Порядковая полезность

В экономике порядковая функция полезности — это функция, представляющая предпочтения агента в порядковом масштабе . Теория порядковой полезности утверждает, что имеет смысл только спрашивать, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать, насколько он лучше или насколько он хорош. Вся теория принятия потребительских решений в условиях определенности может быть выражена и обычно выражается в терминах порядковой полезности.

Например, предположим, что Джордж говорит нам: «Я предпочитаю А, а не Б, и Б, а не С». Предпочтения Джорджа могут быть представлены функцией u такой, что:

u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1

Но критики кардинальной полезности утверждают, что единственное значимое послание этой функции — это порядок $u(A)>u(B)>u(C)$ ; реальные цифры бессмысленны. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v :

v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1

Функции u и v по порядку эквивалентны – они одинаково хорошо представляют предпочтения Джорджа.

Порядковая полезность контрастирует с теорией кардинальной полезности : последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. В u разница между A и B намного меньше, чем между B и C, тогда как в v все наоборот. , u и v не Следовательно кардинально эквивалентны.

Понятие порядковой полезности было впервые введено Парето в 1906 году. ^[1]

Обозначения [ править ]

Предположим, что совокупность всех состояний мира равна $X$ и агент имеет отношение предпочтения на $X$ . Слабое отношение предпочтений принято обозначать как $\preceq$ , так что $A\preceq B$ гласит: «Агент хочет B по крайней мере так же сильно, как и A».

Символ $\sim$ используется как сокращение отношения безразличия: $A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)$ , который гласит: «Агенту безразлично между B и A».

Символ $\prec$ используется как сокращение сильного отношения предпочтения: $A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)$ если:

A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)

Связанные понятия [ править ]

Карты кривой безразличия [ править ]

Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента можно представить графически в виде кривых безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров: x и y . Тогда каждая кривая безразличия показывает набор точек $(x,y)$ такое, что если $(x_{1},y_{1})$ и $(x_{2},y_{2})$ находятся на одной кривой, то $(x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})$ .

Пример кривой безразличия показан ниже:

Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количеств двух товаров или услуг, причем всеми этими комбинациями потребитель в равной степени удовлетворен. Чем дальше кривая находится от начала координат, тем выше уровень полезности.

Наклон кривой (отрицательный предел предельной нормы замены X на Y) в любой точке показывает скорость, с которой индивид готов обменивать товар X на товар Y, сохраняя тот же уровень полезности. Кривая выпукла к началу координат, как показано в предположении, что потребитель имеет уменьшающуюся предельную норму замещения. Можно показать, что потребительский анализ с использованием кривых безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и анализ, основанный на теории кардинальной полезности , — т. е. потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товарами равна отношению цены на эти товары (принцип эквимаржинальности).

Выявленные предпочтения [ править ]

Теория раскрытых предпочтений решает проблему того, как наблюдать порядковые отношения предпочтений в реальном мире. Задача теории выявленных предпочтений частично заключается в определении того, какие наборы товаров были упущены на основании того, что они менее нравились, когда наблюдалось, что люди выбирают определенные наборы товаров. ^[2]^[3]

условия существования порядковой функции Необходимые полезности

Некоторые условия по $\preceq$ необходимы, чтобы гарантировать существование представляющей функции:

Транзитивность : если $A\preceq B$ и $B\preceq C$ затем $A\preceq C$ .
Комплектность: для всех комплектов $A,B\in X$ $A,B\in X$ : или $A\preceq B$ $A\preceq B$ или $B\preceq A$ $B\preceq A$ или оба.
- Полнота также предполагает рефлексивность: для каждого $A\in X$ : $A\preceq A$ .

При выполнении этих условий и установлении $X$ конечно, легко создать функцию $u$ который представляет $\prec$ просто присвоив соответствующий номер каждому элементу $X$ , как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечно . Более того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне $(-1,1)$ . ^[4]

Когда $X$ бесконечно, эти условия недостаточны. Например, лексикографические предпочтения транзитивны и полны, но их нельзя представить какой-либо функцией полезности. ^[4] Требуемым дополнительным условием является непрерывность .

