Полярная форма Гормана

Полярная форма Гормана — это функциональная форма для косвенных функций полезности в экономике .

Мотивация

Стандартная теория потребителя разработана для одного потребителя. У потребителя есть функция полезности, на основе которой можно рассчитать его кривые спроса. Тогда можно предсказать поведение потребителя в определенных условиях, изменении цены или дохода. Но на самом деле существует много разных потребителей, каждый из которых имеет свою собственную функцию полезности и кривую спроса. Как мы можем использовать теорию потребления, чтобы предсказать поведение всего общества? Один из вариантов — представить все общество как единого «мегапотребителя», имеющего совокупную функцию полезности и кривую совокупного спроса. Но в каких случаях действительно можно представить все общество как единого потребителя?

Формально: ^[1] рассмотрим экономику с $n$ потребители, каждый из которых имеет функцию спроса , зависящую от его дохода $m^{i}$ и система цен:

x^{i}(p,m^{i})

Совокупный спрос общества является, вообще говоря, функцией системы цен и всего распределения доходов:

X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=\sum _{i=1}^{n}x^{i}(p,m^{i})

Чтобы представить все общество как единого потребителя, совокупный спрос должен быть функцией только цен и совокупного дохода, независимо от его распределения:

X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=X\left(p,\sum _{i=1}^{n}m^{i}\right)

При каких условиях возможно такое представление совокупного спроса?

Ранние результаты Антонелли (1886) и Натафа (1953) показали, что, если предположить, что все люди сталкиваются с одинаковыми ценами на рынке, их кривые дохода и потребления и кривые Энгеля (расходы как функция дохода) должны быть параллельными прямыми линиями. Это означает, что мы можем рассчитать кривую доходов и потребления всего общества, просто суммируя кривые потребителей. Другими словами, предположим, что все общество имеет определенный доход. Этот доход каким-то образом распределяется между членами общества, тогда каждый член выбирает свое потребление в соответствии со своей кривой дохода-потребления. Если все кривые представляют собой параллельные прямые линии, совокупный спрос общества будет независим от распределения дохода между агентами .

Форма Гормана функции расходов

В первой опубликованной статье Гормана в 1953 году эти идеи были развиты, чтобы ответить на вопрос о представлении общества одним человеком. короткую четырехстраничную статью В 1961 году Горман опубликовал в журнале «Метроэкономика» , в которой получил явное выражение функциональной формы предпочтений, которые приводят к линейным кривым Энгеля. Функция расходов каждого потребителя $i$ (количество денег, необходимое для достижения определенного уровня полезности в определенной системе цен) должно быть линейным по полезности:

e^{i}\left(p,u^{i}\right)=f^{i}(p)+g(p)\cdot u^{i}

,

где оба $f^{i}\left(p\right)$ и $g\left(p\right)$ однородны первой степени по ценам ( $p$ , вектор). Это условие однородности гарантирует, что $e^{i}\left(p,u\right)$ дает линейные кривые Энгеля.

$f^{i}\left(p\right)$ и $g\left(p\right)$ есть хорошие интерпретации: $f^{i}\left(p\right)$ — это расходы, необходимые для достижения нулевого эталонного уровня полезности для каждого человека ( $i$ ), пока $g\left(p\right)$ индекс цен, который дефлирует избыточный денежный доход $e^{i}\left(p,u\right)-f^{i}(p)$ необходимо для достижения уровня полезности ${\bar {u}}$ . Важно отметить, что $g\left(p\right)$ одинакова для каждого человека в обществе, поэтому кривые Энгеля для всех потребителей параллельны.

Форма Гормана косвенной функции полезности

Обращение этой формулы дает косвенную функцию полезности (полезность как функция цены и дохода):

v^{i}\left(p,m^{i}\right)={\frac {m^{i}-f^{i}(p)}{g(p)}}

,

где $m$ представляет собой сумму дохода, доступную индивидууму и эквивалентную его расходам ( $e^{i}\left(p,u^{i}\right)$ ) в предыдущем уравнении. Это то, что Горман назвал «полярной формой базовой функции полезности». Использование Горманом термина «полярный» имело отношение к идее о том, что косвенная функция полезности может рассматриваться как использующая полярные, а не декартовы (как в прямых функциях полезности) координаты для описания кривой безразличия. Здесь доход( $m^{i}$ ) аналогичен радиусу и ценам ( $p$ ) под углом.

Примеры

Два типа предпочтений, имеющих полярную форму Гормана: ^[2]^: 154

Квазилинейные утилиты

Когда функция полезности агента $i$ имеет форму:

u_{i}(x,m)=u_{i}(x)+m

косвенная функция полезности имеет (при условии внутреннего решения) вид:

v_{i}(p,m)=v_{i}(p)+m

что является частным случаем формы Гормана.

