Энтропия фон Неймана

В физике энтропия фон Неймана , названная в честь Джона фон Неймана , является расширением концепции энтропии Гиббса от классической статистической механики до квантовой статистической механики . Для квантово-механической системы, описываемой матрицей плотности ρ , энтропия фон Неймана равна

$S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),$

где $\operatorname {tr}$ обозначает след , а ln обозначает (натуральный) матричный логарифм . Если матрица плотности ρ записана в базисе своих собственных векторов $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ как

$\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,$

тогда энтропия фон Неймана просто

$S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.$

В этой форме S можно рассматривать как теоретико-информационную энтропию Шеннона .

Энтропия фон Неймана также используется в разных формах ( условная энтропия , относительная энтропия и т. д.) в рамках квантовой теории информации для характеристики энтропии запутанности .

Предыстория

Джон фон Нейман создал строгую математическую основу квантовой механики в своей работе 1932 года « Математические основы квантовой механики» . В нем он представил теорию измерения, в которой обычное представление о коллапсе волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон Неймана или проективное измерение).

Матрица плотности была введена с разными мотивами фон Нейманом и Львом Ландау . Мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описать подсистему сложной квантовой системы вектором состояния. С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений.

Разработанный таким образом формализм матрицы плотности расширил инструменты классической статистической механики на квантовую область. В классической модели распределение вероятностей и статистическая сумма системы позволяют нам вычислить все возможные термодинамические величины. Фон Нейман ввел матрицу плотности, чтобы играть ту же роль в контексте квантовых состояний и операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Знание оператора статистической матрицы плотности позволило бы нам вычислить все средние квантовые объекты концептуально схожим, но математически различным способом.

Предположим, у нас есть набор волновых функций | Ψ 〉, которые параметрически зависят от набора квантовых чисел n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Естественная переменная, которая у нас есть, — это амплитуда, с которой конкретная волновая функция базового набора участвует в реальной волновой функции системы. Обозначим квадрат этой амплитуды через p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ). Цель состоит в том, чтобы превратить эту величину p в классическую функцию плотности в фазовом пространстве. Нам нужно проверить, что p переходит в функцию плотности в классическом пределе и обладает эргодическими свойствами. После проверки того, что p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) является константой движения, эргодическое предположение для вероятностей p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) делает p функцией от только энергия.

После этой процедуры, наконец, приходим к формализму матрицы плотности при поиске формы, в которой p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) инвариантно относительно используемого представления. В той форме, в которой оно записано, оно даст правильные средние значения только для величин, диагональных относительно квантовых чисел n ₁ , n ₂ , ..., n _N .

Ожидаемые значения операторов, которые не являются диагональными, включают фазы квантовых амплитуд. Предположим, мы кодируем квантовые числа n ₁ , n ₂ , ..., n _N в один индекс i или j . Тогда наша волновая функция имеет вид

$\left|\Psi \right\rangle =\sum _{i}a_{i}\left|\psi _{i}\right\rangle .$

Среднее значение оператора B, который не является диагональным в этих волновых функциях, поэтому

$\left\langle B\right\rangle =\sum _{i,j}a_{i}^{*}a_{j}\left\langle i\right|B\left|j\right\rangle .$

Роль, которая первоначально отводилась величинам $\left|a_{i}\right|^{2}$ таким образом, захватывается матрицей плотности системы S .

$\left\langle j\right|\rho \left|i\right\rangle =a_{j}a_{i}^{*}.$

Следовательно, 〈B〉 читается

$\left\langle B\right\rangle =\operatorname {tr} (\rho B).$

Инвариантность указанного выше члена описывается теорией матриц. След инвариантен относительно циклических перестановок, и обе матрицы ρ и B могут быть преобразованы в любой удобный базис, обычно в базис собственных векторов. Путем циклических перестановок матричного произведения можно увидеть, что возникает единичная матрица, и поэтому изменение базиса не повлияет на след. Была описана математическая основа, в которой математическое ожидание квантовых операторов, описываемых матрицами, получается путем взятия следа произведения оператора плотности. ${\hat {\rho }}$ и оператор ${\hat {B}}$ (Скалярное произведение Гильберта между операторами). Матричный формализм здесь находится в рамках статистической механики, хотя он применим и для конечных квантовых систем, что обычно имеет место, когда состояние системы не может быть описано чистым состоянием , а как статистический оператор ${\hat {\rho }}$ вышеуказанной формы. Математически, ${\hat {\rho }}$ — положительно-полуопределенная эрмитова матрица с единичным следом.