Преемственность [ править ]

Отношение предпочтения называется непрерывным , если всякий раз, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не меняют порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Для каждого $A\in X$ , набор $\{(A,B)|A\preceq B\}$ замкнут топологически в $X\times X$ с топологией продукта (это определение требует $X$ быть топологическим пространством ).
Для каждой последовательности $(A_{i},B_{i})$ , если для всех я $A_{i}\preceq B_{i}$ и $A_{i}\to A$ и $B_{i}\to B$ , затем $A\preceq B$ .
Для каждого $A,B\in X$ такой, что $A\prec B$ , вокруг существует шар $A$ и мяч вокруг $B$ такой, что для каждого $a$ в шаре вокруг $A$ и каждый $b$ в шаре вокруг $B$ , $a\prec b$ (это определение требует $X$ быть метрическим пространством ).

Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно, очевидно, является непрерывным. По теоремам Дебре (1954) верно и обратное:

Каждое непрерывное полное отношение предпочтений может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.

Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не являются непрерывными. Например, $(5,0)\prec (5,1)$ , но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с $x<5$ и эти баллы уступают $(5,0)$ . Это соответствует указанному выше факту, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности.

Уникальность [ править ]

Для каждой функции полезности v существует уникальное отношение предпочтения, представленное v . Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено множеством различных функций полезности. Те же предпочтения могут быть выражены в виде любой функции полезности, которая представляет собой монотонно возрастающее преобразование v . Например, если

v(A)\equiv f(v(A))

где $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — любая монотонно возрастающая функция, то функции v и v приводят к идентичным отображениям кривой безразличия.

Эта эквивалентность кратко описывается следующим образом:

Порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего монотонного преобразования .

Напротив, кардинальная функция полезности уникальна с точностью до возрастающего аффинного преобразования . Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также ординально эквивалентны, но не наоборот.

Монотонность [ править ]

Предположим, что с этого момента множество $X$ представляет собой набор всех неотрицательных вещественных двумерных векторов. Итак, элемент $X$ это пара $(x,y)$ Это представляет собой количество потребляемых двух продуктов, например яблок и бананов.

Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения $\preceq$ представлена функцией полезности $v(x,y)$ .

Предположим, что отношение предпочтений монотонно возрастает , а это означает, что «больше всегда лучше»:

x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)

y<y'\implies (x,y')\prec (x,y')

Тогда обе частные производные v , если они существуют, положительны. Суммируя:

Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтений, то функция полезности монотонно возрастает.

норма замещения Предельная

Предположим, у человека есть связка $(x_{0},y_{0})$ и утверждает, что ему безразлично между этой связкой и связкой $(x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )$ . Это означает, что он готов дать $\lambda \cdot \delta$ единицы x, чтобы получить $\delta$ единицы у. Если это соотношение сохранить $\delta \to 0$ , мы говорим, что $\lambda$ - предельная норма замещения (MRS) между x и y в точке $(x_{0},y_{0})$ . ^[5]^: 82

Это определение MRS основано только на порядковом отношении предпочтения – оно не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности и эта функция дифференцируема, то MRS можно рассчитать по производным этой функции:

MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.

Например, если отношение предпочтения представлено формулой $v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}$ затем $MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}$ . MRS одинаков для функции $v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}$ . Это не совпадение, поскольку эти две функции представляют одно и то же отношение предпочтения — каждая из них представляет собой возрастающее монотонное преобразование другой.

В целом MRS может быть разным в разных точках $(x_{0},y_{0})$ . Например, возможно, что в $(9,1)$ MRS низкий, потому что у человека много x и только один y , но при $(9,9)$ или $(1,1)$ MRS выше. Некоторые особые случаи описаны ниже.

Линейность [ править ]

Когда MRS определенного отношения предпочтения не зависит от набора, т. е. MRS одинаков для всех $(x_{0},y_{0})$ , кривые безразличия линейны и имеют вид:

x+\lambda y={\text{const}},

а отношение предпочтения можно представить линейной функцией:

v(x,y)=x+\lambda y.

