Последовательная мера риска

В области актуарной науки и финансовой экономики существует несколько способов определения риска; Чтобы прояснить концепцию, теоретики описали ряд свойств, которыми мера риска может обладать или не обладать . Когерентная мера риска — это функция, которая удовлетворяет свойствам монотонности , субаддитивности , однородности и трансляционной инвариантности .

Характеристики

Рассмотрим случайный результат $X$ рассматривается как элемент линейного пространства ${\mathcal {L}}$ измеримых функций, определенных в соответствующем вероятностном пространстве. Функциональный ​ $\varrho :{\mathcal {L}}$ → $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ считается последовательной мерой риска для ${\mathcal {L}}$ если он удовлетворяет следующим свойствам:

Нормализованный

$\varrho (0)=0$

То есть риск при отсутствии активов равен нулю.

Монотонность

$\mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2}\;\mathrm {a.s.} ,\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1})\geq \varrho (Z_{2})$

То есть, если портфолио $Z_{2}$ всегда имеет более высокую ценность, чем портфель $Z_{1}$ почти во всех сценариях, тогда риск $Z_{2}$ должен быть меньше риска $Z_{1}$. Например, если $Z_{1}$ является опционом колл «в деньгах» (или иным образом) на акцию, и $Z_{2}$ также является опционом колл «в деньгах» с более низкой ценой исполнения. В управлении финансовыми рисками монотонность означает, что портфель с большей будущей доходностью имеет меньший риск.

Субаддитивность

$\mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1}+Z_{2})\leq \varrho (Z_{1})+\varrho (Z_{2})$

Действительно, риск двух портфелей вместе не может быть хуже, чем сложение двух рисков по отдельности: это принцип диверсификации .В управлении финансовыми рисками субаддитивность означает, что диверсификация выгодна. Принцип субаддитивности иногда также рассматривается как проблематичный.

Положительная однородность

$\mathrm {If} \;\alpha \geq 0\;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (\alpha Z)=\alpha \varrho (Z)$

Грубо говоря, если вы удвоите свой портфель, вы удвоите и свой риск.В управлении финансовыми рисками положительная однородность подразумевает, что риск позиции пропорционален ее размеру.

Трансляционная инвариантность

Если $A$ это детерминированный портфель с гарантированной доходностью $a$ и $Z\in {\mathcal {L}}$ затем

$\varrho (Z+A)=\varrho (Z)-a$

Портфолио $A$ просто добавляет деньги $a$ в ваше портфолио $Z$. В частности, если $a=\varrho (Z)$ затем $\varrho (Z+A)=0$. В управлении финансовыми рисками трансляционная инвариантность подразумевает, что добавление определенной суммы капитала снижает риск на ту же сумму.

Выпуклые меры риска

Впоследствии понятие согласованности было смягчено. Действительно, понятия субаддитивности и положительной однородности можно заменить понятием выпуклости :

Выпуклость

${\text{If }}Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}{\text{ and }}\lambda \in [0,1]{\text{ then }}\varrho (\lambda Z_{1}+(1-\lambda )Z_{2})\leq \lambda \varrho (Z_{1})+(1-\lambda )\varrho (Z_{2})$

Примеры мер риска

Стоимость под угрозой

Хорошо известно, что подверженная риску стоимость не является последовательной мерой риска, поскольку она не учитывает свойство субаддитивности. Непосредственным следствием этого является то, что стоимость, подверженная риску, может препятствовать диверсификации. Однако стоимость, подверженная риску , является согласованной при допущении об эллиптически распределенных потерях (например, нормально распределенных ), когда стоимость портфеля является линейной функцией цен активов. Однако в этом случае величина риска становится эквивалентной подходу средней дисперсии, при котором риск портфеля измеряется дисперсией доходности портфеля.

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для значения, подверженного риску: $g(x)=\mathbf {1} _{x\geq 1-\alpha }$. Невогнутость $g$ доказывает несогласованность этой меры риска.

Иллюстрация

В качестве простого примера, демонстрирующего несогласованность стоимости, подверженной риску, рассмотрим VaR портфеля с доверительной вероятностью 95% в течение следующего года для двух облигаций с нулевым купоном, допускающих дефолт, со сроком погашения через 1 год, номинированных в наших расчетах. валюта.

Предположим следующее:

• Текущая доходность по двум облигациям составляет 0%.
• Две облигации от разных эмитентов.
• Каждая облигация имеет 4% вероятность дефолта в течение следующего года.
• Событие дефолта по любой облигации не зависит от другой.
• В случае дефолта облигации имеют ставку возврата 30%.

В этих условиях VaR 95% для владения любой из облигаций равен 0, поскольку вероятность дефолта составляет менее 5%. Однако если мы держим портфель, который состоит из 50% каждой облигации по стоимости, то VaR 95% составит 35% (= 0,5*0,7 + 0,5*0), поскольку вероятность дефолта хотя бы одной из облигаций составляет 7,84% (= 1 - 0,96*0,96), что превышает 5%. Это нарушает свойство субаддитивности, показывающее, что VaR не является последовательной мерой риска.

