демпфирование Ландау

В физике , затухание Ландау названное в честь его первооткрывателя, Советский физик Лев Давидович Ландау (1908–68) — это эффект затухания ( экспоненциального убывания в зависимости от времени) продольных волн пространственного заряда в плазме или аналогичной среде. Это явление предотвращает развитие неустойчивости и создает область устойчивости в пространстве параметров . утверждал Позже Дональд Линден-Белл , что аналогичное явление происходит в галактической динамике. где газ электронов, взаимодействующих электростатическими силами, заменяется «газом звезд», взаимодействующим гравитационными силами. Демпфированием Ландау можно точно манипулировать при численном моделировании, например при моделировании частиц в ячейках . Его существование было экспериментально доказано Мальмбергом и Уортоном в 1964 году. почти через два десятилетия после предсказания Ландау в 1946 году.

Взаимодействие волны и частицы

Затухание Ландау происходит из-за обмена энергией между электромагнитной волной с фазовой скоростью $v_{\text{ph}}$ и частицы в плазме со скоростью, примерно равной $v_{\text{ph}}$, который может сильно взаимодействовать с волной. Частицы, имеющие скорости немного меньше $v_{\text{ph}}$ будут ускоряться электрическим полем волны и двигаться с фазовой скоростью волны, а частицы со скоростями, несколько превышающими $v_{\text{ph}}$ будет замедляться, теряя энергию волне: частицы стремятся синхронизироваться с волной. Это доказано экспериментально с помощью лампы бегущей волны .

В идеальной магнитогидродинамической (МГД) плазме скорости частиц часто принимают приблизительно за максвелловскую функцию распределения . Если наклон функции отрицательный, то число частиц со скоростями немного меньшими, чем фазовая скорость волны, больше, чем количество частиц со скоростями немного большими. Следовательно, частиц больше, получающих энергию от волны, чем теряющих ее, что приводит к затуханию волны.Однако если наклон функции положителен, то число частиц со скоростями немного меньшими, чем фазовая скорость волны, меньше числа частиц со скоростями немного большими. Следовательно, больше частиц теряют энергию волне, чем получают от волны, что приводит к увеличению энергии волны. Тогда затухание Ландау заменяется ростом Ландау.

Физическая интерпретация

Математическая теория затухания Ландау несколько сложна. (см. § Математическое рассмотрение ) . Однако в случае волн с конечной амплитудой существует простая физическая интерпретация что, хотя и не совсем верно, помогает визуализировать это явление.

Парусники (или серферы), ловящие океанскую волну, ускоряются и замедляются, чтобы соответствовать скорости волны.

Можно представить волны Ленгмюра как волны в море, а частицы — как серферов, пытающихся поймать волну, движущихся в одном направлении. Если серфер движется по поверхности воды со скоростью немного меньшей, чем скорость волны, он в конечном итоге будет пойман и толкнут вдоль волны (набирая энергию), в то время как серфер, движущийся немного быстрее волны, будет толкать волну по мере своего движения. в гору (теряя энергию волне).

Стоит отметить, что важную роль в этом энергетическом взаимодействии с волнами играют только серферы; пляжный мяч, плавающий на воде (нулевая скорость), будет подниматься и опускаться по мере прохождения волны, вообще не набирая энергии. Кроме того, лодка, которая движется быстрее волн, не обменивается с волной много энергии.

Электроны в изначально максвелловской плазме движутся через одномерное фазовое пространство в присутствии электростатической волны.

Несколько более детальная картина получается при рассмотрении траекторий частиц в фазовом пространстве , в волновой системе отсчета. Частицы, близкие к фазовой скорости, захватываются и вынуждены двигаться вместе с волновыми фронтами с фазовой скоростью. Таким образом, любые такие частицы, скорость которых изначально была ниже фазовой скорости, были ускорены, в то время как любые частицы, скорость которых изначально была выше фазовой скорости, были замедлены. Поскольку в максвелловской плазме изначально больше частиц ниже фазовой скорости, чем выше нее, плазма имеет чистый прирост энергии, и, следовательно, волна теряет энергию.

Простое механическое описание динамики частиц дает количественную оценку синхронизации частиц с волной. Более строгий подход показывает, что наиболее сильная синхронизация имеет место для частиц, скорость которых в волновой системе пропорциональна скорости затухания и не зависит от амплитуды волны. Поскольку затухание Ландау происходит для волн сколь угодно малой амплитуды, это показывает, что наиболее активные частицы при этом затухании далеки от захвата. Это естественно, поскольку захват таких волн предполагает расхождение временных масштабов (в частности, $T_{\text{trap}}\sim A^{-1/2}$ для амплитуды волны $A$).

Математическая обработка

Теория возмущений во власовской системе координат

Теоретическое рассмотрение начинается с уравнения Власова в нерелятивистском пределе отсутствия магнитного поля, системы уравнений Власова – Пуассона. Явные решения получены в пределе малых $E$-поле. Функция распределения $f$ и поле $E$ развернуты в ряд: $f=f_{0}(v)+f_{1}(x,v,t)+\cdots$, $E=E_{1}(x,t)+E_{2}(x,t)+\cdots$ и условия равного порядка собраны.