Действительно, маршаллова функция спроса на нелинейный товар потребителей с квазилинейной полезностью вообще не зависит от дохода (в этом квазилинейном случае спрос на линейный товар линеен по доходу):

x_{i}(p,m)=-{\frac {dv(p)/dm}{v(p)/dp_{i}}}=-{\frac {1}{dv(p)/dp_{i}}}=(v_{i}')^{-1}(p)=v_{i}'(p)^{-1}

Следовательно, функция совокупного спроса на нелинейный товар также не зависит от дохода:

X(p,M)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}

Все общество может быть представлено одним репрезентативным агентом с квазилинейной функцией полезности:

U(x,m)=U(x)+m

где функция $U$ удовлетворяет равенству:

(U')^{-1}(p)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}

В особом случае, когда все агенты имеют одинаковую функцию полезности $u(x,m)=u(x)+m$ , совокупная функция полезности равна:

U(x,M)=n\cdot u\left({\frac {x}{n}}\right)+M

Гомотетические предпочтения

Косвенная функция полезности имеет вид:

v(p,m_{i})=v(p)\cdot m

что также является частным случаем формы Гормана.

В частности: линейные полезности, полезности Леонтьева и Кобба-Дугласа гомотетичны и, следовательно, имеют форму Гормана.

Доказательство линейности и равенства наклона кривых Энгеля.

Чтобы доказать, что кривые Энгеля функции в полярной форме Гормана линейны , примените тождество Роя к косвенной функции полезности , чтобы получить маршаллову функцию спроса для индивида ( $i$ ) и хороший ( $n$ ):

x_{n}^{i}(p,m^{i})=-{\frac {\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial p_{n}}}{\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial m^{i}}}}={\frac {\partial f^{i}(p)}{\partial p_{n}}}+{\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}\cdot {\frac {m-f^{i}(p)}{g(p)}}

Это линейно по доходу ( $m$ ), поэтому изменение спроса индивида на некоторый товар по отношению к изменению дохода этого индивидуума, ${\frac {\partial x_{n}^{i}(p,m^{i})}{\partial m}}={\frac {\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}{g(p)}}$ , не зависит от дохода, поэтому кривые Энгеля линейны.

Кроме того, поскольку это изменение не зависит от переменных, специфичных для какого-либо индивидуума, наклоны кривых Энгеля у разных индивидуумов одинаковы.

Приложение

Многие применения полярной формы Гормана обобщены в различных текстах, а также в статье Хонохана и Нири. ^[3] Эти приложения включают в себя простоту оценки $f^{i}(p)$ и $g(p)$ в определенных случаях. Но самое важное приложение предназначено для теоретиков экономики, поскольку оно позволяет исследователю относиться к обществу индивидов, максимизирующих полезность, как к одному индивидууму. Другими словами, в этих условиях карта безразличия гарантированно существует сообщества.

См. также

Ссылки

^ Симсек, Альп (2009). «Теорема агрегации Гормана» (PDF) . Проверено 2 декабря 2015 г.
^ Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7 .
^ Хонохан, Патрик ; Нири, Дж. Питер (2003). «В.М. Горман (1923–2003)» (PDF) . Экономический и социальный обзор . 34 (2): 195–209. Архивировано из оригинала (PDF) 10 января 2005 г.

Антонелли, ГБ (1886 г.). К математической теории политической экономии . Пиза. {{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) English translation in Чипман, Дж. С.; Гурвич, Л.; Рихтер, МК; и др., ред. (1971). Предпочтения, полезность и спрос: симпозиум в Миннесоте . Нью-Йорк: Харкорт Брейс Йованович. стр. 333–360.
Горман, WM (1961). «О классе полей предпочтений». Метроэкономика . 13 (2): 53–56. дои : 10.1111/j.1467-999X.1961.tb00819.x .
Натаф, А. (1953). «К вопросам агрегирования в эконометрике». Публикации Института статистики Парижского университета . 2, Фаск. Полет. 4:5–61.

[Alp-1] Симсек, Альп (2009). «Теорема агрегации Гормана» (PDF) . Проверено 2 декабря 2015 г.

[Varian-2] Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7 .

[3] Хонохан, Патрик ; Нири, Дж. Питер (2003). «В.М. Горман (1923–2003)» (PDF) . Экономический и социальный обзор . 34 (2): 195–209. Архивировано из оригинала (PDF) 10 января 2005 г.

[1]

[2]

[3]