(Разумеется, то же самое соотношение можно представить и множеством других нелинейных функций, например ${\sqrt {x+\lambda y}}$ или $(x+\lambda y)^{2}$ , но линейная функция является самой простой.) ^[5]^: 85

Квазилинейность [ править ]

Когда MRS зависит от $y_{0}$ но не на $x_{0}$ отношение предпочтения может быть представлено квазилинейной функцией полезности вида

v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)

где $v_{Y}$ – некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS — это функция $\lambda (y)$ , возможная функция $v_{Y}$ можно вычислить как интеграл от $\lambda (y)$ : ^[6]^[5]^: 87

v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}

В этом случае все кривые безразличия параллельны – они являются горизонтальными переносами друг друга.

Аддитивность с двумя товарами [ править ]

Более общим типом функции полезности является аддитивная функция :

v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)

Существует несколько способов проверить, представимы ли данные предпочтения аддитивной функцией полезности.

Свойство двойной отмены [ править ]

Если предпочтения аддитивны, то простой арифметический расчет показывает, что

(x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})

и

(x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})

подразумевает

(x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})

поэтому это свойство «двойного сокращения» является необходимым условием аддитивности.

Дебре (1960) показал, что это свойство также является достаточным: т.е. если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойного сокращения, то оно может быть представлено аддитивной функцией полезности. ^[7]

Соответствующее свойство компромисса [ править ]

Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что

MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}

поэтому это свойство «соответствующих компромиссов» является необходимым условием аддитивности. Это условие также является достаточным. ^[8]^[5]^: 91

Аддитивность с тремя и более товарами [ править ]

При наличии трех и более товаров условие аддитивности функции полезности оказывается на удивление проще, чем при наличии двух товаров. Это результат теоремы 3 Дебре (1960) . Условием аддитивности является преимущественная независимость . ^[5]^: 104

Подмножество товаров А называется преимущественно независимым от подмножества товаров В, если отношение предпочтения в подмножестве А при заданных постоянных значениях для подмножества В не зависит от этих постоянных значений. Например, предположим, что есть три товара: x, y и z . Подмножество { x , y } предпочтительно независимо от подмножества { z }, если для всех $x_{i},y_{i},z,z'$ :

(x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')

.

В этом случае мы можем просто сказать следующее:

(x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})

для постоянного z .

Преференциальная независимость имеет смысл в случае независимых товаров . Например, предпочтения между связками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков у агента, и наоборот.

По теореме Дебре, если все подмножества товаров преимущественно независимы от своих дополнений, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией ценности. Здесь мы даем интуитивное объяснение этого результата, показывая, как можно построить такую аддитивную функцию значения. ^[5] Доказательство предполагает три товара: x , y , z . Мы покажем, как определить три точки для каждой из трех функций цены. $v_{x},v_{y},v_{z}$ : 0 баллов, 1 балл и 2 балл. Другие точки можно вычислить аналогичным образом, а затем, используя непрерывность, можно сделать вывод, что функции четко определены во всем своем диапазоне.

0 баллов : выбирайте произвольно $x_{0},y_{0},z_{0}$ и присвойте им ноль функции значения, т.е.:

v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0

1 балл : выбирайте произвольно $x_{1}>x_{0}$ такой, что $(x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})$ . Установите его в качестве единицы стоимости, т.е.:

v_{x}(x_{1})=1

Выбирать $y_{1}$ и $z_{1}$ такие, что выполняются следующие отношения безразличия:

(x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})

.

Это безразличие служит для масштабирования единиц y и z, чтобы они соответствовали единицам x . Значение в этих трех точках должно быть равно 1, поэтому мы присваиваем

v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1

2 балл : Теперь мы используем предположение о преимущественной независимости. Отношения между $(x_{1},y_{0})$ и $(x_{0},y_{1})$ не зависит от z , и аналогично отношение между $(y_{1},z_{0})$ и $(y_{0},z_{1})$ не зависит от x и связи между $(z_{1},x_{0})$ и $(z_{0},x_{1})$ не зависит от y . Следовательно

(x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).

