Субаддитивность

В математике элементов субаддитивность — это свойство функции, которое, грубо говоря, гласит, что вычисление функции для суммы двух области определения всегда возвращает нечто меньшее или равное сумме значений функции в каждом элементе. Существует множество примеров субаддитивных функций в различных областях математики, особенно в нормах и квадратных корнях . Аддитивные отображения — это частные случаи субаддитивных функций.

Определения

Субадитивная функция – это функция $f\colon A\to B$, имеющий домен A и упорядоченный кодомен B , оба закрытые при сложении, со следующим свойством: $$\forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).$$

Примером является функция извлечения квадратного корня , имеющая неотрицательные действительные числа в качестве домена и кодомена:с $\forall x,y\geq 0$ у нас есть: $${\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.$$

Последовательность ​ $\left\{a_{n}\right\}_{n\geq 1}$ называется субаддитивным, если оно удовлетворяет неравенству $$a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$$для всех м и н . Это частный случай субаддитивной функции, если последовательность интерпретируется как функция на множестве натуральных чисел.

Обратите внимание: хотя вогнутая последовательность субаддитивна, обратное неверно. Например, случайным образом назначить $a_{1},a_{2},...$ со значениями в $0.5,1$; тогда последовательность субаддитивна, но не вогнута.

Свойства

Последовательности

Полезным результатом, относящимся к субаддитивным последовательностям, является следующая лемма Михаэля Фекете .

Субаддитивная лемма Фекете — для каждой субаддитивной последовательности ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$, предел $\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$ существует и равен нижней грани $\inf {\frac {a_{n}}{n}}$. (Ограничение может быть $-\infty$.)

Доказательство

Позволять $s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}$.

По определению, $\liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}$. Так что достаточно показать $\limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}$.

Если нет, то существует подпоследовательность $(a_{n_{k}})_{k}$и $\epsilon >0$, такой, что ${\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon$ для всех $k$.

С $s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}$, существует $a_{m}$ такой, что ${\frac {a_{m}}{m}}<s^{*}+\epsilon /2$.

По принципу бесконечной ячейки существует подпоследовательность $(a_{n_{k}})_{k}$, все индексы которого принадлежат одному и тому же классу вычетов по модулю $m$, и поэтому они продвигаются кратно $m$. Эта последовательность, продолжающаяся достаточно долго, из-за субаддитивности будет вынуждена опуститься ниже $s^{*}+\epsilon$ линия наклона, противоречие.

Более подробно, по субаддитивности, имеем

${\textstyle {\begin{aligned}a_{n_{2}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{2}-n_{1})/m\\a_{n_{3}}&\leq a_{n_{2}}+a_{m}(n_{3}-n_{2})/m\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{3}-n_{1})/m\\\cdots &\cdots \end{aligned}}}$

что подразумевает $\limsup _{k}a_{n_{k}}/n_{k}\leq a_{m}/m<s^{*}+\epsilon$

Аналог леммы Фекете справедлив и для супераддитивных последовательностей, а именно: $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ (Тогда предел может быть положительной бесконечностью: рассмотрим последовательность $a_{n}=\log n!$.)

Существуют расширения леммы Фекете, не требующие неравенства $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ справедливо для всех m и n , но только для таких m и n, что ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$

Доказательство

Продолжайте доказательство, как и раньше, пока мы не воспользуемся принципом бесконечных ячеек.

Рассмотрим последовательность $a_{m},a_{2m},a_{3m},...$. С $2m/m=2$, у нас есть $a_{2m}\leq 2a_{m}$. Аналогично, мы имеем $a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}$, и т. д.

По предположению, для любого $s,t\in \mathbb {N}$, мы можем использовать к ним субаддитивность, если

$$\ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]$$

Если бы мы имели дело с непрерывными переменными, то мы могли бы использовать субаддитивность, чтобы перейти от $a_{n_{k}}$ к $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]$, затем $a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]$и т. д., что охватывает весь интервал $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )$.

Хотя у нас нет непрерывных переменных, мы все равно можем охватить достаточно целых чисел, чтобы завершить доказательство. Позволять $n_{k}$ быть достаточно большим, таким, чтобы

$$\ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)$$тогда пусть $n'$ быть наименьшим числом на пересечении $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])$. По предположению о $n_{k}$, легко увидеть (нарисовать картинку), что интервалы $\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]$ и $\ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]$ коснитесь середины. Таким образом, повторяя этот процесс, мы охватываем всю $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])$.

При этом все $a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...$ сбрасываются, как и в предыдущем доказательстве.

Более того, условие $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ можно ослабить следующим образом: $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)$ при условии, что $\phi$ — возрастающая функция такая, что интеграл ${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$ сходится (около бесконечности).

Имеются также результаты, позволяющие вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если одновременно какая-то супераддитивность и субаддитивность. присутствует

Кроме того, аналоги леммы Фекете доказаны для субаддитивных вещественных отображений (с дополнительными предположениями) конечных подмножеств аменабельной группы. , и, далее, сокращающейся левоаменабельной полугруппы.

Функции

Теорема: — Для каждой измеримой субаддитивной функции $f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ предел $\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}$ существует и равен $\inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.$ (Ограничение может быть $-\infty .$)

Если f — субаддитивная функция и если 0 находится в ее области определения, то f (0) ≥ 0. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим неравенство вверху. $f(x)\geq f(x+y)-f(y)$. Следовательно $f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0$

функция Вогнутая $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ с $f(0)\geq 0$ также является субаддитивным.Чтобы увидеть это, нужно сначала заметить, что $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$.Затем, глядя на сумму этой оценки для $f(x)$ и $f(y)$, окончательно проверим, что f субаддитивна.

