиная с данной вершины решетки Бете степени $z$ снизу. Рассматривая каждый шаг либо как шаг наружу (от начальной вершины), либо как шаг внутрь (к начальной вершине), мы видим, что любой замкнутый путь длины $2k$ должно быть точно $k$ внешние шаги и $k$ шаги внутрь. Мы также, возможно, в любой момент не сделали больше шагов внутрь, чем шагов наружу, поэтому количество последовательностей направлений шагов (внутрь или наружу) определяется выражением $k$ номер каталонский $C_{k}$ . Есть по крайней мере $z-1$ вариантов для каждого шага наружу и всегда ровно 1 вариант для каждого шага внутрь, поэтому количество закрытых обходов не менее $(z-1)^{k}C_{k}$ .

Эта граница не является жесткой, поскольку на самом деле существуют $z$ выбор шага наружу из начальной вершины, который происходит в начале и любое количество раз во время прогулки. Точное количество прогулок вычислить сложнее, оно определяется по формуле

$(z-1)^{k}C_{k}\cdot {\frac {z-1}{z}}\ _{2}F_{1}(k+1/2,1,k+2,4(z-1)/z^{2}),$

где $_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)$ — гипергеометрическая функция Гаусса . ^[3]

Мы можем использовать этот факт для оценки второго по величине собственного значения $d$ -регулярный граф. Позволять $G$ быть $d$ -регулярный граф с $n$ вершины, и пусть $A$ быть его матрицей смежности . Затем ${\text{tr }}A^{2k}$ количество замкнутых дорожек длиной $2k$ . Количество закрытых прогулок по $G$ по крайней мере $n$ раз количество замкнутых блужданий на решетке Бете степени $d$ начиная с определенной вершины, поскольку мы можем сопоставить обходы решетки Бете с обходами по $G$ которые начинаются в заданной вершине и возвращаются только по уже пройденным путям. Прогулок часто бывает больше $G$ , поскольку мы можем использовать циклы для создания дополнительных обходов. Самое большое собственное значение $A$ является $d$ и позволяя $\lambda _{2}$ быть вторым по величине абсолютным значением собственного значения, мы имеем

$n(d-1)^{k}C_{k}\leq {\text{tr}}A^{2k}\leq d^{2k}+(n-1)\lambda _{2}^{2k}.$

Это дает $\lambda _{2}^{2k}\geq {\frac {1}{n-1}}(n(d-1)^{k}C_{k}-d^{2k})$ . отмечая, что $C_{k}=(4-o(1))^{k}$ как $k$ растет, мы можем позволить $n$ расти гораздо быстрее, чем $k$ чтобы увидеть, что существует только конечное число $d$ -регулярные графики $G$ для которого второе по величине абсолютное значение собственного значения не превышает $\lambda$ , для любого $\lambda <2{\sqrt {d-1}}.$ Это довольно интересный результат при изучении (n,d,λ)-графов .

Связь с графами Кэли и деревьями Кэли

Граф Бете четного координационного числа 2 n изоморфен неориентированному графу Кэли свободной группы ранга n относительно свободного порождающего множества.

Решетки в группах Ли

Решетки Бете также встречаются как дискретные подгруппы некоторых гиперболических групп Ли , таких как фуксовы группы . По существу, они также являются решетками в смысле решетки в группе Ли .

См. также

Кристалл

Ссылки

^ Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решенные модели статистической механики . Академическая пресса. ISBN 0-12-083182-1 . Збл 0538.60093 .
^ Дарретт, Рик (1991). Вероятность: теория и примеры . Уодсворт и Брукс/Коул. ISBN 0-534-13206-5 .
^ Джакометти, А. (1994). «Точная замкнутая форма вероятности возврата на решетке Бете». Физ А. Математика. Ген . 28 (1): Л13–Л17. arXiv : cond-mat/9411113v1 . дои : 10.1088/0305-4470/28/1/003 . S2CID 13298204 .

Бете, ХА (1935). «Статистическая теория сверхрешеток». Учеб. Р. Сок. Лонд. А. 150 (871): 552–575. Бибкод : 1935RSPSA.150..552B . дои : 10.1098/rspa.1935.0122 . Збл 0012.04501 .
Остилли, М. (2012). «Деревья Кэли и решетки Бете, краткий анализ для математиков и физиков». Физика А. 391 (12): 3417. arXiv : 1109,6725 . Бибкод : 2012PhyA..391.3417O . дои : 10.1016/j.physa.2012.01.038 . S2CID 119693543 .

[1] Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решенные модели статистической механики . Академическая пресса. ISBN 0-12-083182-1 . Збл 0538.60093 .

[2] Дарретт, Рик (1991). Вероятность: теория и примеры . Уодсворт и Брукс/Коул. ISBN 0-534-13206-5 .

[3] Джакометти, А. (1994). «Точная замкнутая форма вероятности возврата на решетке Бете». Физ А. Математика. Ген . 28 (1): Л13–Л17. arXiv : cond-mat/9411113v1 . дои : 10.1088/0305-4470/28/1/003 . S2CID 13298204 .

[1]

[2]

[3]