Подход Бете

В физике анзац Бете — это анзац для поиска точных волновых функций определенных квантовых моделей многих тел , чаще всего для одномерных решеточных моделей. Впервые он был использован Гансом Бете в 1931 году для нахождения точных собственных значений и собственных векторов одномерной антиферромагнитной изотропной (XXX) модели Гейзенберга . ^[1]

С тех пор метод был распространен на другие спиновые цепочки и модели статистической решетки .

«Проблемы анзаца Бете» были одной из тем, представленных в разделе «Учиться» на доске Ричарда Фейнмана в момент его смерти. ^[2]

Обсуждение [ править ]

В рамках квантовой механики многих тел модели, решаемые анзацем Бете, можно противопоставить моделям свободных фермионов . Можно сказать, что динамика свободной модели является приводимой к одному телу: волновая функция многих тел для фермионов ( бозонов ) представляет собой антисимметризованное (симметризованное) произведение однотельных волновых функций. Модели, решаемые анзацем Бете, не являются свободными: двухчастичный сектор имеет нетривиальную матрицу рассеяния , которая, вообще говоря, зависит от импульсов.

С другой стороны, динамика моделей, решаемых с помощью анзаца Бете, является двучастичной приводимой: матрица рассеяния многих тел является продуктом матриц рассеяния двух тел. Столкновения многих тел происходят как последовательность столкновений двух тел, и волновая функция многих тел может быть представлена в форме, которая содержит только элементы волновых функций двух тел. Матрица многочастичного рассеяния равна произведению попарных матриц рассеяния.

Общая форма (координатного) анзаца Бете для волновой функции многих тел имеет вид

\Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in {\mathfrak {S}}_{M}}(-1)^{[P]}\exp \left(i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})\right)

в котором $M$ количество частиц, $j_{a},a=1,\cdots M$ их позиция, ${\mathfrak {S}}_{M}$ - это набор всех перестановок целых чисел $1,\cdots ,M$ , $(-1)^{[P]}$ это четность перестановки $P$ принимая значения как положительные, так и отрицательные, $k_{a}$ (квази)импульс $a$ -я частица, $\phi$ – функция фазового сдвига рассеяния, $\mathrm {sgn}$ это знаковая функция . Эта форма универсальна (по крайней мере, для невложенных систем), при этом функции импульса и рассеяния зависят от модели.

Уравнение Янга–Бакстера гарантирует непротиворечивость конструкции. Принцип исключения Паули справедлив для моделей, решаемых анзацем Бете, даже для моделей взаимодействующих бозонов .

Основное состояние представляет собой сферу Ферми . Периодические граничные условия приводят к уравнениям анзаца Бете или просто уравнениям Бете. В логарифмической форме уравнения анзаца Бете могут быть получены действием Янга . Квадрат нормы волновой функции Бете равен определителю гессиана действия . Янга ^[3]

Существенным обобщением является квантовый метод обратной задачи рассеяния , или алгебраический анзац Бете, который дает анзац для базовой операторной алгебры , который «позволил решить широкий класс нелинейных эволюционных уравнений». ^[4]

Точные решения так называемой sd- модели (П.Б. Вигмана ^[5] в 1980 г. и независимо Н. Андрея, ^[6] также в 1980 году) и модель Андерсона (П.Б. Вигманн ^[7] в 1981 г., а также Н. Каваками и А. Окиджи. ^[8] в 1981 году) также оба основаны на анзаце Бете. Существуют многоканальные обобщения этих двух моделей, также допускающие точные решения (Н.Андрей и К.Дестри). ^[9] и CJ Bolech и Н. Андрей ^[10]). Недавно несколько моделей, решаемых анзацем Бете, были экспериментально реализованы в твердых телах и оптических решетках. Важную роль в теоретическом описании этих экспериментов сыграли Жан-Себастьян Ко и Алексей Цвелик . ^{[ нужна ссылка ]}

Терминология [ править ]

Существует много подобных методов, которые называются анзац Бете.

Алгебраический подход Бете. ^[11] Квантовый метод обратной задачи рассеяния — это метод решения алгебраического анзаца Бете, и эти два понятия практически синонимы.
Аналитический подход Бете
Координатный подход Бете ( Ганс Бете, 1931 )
Функциональный подход Бете ^[12]^[13]
Вложенный подход Бете
Термодинамический анзац Бете (CN Yang и CP Yang, 1969 )

Примеры [ править ]

цепочка Антиферромагнитная Гейзенберга

Антиферромагнитная цепочка Гейзенберга определяется гамильтонианом (при условии периодических граничных условий)

H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.

