Модель Либа – Лайнера

В физике модель Либа-Линигера описывает газ частиц, движущихся в одном измерении и удовлетворяющих статистике Бозе-Эйнштейна . Более конкретно, он описывает одномерный бозе-газ с дельта-взаимодействиями Дирака . Он назван в честь Эллиота Х. Либа и Вернера Линигера, которые представили эту модель в 1963 году. Модель была разработана для сравнения и проверки теории Николая Боголюбова о слабовзаимодействующем бозе-газе.

Определение

Данный $N$ бозоны, движущиеся в одномерном пространстве $x$-ось определяется из $[0,L]$ с периодическими граничными условиями состояние системы N тел должно описываться волновой функцией многих тел $\psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})$. Гамильтониан этой модели вводится как

$H=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}+2c\sum _{i=1}^{N}\sum _{j>i}^{N}\delta (x_{i}-x_{j})\ ,$

где $\delta$ – дельта-функция Дирака . Константа $c$ обозначает силу взаимодействия, $c>0$ представляет собой отталкивающее взаимодействие и $c<0$ привлекательное взаимодействие. Жесткий предел ядра $c\to \infty$ известен как газ Тонкса-Жирардо .

Для совокупности бозонов волновая функция не меняется при перестановке любых двух частиц (перестановочная симметрия), т. е. $\psi (\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots )=\psi (\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots )$ для всех $i\neq j$ и $\psi$ удовлетворяет $\psi (\dots ,x_{j}=0,\dots )=\psi (\dots ,x_{j}=L,\dots )$ для всех $j$.

Дельта-функция в гамильтониане порождает граничное условие, когда две координаты, скажем, $x_{1}$ и $x_{2}$ равны; это условие заключается в том, что как $x_{2}\searrow x_{1}$, производная удовлетворяет

$\left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)\psi (x_{1},x_{2})\right|_{x_{2}=x_{1}+}=c\psi (x_{1}=x_{2})$.

Решение

Рис. 1: Энергия основного состояния (на частицу) $e$ как функция силы взаимодействия на плотность $\gamma =Lc/N$, от.

Нестационарное уравнение Шрёдингера $H\psi =E\psi$, решается явным построением $\psi$. С $\psi$ симметричен, он полностью определяется своими значениями в симплексе ${\mathcal {R}}$, определяемый условием, что $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots ,\leq x_{N}\leq L$.

Решение можно записать в форме анзаца Бете как

$\psi (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^{N}k_{Pj}x_{j}\right)$,

с волновыми векторами $0\leq k_{1}\leq k_{2}\leq \dots ,\leq k_{N}$, где сумма равна всем $N!$ перестановки, $P$, целых чисел $1,2,\dots ,N$, и $P$ карты $1,2,\dots ,N$ к $P_{1},P_{2},\dots ,P_{N}$. Коэффициенты $a(P)$, а также $k$определяются условием $H\psi =E\psi$, и это приводит к полной энергии

$E=\sum _{j=1}^{N}\,k_{j}^{2}$,

с амплитудами, заданными

$a(P)=\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+{\frac {ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}}\right)\,.$

Эти уравнения определяют $\psi$ с точки зрения $k$х. Это приводит к $N$ уравнения:

$L\,k_{j}=2\pi I_{j}\ -2\sum _{i=1}^{N}\arctan \left({\frac {k_{j}-k_{i}}{c}}\right)\qquad \qquad {\text{for }}j=1,\,\dots ,\,N\ ,$

где $I_{1}<I_{2}<\cdots <I_{N}$ являются целыми числами, когда $N$ странно, и когда $N$ четно, они принимают значения $\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dots$ . Для основного состояния $I$удовлетворит

$I_{j+1}-I_{j}=1,\quad {\rm {for}}\ 1\leq j<N\qquad {\text{and }}I_{1}=-I_{N}.$