Модели Годена

В физике модель Годена , иногда известная как квантовая модель Годена, представляет собой модель или большой класс моделей статистической механики , впервые описанных в простейшем случае Мишелем Годеном . Это точно решаемые модели, а также примеры квантовых спиновых цепочек .

История

Простейший случай был впервые описан Мишелем Годеном в 1976 году. с ассоциированной алгеброй Ли, принятой в качестве ${\mathfrak {sl}}_{2}$, двумерная специальная линейная группа .

Математическая формулировка

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли конечной размерности $d$.

Позволять $N$ быть положительным целым числом. На сложной плоскости $\mathbb {C}$, выбирать $N$ разные точки, $z_{i}$.

Обозначим через $V_{\lambda }$ конечномерное неприводимое представление ${\mathfrak {g}}$ соответствующий доминирующему целочисленному элементу $\lambda$. Позволять $({\boldsymbol {\lambda }}):=(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N})$ быть набором доминирующих целочисленных весов ${\mathfrak {g}}$. Определите тензорное произведение $V_{({\boldsymbol {\lambda }})}:=V_{\lambda _{1}}\otimes \cdots \otimes V_{\lambda _{N}}$.

Затем модель задается набором операторов $H_{i}$ действуя на $V_{({\boldsymbol {\lambda }})}$, известные как гамильтонианы Годена . Они описаны следующим образом.

Обозначим через $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ инвариантное скалярное произведение на ${\mathfrak {g}}$ (часто это принимают за форму Убийства ). Позволять $\{I_{a}\}$ быть основой ${\mathfrak {g}}$ и $\{I^{a}\}$ быть двойственным базисом, заданным через скалярное произведение. Для элемента $A\in {\mathfrak {g}}$, обозначим $A^{(i)}$ оператор $1\otimes \cdots \otimes A\otimes \cdots \otimes 1$ который действует как $A$ на $i$й фактор $V_{({\boldsymbol {\lambda }})}$ и как идентичность по другим факторам. Затем

$$H_{i}=\sum _{j\neq i}\sum _{a=1}^{d}{\frac {I_{a}^{(i)}I^{a(j)}}{z_{i}-z_{j}}}.$$

Эти операторы взаимно коммутируют. Одной из проблем теории моделей Годена является поиск одновременных собственных векторов и собственных значений этих операторов.

Вместо работы с несколькими гамильтонианами Годена существует другой оператор $S(u)$, иногда называемый гамильтонианом Годена . Это зависит от сложного параметра $u$, а также на квадратичном Казимире , являющемся элементом универсальной обертывающей алгебры $U({\mathfrak {g}})$, определяемый как $$\Delta ={\frac {1}{2}}\sum _{a=1}^{d}I_{a}I^{a}.$$Это действует на представления $V_{({\boldsymbol {\lambda }})}$ умножая на число, зависящее от представления, обозначаемое $\Delta (\lambda )$. Иногда его называют индексом представления. Затем определяется гамильтониан Годена $$S(u)=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {H_{i}}{u-z_{i}}}+{\frac {\Delta (\lambda _{i})}{(u-z_{i})^{2}}}\right].$$Коммутативность $S(u)$ для разных значений $u$ следует из коммутативности $H_{i}$.

Высшие гамильтонианы Годена

Когда ${\mathfrak {g}}$ имеет ранг больше 1, коммутирующая алгебра, натянутая гамильтонианами Годена, и тождество может быть расширено до более крупной коммутирующей алгебры, известной как алгебра Годена . Подобно изоморфизму Хариш-Чандры , эти коммутирующие элементы имеют ассоциированные степени, и, в частности, гамильтонианы Годена образуют часть алгебры степени 2. Для ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}$, гамильтонианы Годена и тождество охватывают алгебру Годена. Существует еще одна коммутирующая алгебра, которая является «универсальной», лежащей в основе алгебры Годена для любого выбора узлов и весов, называемая центром Фейгина – Френкеля. Смотрите здесь .

Тогда собственные векторы алгебры Годена определяют линейные функционалы на алгебре. Если $X$ является элементом алгебры Годена ${\mathfrak {G}}$, и $v$ собственный вектор алгебры Годена, то получается линейный функционал $\chi _{v}:{\mathfrak {G}}\rightarrow \mathbb {C}$ данный $$Xv=\chi _{v}(X)v.$$Линейный функционал $\chi _{v}$ называется характером алгебры Годена. Спектральная проблема , то есть определение собственных значений и одновременных собственных векторов алгебры Годена, тогда становится вопросом определения характеров алгебры Годена.

Решения

Решение модели Годена часто означает определение спектра гамильтониана Годена или гамильтонианов Годена. Существует несколько способов решения, в том числе

• Алгебраический подход Бете , использованный Годеном
• Разделение переменных, использованное Скляниным
• Корреляционные функции / операции , используя метод, описанный Фейгиным , Френкелем и Решетихиным .

Алгебраический подход Бете

Для сл ₂

Для ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}$, позволять $\{E,H,F\}$ быть стандартной основой. Для любого $X\in {\mathfrak {g}}$, можно определить операторнозначную мероморфную функцию $$X(z)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {X^{(i)}}{z-z_{i}}}.$$Его остаток в $z=z_{i}$ является $X^{(i)}$, пока $\lim _{z\rightarrow \infty }zX(z)=\sum _{i=1}^{N}X^{(i)}=:X^{(\infty )},$ «полное» тензорное представление.