Определение

Учитывая матрицу плотности ρ , фон Нейман определил энтропию как

$S(\rho )=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),$

что является правильным расширением энтропии Гиббса (с точностью до фактора k _B ) и энтропии Шеннона на квантовый случай. Для вычисления S( ρ ) удобно (см. логарифм матрицы ) вычислить собственное разложение матрицы $~\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|$. Энтропия фон Неймана тогда определяется выражением

$S(\rho )=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.$

Свойства

Некоторые свойства энтропии фон Неймана:

• S ( ρ ) равно нулю тогда и только тогда, когда ρ представляет чистое состояние.
• S ( ρ ) максимален и равен $\ln N$ для максимально смешанного состояния N — размерность гильбертова пространства .
• S ( ρ ) инвариантен относительно изменений базиса ρ , т.е. S ( ρ ) = S ( UρU ^† ) , где U — унитарное преобразование.
• S ( ρ ) является вогнутым, то есть задан набор положительных чисел λ _i, сумма которых равна единице ( $\Sigma _{i}\lambda _{i}=1$) и операторы плотности ρ _i , имеем

$S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\geq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i}).$

• S ( ρ ) удовлетворяет оценке

$S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\leq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.$

где равенство достигается, если ρ _i имеет ортогональный носитель, и, как и раньше, ρ _i являются операторами плотности, а λ _i представляет собой набор положительных чисел, сумма которых равна единице ( $\Sigma _{i}\lambda _{i}=1$)

• S ( ρ ) аддитивна для независимых систем. Учитывая две матрицы плотности ρ _A , ρ _{B ,} описывающие независимые системы A и B , мы имеем

$S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})$.

• S ( ρ ) сильно субаддитивна для любых трёх систем A , B и C :

$S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).$

Это автоматически означает, что S ( ρ ) субаддитивна:

$S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{C}).$

Ниже обсуждается понятие субаддитивности с последующим его обобщением на случай сильной субаддитивности.

Субаддитивность

Если ρ _A , ρ _B — приведенные матрицы плотности общего состояния ρ _AB , то

$\left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).$

Это правое неравенство известно как субаддитивность . Два неравенства вместе иногда называют неравенством треугольника . Они были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиотом Х. Либом . Если в теории Шеннона энтропия сложной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, то в квантовой теории это не так, т. е. возможно, что S ( ρ _AB ) = 0 , а S ( ρ _А ) знак равно S ( ρ _B ) > 0 .

Интуитивно это можно понять так: В квантовой механике энтропия совместной системы может быть меньше суммы энтропии ее компонентов, поскольку компоненты могут быть запутаны . Например, как видно явно, состояние Белла с двумя спинами ½,

$\left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle ,$

является чистым состоянием с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его индивидуально в его приведенной матрице плотности . Энтропию одного спина можно «отменить», если она коррелирует с энтропией другого. Левое неравенство можно грубо интерпретировать как утверждение, что энтропию можно устранить только равным количеством энтропии.

Если система A и система B имеют разное количество энтропии, меньшая может лишь частично компенсировать большую, и некоторая энтропия должна остаться. Точно так же правое неравенство можно интерпретировать как утверждение, что энтропия сложной системы максимальна, когда ее компоненты некоррелированы, и в этом случае общая энтропия представляет собой просто сумму субэнтропий. Это может быть более интуитивно понятным в формулировке фазового пространства , а не в гильбертовом пространстве, где энтропия Фон Неймана равна минус ожидаемому значению ★ -логарифма функции Вигнера , − ∫ f ★ ​​log _★ f   dx   dp , вплоть до смещенный сдвиг. До этого сдвига смещения нормализации энтропия мажорируется своим классическим пределом .