Эта модель разрешима с использованием (координатного) анзаца Бете. Функция фазового сдвига рассеяния равна $\phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})$ , с $\theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}$ в котором импульс был удобно перепараметризован как $k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda$ с точки зрения быстроты $\lambda .$ Граничные условия (здесь периодические) налагают уравнения Бете

\left[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\right]^{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1,...,M

или удобнее в логарифмической форме

\theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}

где квантовые числа $I_{j}$ являются различными полунечетными целыми числами для $N-M$ даже целые числа для $N-M$ странный (с $I_{j}$ определенный мод $(N)$ ).

Применимость [ править ]

Следующие системы можно решить с помощью анзаца Бете.

Модель примесей Андерсона
Модели Годена
XXX и XXZ Спиновая цепочка Гейзенберга для произвольного спина $s$
Модель Хаббарда
Модель квартиры
Модель Либа – Лайнера
Шестивершинная модель и восьмивершинная модель (через спиновую цепочку Гейзенберга)

Хронология [ править ]

1928: Вернер Гейзенберг публикует свою модель . ^[14]
1930: Феликс Блох предлагает упрощенный анзац, в котором неправильно подсчитывается количество решений уравнения Шредингера для цепочки Гейзенберга. ^[15]
1931: Ганс Бете предлагает правильный анзац и тщательно показывает, что он дает правильное число собственных функций. ^[1]
1938: Ламек Хюльтен [ де ] получает точную энергию основного состояния модели Гейзенберга. ^[16]
1958: Раймонд Ли Орбах использует анзац Бете для решения модели Гейзенберга с анизотропными взаимодействиями. ^[17]
1962: Ж. де Клуазо и Дж. Дж. Пирсон получили правильный спектр антиферромагнетика Гейзенберга (спинонное дисперсионное уравнение), ^[18] показывая, что это отличается от предсказаний теории спиновых волн Андерсона. ^[19] (постоянный префактор другой).
1963: Эллиот Х. Либ и Вернер Линигер предоставили точное решение для 1d δ-функции, взаимодействующей с бозе-газом. ^[20] (теперь известная как модель Либа-Линигера ). Либ изучает спектр и определяет два основных типа возбуждений. ^[21]
1964: Роберт Б. Гриффитс получает кривую намагничивания модели Гейзенберга при нулевой температуре. ^[22]
1966: К. Н. Ян и К. П. Ян строго доказывают, что основное состояние цепи Гейзенберга задается анзацем Бете. ^[23] Они изучают свойства и применение в ^[24] и. ^[25]
1967: К. Н. Ян обобщает решение Либа и Линигера δ-функции, взаимодействующей с бозе-газом, на произвольную перестановочную симметрию волновой функции, порождая вложенный анзац Бете. ^[26]
1968: Эллиот Х. Либ и Ф. Я. Ву решают 1-мерную модель Хаббарда. ^[27]
1969: CN Yang и CP Yang получили термодинамику модели Либа-Линигера. ^[28] обеспечивающий основу термодинамического анзаца Бете (TBA).