The $X(z)$ и $X^{(\infty )}$ удовлетворяют нескольким полезным свойствам

• $[X(z),Y^{(\infty )}]=[X,Y](z)$
• $S(u)={\frac {1}{2}}\sum _{a}I_{a}(z)I^{a}(z)$
• $[H_{i},X^{(\infty )}]=0$

но $X(z)$ не формировать представительство: $[X(z),Y(z)]=-[X,Y]'(z)$. Третье свойство полезно, поскольку оно позволяет нам также проводить диагонализацию по отношению к $H^{\infty }$, для которого известен диагональный (но вырожденный) базис.

Для ${\mathfrak {sl}}_{2}$ Модель Годена указана сайтами $z_{1},\cdots ,z_{N}\in \mathbb {C}$ и веса $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\in \mathbb {N}$, определите вектор вакуума как тензорное произведение состояний с наивысшим весом из каждого представления: $v_{0}:=v_{\lambda _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\lambda _{N}}$.

Вектор Бете (отклонения спина $m$) — вектор вида $$F(w_{1})\cdots F(w_{m})v_{0}$$для $w_{i}\in \mathbb {C}$. Угадывание собственных векторов по форме векторов Бете — это анзац Бете . Можно показать, что вектор Бете является собственным вектором гамильтонианов Годена, если система уравнений $$\sum _{i=1}^{N}{\frac {\lambda _{i}}{w_{k}-z_{i}}}-2\sum _{j\neq k}{\frac {1}{w_{k}-w_{j}}}=0$$сохраняется для каждого $k$ между 1 и $m$. Это уравнения анзаца Бете для отклонения спина. $m$. Для $m=1$, это сводится к $${\boldsymbol {\lambda }}(w):=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\lambda _{i}}{w-z_{i}}}=0.$$

Полнота

Теоретически уравнения анзаца Бете можно решить, чтобы получить собственные векторы и собственные значения гамильтониана Годена. На практике, если уравнения должны полностью решить спектральную задачу, необходимо также проверить

• Число решений, предсказанных уравнениями Бете
• Многообразие решений

Если для определенной конфигурации узлов и весов анзац Бете генерирует все собственные векторы, то он считается полным для этой конфигурации модели Годена. Можно построить примеры моделей Годена, которые являются неполными. Одна из проблем теории моделей Годена состоит в том, чтобы определить, является ли данная конфигурация полной или нет, или, по крайней мере, охарактеризовать «пространство моделей», для которого анзац Бете является полным.

Для ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}$, для $z_{i}$ В общем положении анзац Бете известен как полный. Даже если анзац Бете не является полным, в этом случае это связано с тем, что кратность корня в уравнениях анзаца Бете больше единицы, и можно найти полный базис, определив обобщенные векторы Бете.

И наоборот, для ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{3}$существуют конкретные конфигурации, для которых полнота невозможна из-за отсутствия решений у уравнений-анзаца Бете.

Для общего сложного простого g

Аналоги уравнения анзаца Бете можно вывести для алгебр Ли более высокого ранга. Однако их гораздо сложнее вывести и решить, чем ${\mathfrak {sl}}_{2}$ случай. Кроме того, для ${\mathfrak {g}}$ ранга больше 1, то есть все остальные, кроме ${\mathfrak {sl}}_{2}$, существуют высшие гамильтонианы Годена, для которых неизвестно, как обобщить анзац Бете.

Изоморфизм ОДУ/IM

Существует изоморфизм ОДУ/ИМ между алгеброй Годена (или универсальным центром Фейгина–Френкеля), которые являются «интегралами движения» для теории, и операми, которые являются обыкновенными дифференциальными операторами, в данном случае на $\mathbb {P} ^{1}$.

Обобщения

Существуют обобщения, вытекающие из ослабления ограничения на ${\mathfrak {g}}$ являющаяся строго полупростой алгеброй Ли. Например, когда ${\mathfrak {g}}$ может быть аффинной алгеброй Ли , модель называется аффинной моделью Годена.

Другой способ обобщения — выбрать предпочтительный автоморфизм конкретной алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$. Затем можно определить гамильтонианы, которые хорошо трансформируются под действием автоморфизма. Одним из классов таких моделей являются круговые модели Годена.

Существует также понятие классической модели Годена . Исторически квантовая модель Годена была определена и изучена первой, в отличие от большинства физических систем. Некоторые классические интегрируемые теории поля можно рассматривать как классические диэдральные аффинные модели Годена. Следовательно, понимание квантовых аффинных моделей Годена может позволить понять интегрируемую структуру квантовых интегрируемых теорий поля.

Такие классические теории поля включают основную киральную модель , сигма-модели смежного класса и аффинную теорию поля Тоды .

Внешние ссылки

• Интегрируемая модель Годена в nLab
• Френкель, Эдвард (25 июля 2023 г.). «Вызовной разговор 2 - Последняя доска Фейнмана: от анзаца Бете к дуальности Ленглендса» . Архив записей семинаров Института Периметра (pirsa.org) . дои : 10.48660/23070020 . (Смотрите видео с 8:40 до 15:14.)