Сильная

Основная статья: Сильная субаддитивность квантовой энтропии

Энтропия фон Неймана также сильно субаддитивна . Учитывая три гильбертовых пространства , A , B , C ,

$S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).$

Это более сложная теорема, впервые доказанная Дж. Кифером в 1959 г. и независимо Эллиотом Х. Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 году, используя матричное неравенство Эллиотта Х. Либа доказано в 1973 году. Используя технику доказательства, которая устанавливает левую часть приведенного выше неравенства треугольника, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству.

$S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})$

когда ρ _AB и т. д. являются приведенными матрицами плотности матрицы плотности ρ _ABC . Если мы применим обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотрим все перестановки A , B , C , мы получим неравенство треугольника для ρ _ABC : Каждое из трех чисел S ( ρ _AB ), S ( ρ _BC ), S ( ρAC _. ) меньше или равна сумме двух других

Канонический ансамбль

Теорема. Каноническое распределение - это уникальный максимум свободной энтропии Гельмгольца. ${\textstyle f[{\hat {\rho }}]}$, который имеет решение $${\hat {\rho }}(\beta )=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}|i\rangle \langle i|=e^{-\beta {\hat {H}}}$$в собственном базисе гамильтониана ${\textstyle {\hat {H}}}$. Это состояние имеет свободную энтропию $$f=\ln Z$$где ${\textstyle Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}=Tr({\hat {\rho }})}$ является функцией распределения.

Эквивалентно, каноническое распределение — это уникальный максимум энтропии при ограничении: $${\begin{cases}\max S[{\hat {\rho }}]\\\langle H\rangle =E\end{cases}}$$

Крупное зерно

Поскольку для чистого состояния матрица плотности идемпотентна , ρ = ρ ² , энтропия S ( ρ ) для него равна нулю. Таким образом, если система конечна (конечномерное матричное представление), энтропия S ( ρ ) количественно определяет выход системы из чистого состояния . Другими словами, он кодифицирует степень перемешивания состояний, описывающих данную конечную систему.

Измерение декогерирует квантовую систему в нечто неинтерферирующее и якобы классическое ; так, например, исчезающая энтропия чистого состояния $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$, соответствующий матрице плотности

$\rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$

увеличивается до $S=\ln 2\approx 0.69$ для смеси результатов измерения

$\rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

поскольку информация о квантовой интерференции стирается.

Однако если измерительное устройство также является квантовомеханическим, и оно также изначально находится в чистом состоянии, то объединенная система устройство-система представляет собой просто более крупную квантовую систему. Поскольку он начинается в чистом состоянии, он также оказывается в чистом состоянии, и поэтому энтропия фон Неймана никогда не увеличивается. Проблему можно решить, используя идею грубой зернистости .

Конкретно, пусть система будет кубитом, а измерительным устройством — другой кубит. Измерительный прибор запускается в $\left|0\right\rangle$ состояние. Процесс измерения представляет собой вентиль CNOT , так что мы имеем $\left|0\right\rangle \left|0\right\rangle \mapsto \left|0\right\rangle \left|0\right\rangle$, $\left|1\right\rangle \left|0\right\rangle \mapsto \left|1\right\rangle \left|1\right\rangle$. То есть, если система запускается в чистом состоянии 1, то после измерения измерительное устройство также находится в чистом состоянии 1.

Теперь, если система запускается с $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ состоянии, то после измерения суставная система находится в состоянии Белла $(\left|0\right\rangle \left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle \left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$. Энтропия vN совместной системы по-прежнему равна 0, поскольку она все еще находится в чистом состоянии. Однако если мы приблизим систему, измерив энтропию vN только устройства, затем только кубита, а затем сложим их вместе, мы получим $2\ln 2$.

По субаддитивности $S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B})$, то есть любой способ разбить всю систему на части будет равен или увеличит энтропию vN.

См. также

• Энтропия (теория информации)
• Линейная энтропия
• Статистическая сумма (математика)
• Квантовая условная энтропия
• Квантовая относительная энтропия
• Квантовая взаимная информация
• Квантовая запутанность
• Сильная субаддитивность квантовой энтропии.
• Энтропия Верля