Экспоненциальная полезность

В экономике и финансах присутствует экспоненциальная полезность — это особая форма функции полезности , используемая в некоторых контекстах из-за ее удобства, когда риск (иногда называемый неопределенностью), и в этом случае ожидаемая полезность максимизируется. Формально экспоненциальная полезность определяется выражением:

u(c)={\begin{cases}(1-e^{-ac})/a&a\neq 0\\c&a=0\\\end{cases}}

$c$ это переменная, которой лицо, принимающее экономические решения, предпочитает больше, например, потребление, и $a$ — константа, представляющая степень предпочтения риска ( $a>0$ для неприятия риска , $a=0$ для нейтральности к риску или $a<0$ для стремления к риску ). В ситуациях, когда допускается только неприятие риска , формула часто упрощается до $u(c)=1-e^{-ac}$ .

Обратите внимание, что аддитивный член 1 в приведенной выше функции математически не имеет значения и (иногда) включается только для эстетической особенности, заключающейся в том, что он сохраняет диапазон функции от нуля до единицы в области неотрицательных значений для c . Причина ее неуместности заключается в том, что максимизация ожидаемой ценности полезности $u(c)=(1-e^{-ac})/a$ дает тот же результат для переменной выбора, что и максимизация ожидаемого значения $u(c)=-e^{-ac}/a$ ; поскольку ожидаемые значения полезности (в отличие от самой функции полезности) интерпретируются порядково, а не кардинально , диапазон и знак ожидаемых значений полезности не имеют значения.

Экспоненциальная функция полезности является частным случаем гиперболической абсолютного неприятия риска функции полезности .

Характеристика неприятия риска

Экспоненциальная полезность предполагает постоянное абсолютное неприятие риска (CARA), при этом коэффициент абсолютного неприятия риска равен константе:

{\frac {-u''(c)}{u'(c)}}=a.

В стандартной модели одного рискованного актива и одного безрискового актива ^[1]^[2] например, эта особенность подразумевает, что оптимальное владение рискованным активом не зависит от уровня первоначального богатства; таким образом, в конечном итоге любое дополнительное богатство будет полностью распределено на дополнительные владения безрисковыми активами. Эта особенность объясняет, почему показательная функция полезности считается нереалистичной.

Математическая сговорчивость

Хотя изоэластичная полезность , демонстрирующая постоянное относительное неприятие риска (CRRA) , считается более правдоподобной (как и другие функции полезности, демонстрирующие уменьшение абсолютного неприятия риска), экспоненциальная полезность особенно удобна для многих расчетов.

Пример потребления

Например, предположим, что потребление c является функцией предложения рабочей силы x и случайного члена $\epsilon$ : с знак равно с ( Икс ) + $\epsilon$ . Тогда при экспоненциальной полезности ожидаемая полезность определяется как:

{\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],

где E — оператор ожидания . При нормально распределенном шуме, т.е.

\varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!

E( u ( c )) можно легко вычислить, используя тот факт, что

{\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.

Таким образом

{\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E}}[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon }]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.

Пример портфеля с несколькими активами

Рассмотрим задачу распределения портфеля максимизации ожидаемой экспоненциальной полезности. ${\text{E}}[-e^{-aW}]$ конечного богатства W при условии

W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}

где знак штриха указывает на векторное транспонирование и где $W_{0}$ — начальное богатство, x — вектор-столбец величин, помещенных в доходности от n активов , k n рискованных активов, r — случайный вектор стохастической — вектор единиц ( поэтому $W_{0}-x'k$ — количество, помещенное в безрисковый актив), а r _f — известная скалярная доходность безрискового актива. Предположим далее, что стохастический вектор r распределен нормально . Тогда ожидаемую полезность можно записать как

{\text{E}}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}

где $\mu$ - средний вектор вектора r и $\sigma ^{2}$ — это дисперсия конечного богатства. Максимизация этого эквивалентна минимизации

e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}},

что, в свою очередь, эквивалентно максимизации

x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\sigma ^{2}.

Обозначая ковариационную матрицу r V как , дисперсия $\sigma ^{2}$ конечного богатства можно записать как $x'Vx$ . Таким образом, мы хотим максимизировать следующее в отношении вектора выбора x количеств, которые будут помещены в рискованные активы:

x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.

Это простая задача матричного исчисления , и ее решение

x^{*}={\frac {1}{a}}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).

Из этого можно видеть, что (1) на запасы x * рискованных активов не влияет начальное богатство W ₀ , что является нереалистичным свойством, и (2) запасы каждого рискованного актива тем меньше, чем больше параметр неприятия риска a. (как и следовало ожидать интуитивно). Этот пример портфеля демонстрирует две ключевые особенности экспоненциальной полезности: управляемость в условиях общей нормальности и отсутствие реализма из-за ее особенности постоянного абсолютного неприятия риска.

См. также

Ссылки

^ Эрроу, К.Дж. (1965). Теория неприятия риска . Хельсинки: Юрьо Янссонин Саатио. {{cite book}}: |work= игнорируется ( помощь ) Перепечатано в: «Очерки теории принятия рисков» , Markham Publ. Co., Чикаго, 1971, 90–109.
^ Пратт, JW (1964). «Неприятие риска в малом и в большом». Эконометрика . 32 (1–2): 122–136. дои : 10.2307/1913738 . JSTOR 1913738 .

[1] Эрроу, К.Дж. (1965). Теория неприятия риска . Хельсинки: Юрьо Янссонин Саатио. {{cite book}}: |work= игнорируется ( помощь ) Перепечатано в: «Очерки теории принятия рисков» , Markham Publ. Co., Чикаго, 1971, 90–109.

[2] Пратт, JW (1964). «Неприятие риска в малом и в большом». Эконометрика . 32 (1–2): 122–136. дои : 10.2307/1913738 . JSTOR 1913738 .

[1]

[2]