Чтобы получить первый порядок уравнений Власова – Пуассона, прочитайте $$(\partial _{t}+v\partial _{x})f_{1}+{e \over m}E_{1}f'_{0}=0,\quad \partial _{x}E_{1}={e \over \epsilon _{0}}\int f_{1}\mathrm {d} v.$$

Ландау рассчитал волна, вызванная первоначальным возмущением $f_{1}(x,v,0)=g(v)\exp(ikx)$ и с помощью преобразования Лапласа и контурного интегрирования нашел затухающую бегущую волну вида $\exp[ik(x-v_{\text{ph}}t)-\gamma t]$ с волновым числом $k$ и декремент демпфирования $$\gamma \approx -{\pi \omega _{p}^{3} \over 2k^{2}N}f'_{0}(v_{\text{ph}}),\quad N=\int f_{0}\mathrm {d} v.$$

Здесь $\omega _{p}$ – частота плазменных колебаний , $N$ – электронная плотность. Позже Нико ван Кампен доказал тот же результат можно получить с помощью преобразования Фурье . Он показал, что линеаризованные уравнения Власова – Пуассона имеют непрерывный спектр сингулярных нормальных мод, известных теперь как моды Ван Кампена. $${\frac {\omega _{p}^{2}}{kN}}f'_{0}{\frac {\mathcal {P}}{kv-\omega }}+\epsilon \delta \left(v-{\frac {\omega }{k}}\right)$$в котором ${\mathcal {P}}$ означает основную стоимость, $\delta$ — дельта-функция (см. обобщенную функцию ) и $$\epsilon =1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{kN}}\int f'_{0}{\frac {\mathcal {P}}{\omega -kv}}\mathrm {d} v$$– диэлектрическая проницаемость плазмы. Разложив исходное возмущение по этим модам, он получил Фурье-спектр результирующей волны. Затухание объясняется смешением фаз этих мод Фурье с несколько разными частотами вблизи $\omega _{p}$.

Было неясно, как могло происходить затухание в бесстолкновительной плазме: куда уходит энергия волны? В теории жидкости, в которой плазма моделируется как дисперсионная диэлектрическая среда, энергия ленгмюровских волн известна: энергия поля, умноженная на коэффициент Бриллюэна $\partial _{\omega }(\omega \epsilon )$.Но демпфирование не может быть получено в этой модели. Для расчета энергообмена волны с резонансными электронами теория плазмы Власова должна быть расширена до второго порядка , и возникают проблемы с подходящими начальными условиями и вековыми членами.

В исх. эти проблемы изучаются. Поскольку расчеты для бесконечной волны во втором порядке несовершенны, волновой пакет анализируется . Найдены начальные условия второго порядка, которые подавляют вековое поведение и возбуждают волновой пакет, энергия которого согласуется с теорией жидкости. На рисунке показана плотность энергии волнового пакета, движущегося с групповой скоростью , причем его энергия уносится электронами, движущимися с фазовой скоростью. Полная энергия, площадь под кривыми, сохраняется.

Задача Коши для пертурбативных решений

Строгая математическая теория основана на решении задачи Коши для эволюционного уравнения (в данном случае уравнения Власова–Пуассона в частных производных) и доказательстве оценок решения.

Во-первых, со времен Ландау была разработана довольно полная линеаризованная математическая теория.

Выход за рамки линеаризованного уравнения и решение проблемы нелинейности было давней проблемой математической теории затухания Ландау. Ранее одним математическим результатом на нелинейном уровне было существование класса экспоненциально затухающих решений уравнения Власова–Пуассона в окружности, что было доказано в с помощью техники рассеяния (этот результат был недавно расширен в ). Однако эти результаты существования ничего не говорят о том , какие исходные данные могли привести к таким затухающим решениям.

В статье, опубликованной французскими математиками Седриком Виллани и Клеманом Муо , решена проблема с исходными данными и впервые математически установлено затухание Ландау для нелинейного уравнения Власова. Доказано, что решения, начинающиеся в некоторой окрестности (для аналитической топологии или топологии Жевре) линейно устойчивого однородного стационарного решения, (орбитально) устойчивы во все времена и глобально затухают во времени. Явление затухания интерпретируется по-новому с точки зрения передачи регулярности $f$ как функция $x$ и $v$, соответственно, а не обмен энергией. Крупномасштабные вариации переходят в вариации все меньшего и меньшего масштаба в пространстве скоростей, что соответствует сдвигу спектра Фурье $f$ как функция $v$. Этот сдвиг, хорошо известный в линейной теории, оказывается справедливым и в нелинейном случае.

Теория возмущений в системе N тел.

Механическое описание N -тел, первоначально считавшееся невозможным, позволяет строго рассчитать затухание Ландау с использованием второго закона движения Ньютона и ряда Фурье. Для этого вывода не требуются ни уравнение Власова, ни преобразования Лапласа. Аналогично производится расчет обмена энергией (точнее импульсом) волны с электронами. Этот расчет делает интуитивной интерпретацию затухания Ландау как синхронизацию почти резонансных пролетающих частиц.