уравнение Власова

Уравнение Власова представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию во времени функции распределения плазмы , состоящей из заряженных частиц с дальнодействующим взаимодействием, например кулоновским . Впервые уравнение для описания плазмы было предложено Анатолием Власовым в 1938 году. и позднее подробно рассмотренный им в монографии.

Трудности стандартного кинетического подхода

Во-первых, Власов утверждает, что стандартный кинетический подход, основанный на уравнении Больцмана, имеет трудности при применении к описанию плазмы с дальнодействующим кулоновским взаимодействием . Он упоминает следующие проблемы, возникающие при применении кинетической теории, основанной на парных столкновениях, к динамике плазмы:

1. Теория парных столкновений противоречит открытию Рэлеем , Ирвингом Ленгмюром и Льюи Тонксом собственных колебаний в электронной плазме.
2. Теория парных столкновений формально неприменима к кулоновскому взаимодействию из-за расходимости кинетических членов.
3. Теория парных столкновений не может объяснить эксперименты Харрисона Меррилла и Гарольда Уэбба по аномальному рассеянию электронов в газовой плазме.

Власов предполагает, что эти трудности связаны с дальнодействующим характером кулоновского взаимодействия. Он начинает с бесстолкновительного уравнения Больцмана (иногда называемого уравнением Власова, анахронично в этом контексте) в обобщенных координатах : $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=0,$$

явно PDE : $${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,$$и адаптировал его к случаю плазмы, что привело к системам уравнений, показанным ниже. Здесь f — общая функция распределения частиц с импульсом p в координатах r и заданном времени t . Обратите внимание, что термин ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ – сила F, действующая на частицу.

Система уравнений Власова–Максвелла (гауссовы единицы)

Вместо кинетического описания взаимодействия заряженных частиц в плазме, основанного на столкновениях, Власов использует самосогласованное коллективное поле, создаваемое заряженными частицами плазмы. В таком описании используются функции распределения $f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ и $f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ для электронов и (положительных) ионов плазмы . Функция распределения $f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ для вида α описывает количество частиц вида α, имеющих приблизительно импульс $\mathbf {p}$ рядом с позицией $\mathbf {r}$ во время т . Вместо уравнения Больцмана для описания заряженных компонентов плазмы (электронов и положительных ионов) была предложена следующая система уравнений: $${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i}e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end{aligned}}$$$$\rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right)^{1/2}}}$$

Здесь e — элементарный заряд ( $e>0$), c – скорость света , m _i – масса иона, $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ и $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)$ представляют собой коллективное самосогласованное электромагнитное поле, созданное в точке $\mathbf {r}$ в момент времени t всеми частицами плазмы. Существенное отличие этой системы уравнений от уравнений для частиц во внешнем электромагнитном поле состоит в том, что самосогласованное электромагнитное поле сложным образом зависит от функций распределения электронов и ионов. $f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ и $f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$.

Уравнение Власова–Пуассона

Уравнения Власова–Пуассона представляют собой аппроксимацию уравнений Власова–Максвелла в нерелятивистском пределе отсутствия магнитного поля: $${\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,$$

и уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля: $$\nabla ^{2}\phi +{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0.$$

Здесь q _α – электрический заряд частицы, m _α – масса частицы, $\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$ – самосогласованное электрическое поле , $\phi (\mathbf {x} ,t)$ самосогласованный электрический потенциал , ρ — плотность электрического заряда , $\varepsilon$ это электрическая диэлектрическая проницаемость .

Уравнения Власова–Пуассона используются для описания различных явлений в плазме, в частности затухания Ландау и распределений в двухслойной плазме, где они обязательно сильно немаксвелловские и поэтому недоступны для моделей жидкости.

Уравнения моментов

В жидкостных описаниях плазмы (см. Моделирование плазмы и магнитогидродинамика (МГД)) не учитывается распределение скоростей. Это достигается заменой $f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)$ с плазменными моментами, такими как плотность числа n , скорость потока u и давление p . Они называются плазменными моментами, потому что n -й момент $f$ можно найти, интегрируя $v^{n}f$ сверх скорости. Эти переменные являются только функциями положения и времени, а это означает, что некоторая информация теряется. В теории мультижидкостей разные виды частиц рассматриваются как разные жидкости с разным давлением, плотностью и скоростями потока. Уравнения, управляющие плазменными моментами, называются уравнениями моментов или жидкости.