Это полезно, поскольку означает, что функция v может иметь одно и то же значение – 2 – в этих трех точках. Выбирать $x_{2},y_{2},z_{2}$ такой, что

(x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})

и назначить

v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.

3 балл : Чтобы показать, что наши задания на данный момент последовательны, мы должны показать, что все баллы, получившие общее значение 3, являются баллами безразличия. Здесь снова используется предположение о преимущественной независимости, поскольку соотношение между $(x_{2},y_{0})$ и $(x_{1},y_{1})$ не зависит от z (и аналогично для остальных пар); следовательно

(x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})

и аналогично для остальных пар. Следовательно, точка 3 определяется последовательно.

Мы можем продолжить в том же духе по индукции и определить функции для каждого товара во всех целочисленных точках, а затем использовать непрерывность, чтобы определить их во всех действительных точках.

Неявное предположение в пункте 1 приведенного выше доказательства состоит в том, что все три товара являются существенными или релевантными по предпочтениям . ^[7]^: 7 Это означает, что существует такой набор, что при увеличении количества определенного товара новый набор становится строго лучше.

Доказательство для более чем трех товаров аналогично. Фактически, нам не нужно проверять, что все подмножества точек преимущественно независимы; достаточно проверить линейное число пар товаров. Например, если есть $m$ разные товары, $j=1,...,m$ , то достаточно проверить, что для всех $j=1,...,m-1$ , два товара $\{x_{j},x_{j+1}\}$ преимущественно независимы от других $m-2$ товары. ^[5]^: 115

Уникальность аддитивного представления

Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено множеством различных аддитивных функций полезности. Однако все эти функции схожи: они не только являются монотонными возрастающими преобразованиями друг друга ( как и все функции полезности, представляющие одно и то же отношение ); они увеличивают линейные преобразования друг друга. ^[7]^: 9 Суммируя,

Аддитивная порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего линейного преобразования .

функций полезности по порядковым данным Построение аддитивных и квадратичных

Математические основы наиболее распространенных типов функций полезности — квадратичных и аддитивных — заложены Жераром Дебре. ^[9]^[10]позволили Андранику Тангяну разработать методы их построения на основе чисто порядковых данных.В частности, аддитивные и квадратичные функции полезности в $n$ переменные могут быть построены на основе интервью лиц, принимающих решения, где вопросы направлены на полное отслеживание $n$ 2D-кривые безразличия в $n-1$ координатные плоскости без обращения к кардинальным оценкам полезности. ^[11]^[12]

Сравнение порядковых и функций кардинальных полезности

В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:

	Уровень измерения	Представляет предпочтения на	Уникальность до	Существование доказано	Чаще всего используется в
Порядковая полезность	Порядковая шкала	Уверенные результаты	Возрастающее монотонное преобразование	Долг (1954)	Теория потребителя в условиях уверенности
Кардинальная полезность	Интервальная шкала	Случайные исходы (лотереи)	Возрастающее монотонное линейное преобразование	Фон Нейман-Моргенштерн (1947)	Теория игр , выбор в условиях неопределенности.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Парето, Вильфредо (1906). «Справочник по политической экономии с введением в социальные науки». Книгоиздательство .
^ Чиаки Хара (6 июня 1998 г.). «Теория раскрытых предпочтений» . 7-я встреча Тойро-кай (1997/1998 гг.) .
^ Ботонд Кесеги; Мэтью Рабин (май 2007 г.). «Ошибки в анализе благосостояния на основе выбора» (PDF) . Американский экономический обзор: статьи и труды . 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381 . дои : 10.1257/aer.97.2.477 . Архивировано из оригинала (PDF) 15 октября 2008 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ариэль Рубинштейн, Конспект лекций по микроэкономической теории, Лекция 2 – Полезность
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Кини, Ральф Л.; Райффа, Ховард (1993). Решения с несколькими целями . ISBN 978-0-521-44185-8 .
^ Питер Марк Прузан и Джей Ти Росс Джексон (1963). «О развитии технических помещений многоцелевых систем» . Менеджмент и экономика бизнеса/Журнал коммерческих наук/Журнал экономики бизнеса .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бергстром, Тед. «Конспекты лекций по разделяемым предпочтениям» (PDF) . УКСБ Экон . Проверено 18 августа 2015 г.
^ Люс, Р. Дункан; Тьюки, Джон В. (1964). «Одновременное совместное измерение: новый тип фундаментальных измерений». Журнал математической психологии . 1 :1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . дои : 10.1016/0022-2496(64)90015-х .
^ Дебре, Жерар (1952). «Определенные и полуопределенные квадратичные формы». Эконометрика . 20 (2): 295–300. дои : 10.2307/1907852 . JSTOR 1907852 .
^ Дебре, Жерар (1960). «Топологические методы в теории кардинальной полезности». В «Стрелке», Кеннет (ред.). Математические методы в социальных науках, 1959 (PDF) . Стэнфорд: Издательство Стэнфордского университета. стр. 16–26. дои : 10.1017/CCOL052123736X.010 . ISBN 9781139052092 .
^ Тангиан, Андраник (2002). «Построение квазивогнутой квадратичной целевой функции на основе интервью с лицом, принимающим решения». Европейский журнал операционных исследований . 141 (3): 608–640. дои : 10.1016/S0377-2217(01)00185-0 .
^ Тангиан, Андраник (2004). «Модель порядкового построения аддитивных целевых функций». Европейский журнал операционных исследований . 159 (2): 476–512. дои : 10.1016/S0377-2217(03)00413-2 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Парето, Вильфредо (1906). «Справочник по политической экономии с введением в социальные науки». Книгоиздательство .