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бете, Х. (март 1931 г.). «К теории металлов. I. Собственные значения и собственные функции линейной цепочки атомов». Журнал физики . 71 (3–4): 205–226. дои : 10.1007/BF01341708 . S2CID 124225487 .
^ «Доска Ричарда Фейнмана в момент его смерти | Архив Калифорнийского технологического института» . digital.archives.caltech.edu . Проверено 29 июля 2023 г.
^ Корепин, Владимир Евгеньевич (1982). «Расчет норм волновых функций Бете» . Связь в математической физике . 86 (3): 391–418. Бибкод : 1982CMaPh..86..391K . дои : 10.1007/BF01212176 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122250890 .
^ Корепин В.Е.; Боголюбов, Н.М.; Изергин, А.Г. (06 марта 1997 г.). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521586467 .
^ Вигманн, ПБ (1980). «Точное решение модели SD-обмена при T = 0» (PDF) . Письма ЖЭТФ . 31 (7): 364. Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2019 г. Проверено 17 мая 2019 г.
^ Андрей Н. (1980). «Диагонализация гамильтониана Кондо». Письма о физических отзывах . 45 (5): 379–382. Бибкод : 1980PhRvL..45..379A . дои : 10.1103/PhysRevLett.45.379 . ISSN 0031-9007 .
^ Вигманн, ПБ (1980). «К точному решению модели Андерсона». Буквы по физике А. 80 (2–3): 163–167. Бибкод : 1980PhLA...80..163W . дои : 10.1016/0375-9601(80)90212-1 . ISSN 0375-9601 .
^ Каваками, Норио; Окиджи, Аяо (1981). «Точное выражение энергии основного состояния для симметричной модели Андерсона». Буквы по физике А. 86 (9): 483–486. Бибкод : 1981PhLA...86..483K . дои : 10.1016/0375-9601(81)90663-0 . ISSN 0375-9601 .
^ Андрей, Н.; Дестри, К. (1984). «Решение многоканальной задачи Кондо». Письма о физических отзывах . 52 (5): 364–367. Бибкод : 1984PhRvL..52..364A . дои : 10.1103/PhysRevLett.52.364 . ISSN 0031-9007 .
^ Болех, CJ; Андрей Н. (2002). «Решение двухканальной модели примеси Андерсона: последствия для тяжелого фермиона UBe13». Письма о физических отзывах . 88 (23): 237206. arXiv : cond-mat/0204392 . Бибкод : 2002PhRvL..88w7206B . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.237206 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 12059396 . S2CID 15180985 .
^ Фаддеев, Людвиг (1992). «Как алгебраический анзац Бете работает для интегрируемой модели». arXiv : hep-th/9211111 .
^ Склянин Е.К. (1985). «Квантовая цепочка Тоды». Нелинейные уравнения классической и квантовой теории поля . Конспект лекций по физике. 226 : 196–233. Бибкод : 1985ЛНП...226..196С . дои : 10.1007/3-540-15213-X_80 . ISBN 978-3-540-15213-2 .
^ Склянин Е.К. (октябрь 1990 г.). «Функциональный анзац Бете». Интегрируемые и суперинтегрируемые системы : 8–33. дои : 10.1142/9789812797179_0002 . ISBN 978-981-02-0316-0 .
^ Гейзенберг, В. (сентябрь 1928 г.). «К теории ферромагнетизма». Журнал физики . 49 (9–10): 619–636. Бибкод : 1928ZPhy...49..619H . дои : 10.1007/BF01328601 . S2CID 122524239 .
^ Блох, Ф. (март 1930 г.). «К теории ферромагнетизма». Журнал физики . 61 (3–4): 206–219. Бибкод : 1930ZPhy...61..206B . дои : 10.1007/BF01339661 . S2CID 120459635 .
^ Хюльтен, Ламек (1938). «К вопросу обмена кристалла». Аркив Мат. Астрон. Физика . 26А :1.
^ Орбах, Р. (15 октября 1958 г.). «Линейная антиферромагнитная цепь с анизотропной связью». Физический обзор . 112 (2): 309–316. Бибкод : 1958PhRv..112..309O . дои : 10.1103/PhysRev.112.309 .
^ де Клуазо, Жак; Пирсон, Джей-Джей (1 декабря 1962 г.). «Спин-волновой спектр антиферромагнитной линейной цепочки». Физический обзор . 128 (5): 2131–2135. Бибкод : 1962PhRv..128.2131D . дои : 10.1103/PhysRev.128.2131 .
^ Андерсон, военнопленный (1 июня 1952 г.). «Приближенная квантовая теория антиферромагнитного основного состояния». Физический обзор . 86 (5): 694–701. Бибкод : 1952PhRv...86..694A . дои : 10.1103/PhysRev.86.694 .
^ Либ, Эллиот Х.; Линигер, Вернер (15 мая 1963 г.). «Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. I. Общее решение и основное состояние». Физический обзор . 130 (4): 1605–1616. Бибкод : 1963PhRv..130.1605L . дои : 10.1103/PhysRev.130.1605 .
^ Либ, Эллиот Х. (15 мая 1963 г.). «Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. II. Спектр возбуждения». Физический обзор . 130 (4): 1616–1624. Бибкод : 1963PhRv..130.1616L . дои : 10.1103/PhysRev.130.1616 .
^ Гриффитс, Роберт Б. (3 февраля 1964 г.). «Кривая намагничивания при нулевой температуре для антиферромагнитной линейной цепи Гейзенберга». Физический обзор . 133 (3А): А768–А775. Бибкод : 1964PhRv..133..768G . дои : 10.1103/PhysRev.133.A768 .
^ Ян, Китай; Ян, КП (7 октября 1966 г.). «Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. I. Доказательство гипотезы Бете об основном состоянии в конечной системе». Физический обзор . 150 (1): 321–327. Бибкод : 1966PhRv..150..321Y . дои : 10.1103/PhysRev.150.321 .
^ Ян, Китай; Ян, КП (7 октября 1966 г.). «Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. II. Свойства энергии основного состояния на узел решетки для бесконечной системы». Физический обзор . 150 (1): 327–339. Бибкод : 1966PhRv..150..327Y . дои : 10.1103/PhysRev.150.327 .
^ Ян, Китай; Ян, КП (4 ноября 1966 г.). «Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. III. Приложения». Физический обзор . 151 (1): 258–264. Бибкод : 1966PhRv..151..258Y . дои : 10.1103/PhysRev.151.258 .
^ Ян, Китай (4 декабря 1967 г.). «Некоторые точные результаты для задачи многих тел в одном измерении с отталкивающим взаимодействием дельта-функции» . Письма о физических отзывах . 19 (23): 1312–1315. Бибкод : 1967PhRvL..19.1312Y . дои : 10.1103/PhysRevLett.19.1312 .
^ Либ, Эллиот Х.; Ву, ФЮ (17 июня 1968 г.). «Отсутствие перехода Мотта в точном решении короткодействующей однозонной модели в одном измерении». Письма о физических отзывах . 20 (25): 1445–1448. Бибкод : 1968PhRvL..20.1445L . дои : 10.1103/PhysRevLett.20.1445 .
^ Ян, Китай; Ян, КП (июль 1969 г.). «Термодинамика одномерной системы бозонов с отталкивающим дельта-функциональным взаимодействием». Журнал математической физики . 10 (7): 1115–1122. Бибкод : 1969JMP....10.1115Y . дои : 10.1063/1.1664947 .