Ниже представлены два наиболее часто используемых уравнения моментов (в единицах СИ ). Вывод моментных уравнений из уравнения Власова не требует никаких предположений о функции распределения.

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности описывает, как плотность изменяется со временем. Его можно найти интегрированием уравнения Власова по всему пространству скоростей. $$\int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} ^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)\mathrm {d} ^{3}v=0$$

После некоторых вычислений получаем $${\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.$$

Плотность числа n и плотность импульса n u представляют собой моменты нулевого и первого порядка: $$n=\int f\mathrm {d^{3}} v$$$$n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} f\mathrm {d} ^{3}v$$

Уравнение импульса

Скорость изменения импульса частицы определяется уравнением Лоренца: $$m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$$

Используя это уравнение и уравнение Власова, уравнение количества движения для каждой жидкости принимает вид $$mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} ,$$где ${\mathcal {P}}$ – тензор давления. Материальная производная – это $${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .$$

Тензор давления определяется как произведение массы частицы на ковариационную матрицу скорости: $$p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})f\mathrm {d} ^{3}v.$$

Приближение замораживания

Дополнительная информация: теорема Альвена.

Что касается идеальной МГД , то при выполнении определенных условий плазму можно считать привязанной к силовым линиям магнитного поля. Часто говорят, что силовые линии магнитного поля вморожены в плазму. Условия вмороженности можно получить из уравнения Власова.

Введем масштабы T , L и V для времени, расстояния и скорости соответственно. Они представляют собой величины различных параметров, которые приводят к большим изменениям в $f$. По большому счету мы имеем в виду, что $${\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.$$

Затем мы пишем $$t'={\frac {t}{T}},\quad \mathbf {r} '={\frac {\mathbf {r} }{L}},\quad \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} }{V}}.$$

Уравнение Власова теперь можно записать $${\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} '\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0.$$

Пока никаких приближений не делалось. Чтобы продолжить, мы устанавливаем $V=R\omega _{g}$, где $\omega _{g}=qB/m$ — частота гирорадиуса , а R — гирорадиус . Разделив на , _ωg получим $${\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0$$

Если $1/\omega _{g}\ll T$ и $R\ll L$, два первых члена будут намного меньше, чем $f$ с $\partial f/\partial t'\sim f,v'\lesssim 1$ и $\partial f/\partial \mathbf {r} '\sim f$ из-за определений T , L и V выше. Поскольку последний член имеет порядок $f$, мы можем пренебречь двумя первыми членами и написать $$\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0$$

Это уравнение можно разложить на ориентированную по полю и перпендикулярную часть: $$\mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

Следующий шаг — написать $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v}$, где $$\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }$$

Скоро станет ясно, почему это делается. С помощью этой замены мы получаем $$\mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

Если параллельное электрическое поле мало, $$(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

Это уравнение означает, что распределение гиротропно. Средняя скорость гиротропного распределения равна нулю. Следовательно, $\mathbf {v} _{0}$ идентична средней скорости u , и мы имеем $$\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0$$

Подводя итог, можно сказать, что период гироскопа и радиус гироскопа должны быть намного меньше типичных времен и длин, которые приводят к большим изменениям в функции распределения. Радиус гироскопа часто оценивается путем замены V на тепловую скорость или альфвеновскую скорость . В последнем случае R часто называют инерционной длиной. Условия вмороженности необходимо оценивать для каждого вида частиц отдельно. Поскольку электроны имеют гораздо меньшие период и радиус гиропериода, чем ионы, условия вмороженности будут выполняться чаще.

См. также

• Уравнение Фоккера – Планка

Дальнейшее чтение

• Власов А.А. (1961). «Теория многих частиц и ее применение к плазме». Нью-Йорк . Бибкод : 1961temc.book.....V .