Средняя стоимость под риском

Средняя стоимость под риском (иногда называемая ожидаемым дефицитом или условной стоимостью под риском или $AVaR$) является последовательным показателем риска, даже несмотря на то, что он получен из стоимости под риском, а это не так. Область может быть расширена для более общих сердец Орлица из более типичных пространств Lp .

Энтропийное значение под угрозой

Энтропийное значение риска является последовательным показателем риска.

Хвостовая стоимость под угрозой

Хвостовое значение риска (или хвостовое условное ожидание) является согласованной мерой риска только тогда, когда базовое распределение является непрерывным .

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для значения хвоста, находящегося под угрозой, равна $g(x)=\min({\frac {x}{\alpha }},1)$. Вогнутость $g$ доказывает согласованность этой меры риска в случае непрерывного распределения.

Мера риска пропорциональной опасности (PH)

Мера риска PH (или мера пропорционального риска опасности) трансформирует уровни опасности. $\scriptstyle \left(\lambda (t)={\frac {f(t)}{{\bar {F}}(t)}}\right)$ используя коэффициент $\xi$.

Функция преобразования Ванга (функция искажения) для меры риска PH равна $g_{\alpha }(x)=x^{\xi }$. Вогнутость $g$ если $\scriptstyle \xi <{\frac {1}{2}}$ доказывает последовательность этой меры риска.

Пример функции преобразования Ванга или функции искажения

g-энтропийные меры риска

g-энтропийные меры риска представляют собой класс теоретико-информационных последовательных мер риска, которые включают в себя некоторые важные случаи, такие как CVaR и EVAR.

Мера риска Ванга

Мера риска Ванга определяется следующей функцией преобразования Ванга (функция искажения): $g_{\alpha }(x)=\Phi \left[\Phi ^{-1}(x)-\Phi ^{-1}(\alpha )\right]$. Согласованность этой меры риска является следствием вогнутости $g$.

Мера энтропийного риска

Энтропийная мера риска представляет собой выпуклую меру риска, которая не является последовательной. Это связано с экспоненциальной полезностью .

Цена суперхеджирования

Цена суперхеджирования является последовательной мерой риска.

множество значений

В ситуации с $\mathbb {R} ^{d}$-оцененные портфели, такие, что риск может быть измерен в $n\leq d$ активов, то набор портфелей является подходящим способом изображения риска. Измерения риска с установленной стоимостью полезны для рынков с транзакционными издержками .

Характеристики

Когерентная мера риска с заданным значением — это функция $R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}$, где $\mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}$ и $K_{M}=K\cap M$ где $K$ представляет собой конус постоянной платежеспособности и $M$ представляет собой набор портфелей $m$ справочные активы. $R$ должен иметь следующие свойства:

Нормализованный

$K_{M}\subseteq R(0)\;\mathrm {and} \;R(0)\cap -\mathrm {int} K_{M}=\emptyset$

Перевод на М

$\forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u$

монотонный

$\forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})$

сублинейный

Общая основа преобразования Ванга

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения является возрастающей функцией $g\colon [0,1]\rightarrow [0,1]$ где $g(0)=0$ и $g(1)=1$. Эта функция называется функцией искажения или функцией преобразования Ванга.

Функция двойного искажения ${\tilde {g}}(x)=1-g(1-x)$. Учитывая вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, то для любой случайной величины $X$ и любая функция искажения $g$ мы можем определить новую вероятностную меру $\mathbb {Q}$ такой, что для любого $A\in {\mathcal {F}}$ отсюда следует, что $\mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (X\in A)).$

Принцип актуарной премии

Для любой возрастающей вогнутой функции преобразования Ванга мы могли бы определить соответствующий принцип премии: $\varrho (X)=\int _{0}^{+\infty }g\left({\bar {F}}_{X}(x)\right)dx$

Последовательная мера риска

Когерентную меру риска можно определить с помощью преобразования Ванга кумулятивной функции распределения. $g$ тогда и только тогда, когда $g$ является вогнутым.

Многозначная выпуклая мера риска

Если вместо сублинейного свойства R является выпуклым, то R является многозначной выпуклой мерой риска.

Двойное представительство

Нижняя полунепрерывная выпуклая мера риска $\varrho$ может быть представлено как

$\varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}(P)}\{E^{Q}[-X]-\alpha (Q)\}$

такой, что $\alpha$ является штрафной функцией и ${\mathcal {M}}(P)$ — это набор вероятностных мер , абсолютно непрерывных относительно P «реального мира» (« вероятностная мера )», т.е. ${\mathcal {M}}(P)=\{Q\ll P\}$. Двойная характеристика связана с $L^{p}$ пространства , сердца Орлица и их двойственные пространства.

Нижняя полунепрерывная мера риска когерентна тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде

$\varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X]$

такой, что ${\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {M}}(P)$.

См. также

• Метрика риска — абстрактная концепция, которую количественно определяет мера риска.
• RiskMetrics - модель управления рисками
• Спектральная мера риска - подмножество последовательных мер риска
• Мера риска искажения
• Условная стоимость под риском
• Энтропийное значение под угрозой
• Финансовый риск