Внешние ссылки [ править ]

Введение в подход Бете

[1931_Bethe_ZP_71-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бете, Х. (март 1931 г.). «К теории металлов. I. Собственные значения и собственные функции линейной цепочки атомов». Журнал физики . 71 (3–4): 205–226. дои : 10.1007/BF01341708 . S2CID 124225487 .

[feynman_blackboard-2] «Доска Ричарда Фейнмана в момент его смерти | Архив Калифорнийского технологического института» . digital.archives.caltech.edu . Проверено 29 июля 2023 г.

[3] Корепин, Владимир Евгеньевич (1982). «Расчет норм волновых функций Бете» . Связь в математической физике . 86 (3): 391–418. Бибкод : 1982CMaPh..86..391K . дои : 10.1007/BF01212176 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122250890 .

[4] Корепин В.Е.; Боголюбов, Н.М.; Изергин, А.Г. (06 марта 1997 г.). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521586467 .

[5] Вигманн, ПБ (1980). «Точное решение модели SD-обмена при T = 0» (PDF) . Письма ЖЭТФ . 31 (7): 364. Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2019 г. Проверено 17 мая 2019 г.

[Andrei1980-6] Андрей Н. (1980). «Диагонализация гамильтониана Кондо». Письма о физических отзывах . 45 (5): 379–382. Бибкод : 1980PhRvL..45..379A . дои : 10.1103/PhysRevLett.45.379 . ISSN 0031-9007 .

[Wiegmann1980-7] Вигманн, ПБ (1980). «К точному решению модели Андерсона». Буквы по физике А. 80 (2–3): 163–167. Бибкод : 1980PhLA...80..163W . дои : 10.1016/0375-9601(80)90212-1 . ISSN 0375-9601 .

[KawakamiOkiji1981-8] Каваками, Норио; Окиджи, Аяо (1981). «Точное выражение энергии основного состояния для симметричной модели Андерсона». Буквы по физике А. 86 (9): 483–486. Бибкод : 1981PhLA...86..483K . дои : 10.1016/0375-9601(81)90663-0 . ISSN 0375-9601 .

[AndreiDestri1984-9] Андрей, Н.; Дестри, К. (1984). «Решение многоканальной задачи Кондо». Письма о физических отзывах . 52 (5): 364–367. Бибкод : 1984PhRvL..52..364A . дои : 10.1103/PhysRevLett.52.364 . ISSN 0031-9007 .

[BolechAndrei2002-10] Болех, CJ; Андрей Н. (2002). «Решение двухканальной модели примеси Андерсона: последствия для тяжелого фермиона UBe13». Письма о физических отзывах . 88 (23): 237206. arXiv : cond-mat/0204392 . Бибкод : 2002PhRvL..88w7206B . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.237206 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 12059396 . S2CID 15180985 .

[11] Фаддеев, Людвиг (1992). «Как алгебраический анзац Бете работает для интегрируемой модели». arXiv : hep-th/9211111 .

[12] Склянин Е.К. (1985). «Квантовая цепочка Тоды». Нелинейные уравнения классической и квантовой теории поля . Конспект лекций по физике. 226 : 196–233. Бибкод : 1985ЛНП...226..196С . дои : 10.1007/3-540-15213-X_80 . ISBN 978-3-540-15213-2 .