[2] Чиаки Хара (6 июня 1998 г.). «Теория раскрытых предпочтений» . 7-я встреча Тойро-кай (1997/1998 гг.) .

[3] Ботонд Кесеги; Мэтью Рабин (май 2007 г.). «Ошибки в анализе благосостояния на основе выбора» (PDF) . Американский экономический обзор: статьи и труды . 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381 . дои : 10.1257/aer.97.2.477 . Архивировано из оригинала (PDF) 15 октября 2008 г.

[Rubinstein-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ариэль Рубинштейн, Конспект лекций по микроэкономической теории, Лекция 2 – Полезность

[KeeneyRaiffa1993-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Кини, Ральф Л.; Райффа, Ховард (1993). Решения с несколькими целями . ISBN 978-0-521-44185-8 .

[PruzanJackson1963-6] Питер Марк Прузан и Джей Ти Росс Джексон (1963). «О развитии технических помещений многоцелевых систем» . Менеджмент и экономика бизнеса/Журнал коммерческих наук/Журнал экономики бизнеса .

[Ted-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бергстром, Тед. «Конспекты лекций по разделяемым предпочтениям» (PDF) . УКСБ Экон . Проверено 18 августа 2015 г.

[LuceTukey1964-8] Люс, Р. Дункан; Тьюки, Джон В. (1964). «Одновременное совместное измерение: новый тип фундаментальных измерений». Журнал математической психологии . 1 :1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . дои : 10.1016/0022-2496(64)90015-х .

[Debreu1952-9] Дебре, Жерар (1952). «Определенные и полуопределенные квадратичные формы». Эконометрика . 20 (2): 295–300. дои : 10.2307/1907852 . JSTOR 1907852 .

[Debreu1960-10] Дебре, Жерар (1960). «Топологические методы в теории кардинальной полезности». В «Стрелке», Кеннет (ред.). Математические методы в социальных науках, 1959 (PDF) . Стэнфорд: Издательство Стэнфордского университета. стр. 16–26. дои : 10.1017/CCOL052123736X.010 . ISBN 9781139052092 .

[Tangian2002-11] Тангиан, Андраник (2002). «Построение квазивогнутой квадратичной целевой функции на основе интервью с лицом, принимающим решения». Европейский журнал операционных исследований . 141 (3): 608–640. дои : 10.1016/S0377-2217(01)00185-0 .

[Tangian2004-12] Тангиан, Андраник (2004). «Модель порядкового построения аддитивных целевых функций». Европейский журнал операционных исследований . 159 (2): 476–512. дои : 10.1016/S0377-2217(03)00413-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]