Квазилинейная полезность

В экономике и теории потребления квазилинейные функции полезности линейны по одному аргументу, обычно числовому . Квазилинейные предпочтения могут быть представлены функцией полезности $u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+\theta (x_{2},\ldots ,x_{n})$ где $\theta$ строго вогнутая . ^[1]^: 164 Полезным свойством квазилинейной функции полезности является то, что спрос Маршалла/Вальраса на $x_{2},\ldots ,x_{n}$ не зависит от богатства и, следовательно, не подвержен эффекту богатства ; ^[1]^{: 165–166} Отсутствие эффекта богатства упрощает анализ ^[1]^: 222 и делает квазилинейные функции полезности распространенным выбором для моделирования. Более того, когда полезность квазилинейна, компенсирующая вариация (CV), эквивалентная вариация (EV) и потребительский излишек алгебраически эквивалентны. ^[1]^: 163 В конструкции механизма квазилинейная полезность гарантирует, что агенты могут компенсировать друг друга дополнительными платежами.

Определение с точки зрения предпочтений

Отношение предпочтения $\succsim$ является квазилинейным относительно товара 1 (в данном случае называемого числовым товаром), если:

Все множества безразличия представляют собой параллельные смещения друг друга вдоль оси товара 1. То есть, если набор «х» безразличен к набору «у» (х~у), то $\left(x+\alpha e_{1}\right)\sim \left(y+\alpha e_{1}\right),\forall \alpha \in \mathbb {R} ,e_{1}=\left(1,0,...,0\right)$ ^[2]
Желательно хорошо 1; то есть, $\left(x+\alpha e_{1}\right)\succ \left(x\right),\forall \alpha >0$

Другими словами: отношение предпочтений является квазилинейным, если существует один товар, называемый нумерером, который смещает кривые безразличия наружу по мере увеличения потребления, не меняя при этом их наклона.

В двумерном случае кривые безразличия параллельны ; что полезно, поскольку всю функцию полезности можно определить по одной кривой безразличия.

Определение через функции полезности

Функция полезности квазилинейна по товару 1, если она имеет вид

u\left(x_{1},\dots ,x_{L}\right)=x_{1}+\theta \left(x_{2},...,x_{L}\right)

где $\theta$ является произвольной функцией. ^[3] В случае двух товаров эта функция может быть, например, такой: $u\left(x,y\right)=x+{\sqrt {y}}.$

Особенность квазилинейной формы состоит в том, что функции спроса на все потребительские товары, кроме одного, зависят только от цен, а не от дохода. Например, с двумя товарами с ценами p _x = 1 и p _y , если

u(x,y)=x+\theta (y)

затем, максимизируя полезность при условии, что сумма спроса на два товара равна заданному уровню дохода, спрос на y выводится из уравнения

\theta ^{\prime }(y)=p_{y}

так

y(p,I)=(\theta ^{\prime })^{-1}(p_{y}),

который не зависит от дохода I .

Косвенная функция полезности в этом случае равна

v(p,I)=v(p)+I,

что является частным случаем полярной формы Гормана . ^[1]^{: 154, 169}

Эквивалентность определений

Кардинальное локально и ординальное определения эквивалентны в случае выпуклого потребительского множества с непрерывными предпочтениями, ненасыщенными по первому аргументу. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Квазивыпуклая функция
Линейная функция полезности — особый вид квазилинейной функции полезности.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7 .
^ Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл ; Грин, Джерри (1995). «3». Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 45 .
^ «Темы теории потребителя» (PDF) . hks.harvard.edu . Август 2006. стр. 87–88. Архивировано из оригинала (PDF) 15 декабря 2011 года.

[Varian-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7 .

[2] Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл ; Грин, Джерри (1995). «3». Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 45 .

[3] «Темы теории потребителя» (PDF) . hks.harvard.edu . Август 2006. стр. 87–88. Архивировано из оригинала (PDF) 15 декабря 2011 года.

[1]

[2]

[3]