[13] Склянин Е.К. (октябрь 1990 г.). «Функциональный анзац Бете». Интегрируемые и суперинтегрируемые системы : 8–33. дои : 10.1142/9789812797179_0002 . ISBN 978-981-02-0316-0 .

[14] Гейзенберг, В. (сентябрь 1928 г.). «К теории ферромагнетизма». Журнал физики . 49 (9–10): 619–636. Бибкод : 1928ZPhy...49..619H . дои : 10.1007/BF01328601 . S2CID 122524239 .

[15] Блох, Ф. (март 1930 г.). «К теории ферромагнетизма». Журнал физики . 61 (3–4): 206–219. Бибкод : 1930ZPhy...61..206B . дои : 10.1007/BF01339661 . S2CID 120459635 .

[16] Хюльтен, Ламек (1938). «К вопросу обмена кристалла». Аркив Мат. Астрон. Физика . 26А :1.

[17] Орбах, Р. (15 октября 1958 г.). «Линейная антиферромагнитная цепь с анизотропной связью». Физический обзор . 112 (2): 309–316. Бибкод : 1958PhRv..112..309O . дои : 10.1103/PhysRev.112.309 .

[18] де Клуазо, Жак; Пирсон, Джей-Джей (1 декабря 1962 г.). «Спин-волновой спектр антиферромагнитной линейной цепочки». Физический обзор . 128 (5): 2131–2135. Бибкод : 1962PhRv..128.2131D . дои : 10.1103/PhysRev.128.2131 .

[19] Андерсон, военнопленный (1 июня 1952 г.). «Приближенная квантовая теория антиферромагнитного основного состояния». Физический обзор . 86 (5): 694–701. Бибкод : 1952PhRv...86..694A . дои : 10.1103/PhysRev.86.694 .

[20] Либ, Эллиот Х.; Линигер, Вернер (15 мая 1963 г.). «Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. I. Общее решение и основное состояние». Физический обзор . 130 (4): 1605–1616. Бибкод : 1963PhRv..130.1605L . дои : 10.1103/PhysRev.130.1605 .

[21] Либ, Эллиот Х. (15 мая 1963 г.). «Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. II. Спектр возбуждения». Физический обзор . 130 (4): 1616–1624. Бибкод : 1963PhRv..130.1616L . дои : 10.1103/PhysRev.130.1616 .

[22] Гриффитс, Роберт Б. (3 февраля 1964 г.). «Кривая намагничивания при нулевой температуре для антиферромагнитной линейной цепи Гейзенберга». Физический обзор . 133 (3А): А768–А775. Бибкод : 1964PhRv..133..768G . дои : 10.1103/PhysRev.133.A768 .

[23] Ян, Китай; Ян, КП (7 октября 1966 г.). «Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. I. Доказательство гипотезы Бете об основном состоянии в конечной системе». Физический обзор . 150 (1): 321–327. Бибкод : 1966PhRv..150..321Y . дои : 10.1103/PhysRev.150.321 .

[24] Ян, Китай; Ян, КП (7 октября 1966 г.). «Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. II. Свойства энергии основного состояния на узел решетки для бесконечной системы». Физический обзор . 150 (1): 327–339. Бибкод : 1966PhRv..150..327Y . дои : 10.1103/PhysRev.150.327 .

[25] Ян, Китай; Ян, КП (4 ноября 1966 г.). «Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. III. Приложения». Физический обзор . 151 (1): 258–264. Бибкод : 1966PhRv..151..258Y . дои : 10.1103/PhysRev.151.258 .

[26] Ян, Китай (4 декабря 1967 г.). «Некоторые точные результаты для задачи многих тел в одном измерении с отталкивающим взаимодействием дельта-функции» . Письма о физических отзывах . 19 (23): 1312–1315. Бибкод : 1967PhRvL..19.1312Y . дои : 10.1103/PhysRevLett.19.1312 .

[27] Либ, Эллиот Х.; Ву, ФЮ (17 июня 1968 г.). «Отсутствие перехода Мотта в точном решении короткодействующей однозонной модели в одном измерении». Письма о физических отзывах . 20 (25): 1445–1448. Бибкод : 1968PhRvL..20.1445L . дои : 10.1103/PhysRevLett.20.1445 .

[28] Ян, Китай; Ян, КП (июль 1969 г.). «Термодинамика одномерной системы бозонов с отталкивающим дельта-функциональным взаимодействием». Журнал математической физики . 10 (7): 1115–1122. Бибкод : 1969JMP....10.1115Y . дои : 10.1063/1.1664947 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]