Отрицательная субаддитивная функция является супераддитивной .

Примеры в различных областях

Энтропия

Энтропия играет фундаментальную роль в теории информации и статистической физике , а также в квантовой механике в обобщенной формулировке, предложенной фон Нейманом .Энтропия всегда появляется как субаддитивная величина во всех ее формулировках, что означает, что энтропия суперсистемы или набора случайных величин всегда меньше или равна сумме энтропий ее отдельных компонентов.Кроме того, энтропия в физике удовлетворяет нескольким более строгим неравенствам, таким как сильная субаддитивность энтропии в классической статистической механике и ее квантовый аналог .

Экономика

Субаддитивность является важным свойством некоторых конкретных функций стоимости . Как правило, это необходимое и достаточное условие проверки естественной монополии . Это означает, что производство только одной фирмы социально менее затратно (с точки зрения средних издержек), чем производство части исходного количества равным числом фирм.

Эффект масштаба представлен субаддитивными функциями средних издержек .

За исключением взаимодополняющих товаров, цена товаров (как функция количества) должна быть субаддитивной. В противном случае, если сумма стоимости двух предметов дешевле, чем стоимость набора из двух из них вместе взятых, тогда никто никогда не купит этот набор, что фактически приведет к тому, что цена набора «станет» суммой цен два отдельных предмета. Доказывая тем самым, что это не является достаточным условием естественной монополии; поскольку единица обмена может не являться фактической стоимостью товара. Эта ситуация знакома каждому на политической арене, где некоторое меньшинство утверждает, что потеря некоторой конкретной свободы на определенном уровне управления означает, что многие правительства становятся лучше; тогда как большинство утверждает, что существует какая-то другая правильная единица измерения стоимости.

Финансы

Субаддитивность является одним из желательных свойств последовательных мер риска в управлении рисками . Экономическая интуиция, лежащая в основе субаддитивности меры риска, заключается в том, что подверженность портфелю риску должна, в худшем случае, просто равняться сумме подверженности риску отдельных позиций, составляющих портфель. В любом другом случае эффект диверсификации приведет к тому, что размер портфеля будет ниже суммы индивидуальных рисков. Отсутствие субаддитивности является одним из основных критических замечаний к моделям VaR , которые не полагаются на предположение о нормальности факторов риска. Гауссова VaR обеспечивает субаддитивность: например, гауссова VaR портфеля из двух унитарных длинных позиций. $V$ на уровне доверия $1-p$ То есть, если предположить, что среднее отклонение стоимости портфеля равно нулю, а VaR определяется как отрицательный убыток, $${\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}$$где $z_{p}$ является обратной функцией нормального кумулятивного распределения на уровне вероятности. $p$, $\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}$ - это дисперсия доходности отдельных позиций и $\rho _{xy}$ — это мера линейной корреляции между доходностью двух отдельных позиций. Поскольку дисперсия всегда положительна, $${\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}$$Таким образом, гауссова VaR субаддитивна для любого значения $\rho _{xy}\in [-1,1]$ и, в частности, он равен сумме индивидуальных рисков, когда $\rho _{xy}=1$ это тот случай, когда диверсификация не влияет на риск портфеля.

Термодинамика

Субаддитивность возникает в термодинамических свойствах неидеальных растворов и смесей, таких как избыточный молярный объем и теплота смешения или избыточная энтальпия.

Комбинаторика слов

Факториальный язык $L$ это тот, где, если слово находится в $L$, то все множители этого слова также находятся в $L$. В комбинаторике слов распространенной задачей является определение числа $A(n)$ длины- $n$ слова факториального языка. Четко $A(m+n)\leq A(m)A(n)$, так $\log A(n)$ субаддитивна, и, следовательно, лемму Фекете можно использовать для оценки роста $A(n)$.

Для каждого $k\geq 1$, образец двух строк длины $n$ равномерно в случайном порядке по алфавиту $1,2,...,k$. Ожидаемая длина самой длинной общей подпоследовательности является супераддитивной функцией $n$, и, следовательно, существует число $\gamma _{k}\geq 0$, так что ожидаемая длина растет как $\sim \gamma _{k}n$. Проверив случай с $n=1$, мы легко имеем ${\frac {1}{k}}<\gamma _{k}\leq 1$. Точная стоимость даже $\gamma _{2}$однако известно, что оно находится только в пределах от 0,788 до 0,827.

См. также

• Кажущееся молярное свойство - Разница свойств одного моля вещества в смеси по сравнению с идеальным раствором.
• Интеграл Шоке
• Супераддитивность
• Неравенство треугольника - свойство геометрии, также используемое для обобщения понятия «расстояние» в метрических пространствах.

Ссылки

• Дьёрдь Полья и Габор Сегё . «Проблемы и теоремы анализа, том 1». Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк (1976). ISBN   0-387-05672-6 .
• Эйнар Хилле . « Функциональный анализ и полугруппы ». Американское математическое общество, Нью-Йорк (1948).
• Н. Х. Бингхэм, А. Дж. Осташевски. «Общие субаддитивные функции». Труды Американского математического общества, том. 136, нет. 12 (2008), стр. 4257–4266.

Внешние ссылки

Эта статья включает в себя материал из субаддитивности на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .