Маршаллова функция спроса

В микроэкономике потребителей маршаллова функция спроса (названная в честь Альфреда Маршалла ) — это количество, которое они требуют от конкретного товара в зависимости от его цены, их дохода и цен на другие товары, что представляет собой более техническое описание стандартной функции спроса . Это решение проблемы максимизации полезности : как потребитель может максимизировать свою полезность при данных доходе и ценах. Синонимом термина является некомпенсированная функция спроса , поскольку при повышении цены потребитель не компенсируется более высоким номинальным доходом за падение своего реального дохода, в отличие от функции спроса Хикса . Таким образом, изменение величины спроса представляет собой комбинацию эффекта замещения и эффекта богатства . Хотя маршалловский спрос находится в контексте теории частичного равновесия, его иногда называют вальрасианским спросом , который используется в теории общего равновесия (названной в честь Леона Вальраса ).

Согласно задаче максимизации полезности, существуют $L$ товары с вектором цен $p$ и выбираемый вектор величины $x$ . Потребитель имеет доход $I$ , а значит и бюджетный набор доступных пакетов

B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},

где $p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}$ — скалярное произведение векторов цены и количества. Потребитель имеет функцию полезности

u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .

потребительского Маршаллово соответствие спроса определяется как

x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)

Выявленные предпочтения

Теория Маршалла предполагает, что стремление к полезности является мотивационным фактором для потребителя, которого можно достичь посредством потребления товаров или услуг. Величина потребительской полезности зависит от уровня потребления определенного товара, который подчиняется фундаментальной тенденции человеческой природы и описывается как закон убывающей предельной полезности .

Поскольку максимум полезности существует всегда, соответствие спроса по Маршаллу должно быть непустым при каждом значении, соответствующем стандартному бюджетному набору.

Уникальность

$x^{*}(p,I)$ называется соответствием , потому что, вообще говоря, оно может быть многозначным — может существовать несколько разных наборов, которые достигают одной и той же максимальной полезности. В некоторых случаях существует уникальный пакет, максимизирующий полезность для каждой ситуации с ценой и доходом; затем, $x^{*}(p,I)$ Это функция, и она называется функцией спроса Маршалла .

Если потребитель имеет строго выпуклые предпочтения и цены на все товары строго положительны, то существует уникальный набор, максимизирующий полезность. ^[1]^: 156 Чтобы доказать это, предположим от противного, что существуют два разных расслоения: $x_{1}$ и $x_{2}$ , которые максимизируют полезность. Затем $x_{1}$ и $x_{2}$ одинаково предпочтительны. По определению строгой выпуклости смешанное расслоение $0.5x_{1}+0.5x_{2}$ строго лучше, чем $x_{1},x_{2}$ . Но это противоречит оптимальности $x_{1},x_{2}$ .

Непрерывность

Из теоремы о максимуме следует, что если:

Функция полезности $u(x)$ является непрерывным относительно $x$ ,
Переписка $B(p,I)$ непусто, компактнозначно и непрерывно относительно $p,I$ ,

затем $x^{*}(p,I)$ является полунепрерывным сверху соответствием. Более того, если $x^{*}(p,I)$ единственна, то она является непрерывной функцией $p$ и $I$ . ^[1]^{: 156, 506}

В сочетании с предыдущим подразделом, если потребитель имеет строго выпуклые предпочтения, то маршалловский спрос уникален и непрерывен. Напротив, если предпочтения не являются выпуклыми, то спрос по Маршаллу может быть неоднозначным и непостоянным.

Однородность

Оптимальное маршалловское соответствие спроса непрерывной функции полезности представляет собой однородную функцию нулевой степени. Это означает, что для каждой константы $a>0,$

x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).

Это интуитивно понятно. Предполагать $p$ и $I$ измеряются в долларах. Когда $a=100$ , $ap$ и $aI$ — это точно такие же величины, измеряемые в центах. Когда цены и благосостояние повышаются в коэффициент a, структура покупок экономического агента остается постоянной. Очевидно, что выражение цен и доходов в разных единицах измерения не должно влиять на спрос.

Кривая спроса

Теория Маршалла использует тот факт, что кривая спроса представляет собой уменьшающуюся предельную ценность блага для человека. Теория утверждает, что решение потребителя о покупке зависит от получаемой полезности товаров или услуг по сравнению с ценой, поскольку дополнительная полезность, которую получает потребитель, должна быть, по крайней мере, такой же большой, как и цена. Следующее предложение предполагает, что требуемая цена равна максимальной цене, которую потребитель готов заплатить за дополнительную единицу товара или услуги. Следовательно, полезность остается постоянной вдоль кривой спроса. Когда предельная полезность дохода постоянна или его стоимость одинакова для всех людей в пределах кривой рыночного спроса, получение чистых выгод от купленных единиц или потребительского излишка возможно путем сложения цен спроса.

Примеры

В следующих примерах есть два товара: 1 и 2.

1. Функция полезности имеет форму Кобба–Дугласа :

u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.

Ограниченная оптимизация приводит к маршаллианской функции спроса:

x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).

2. Функция полезности является функцией полезности CES :

u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.

Затем $x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.$

В обоих случаях предпочтения строго выпуклы, спрос единственен, а функция спроса непрерывна.

3. Функция полезности имеет линейный вид :

u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.

Функция полезности слабо выпукла, и в действительности спрос не единственен: когда $p_{1}=p_{2}$ , потребитель может разделить свой доход в произвольных соотношениях между видами продуктов 1 и 2 и получить одинаковую полезность.

4. Функция полезности демонстрирует неубывающую предельную норму замещения:

u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.

Функция полезности не является выпуклой, и спрос не является непрерывным: когда $p_{1}<p_{2}$ , потребитель требует только товар 1, и когда $p_{2}<p_{1}$ , потребитель требует только товар 2 (когда $p_{1}=p_{2}$ соответствие спроса содержит два различных пакета: либо покупать только продукт 1, либо покупать только продукт 2).

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7 .

Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-507340-1 .
Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория (второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. стр. 90–93. ISBN 0-03-020831-9 .
Зильберберг, Э. (2008). Требования Хикса и Маршалла . Лондон: Пэлгрейв Макмиллан, Лондон. ISBN 978-1-349-95121-5 .
Левин, Джонатан; Милгром, Пол (октябрь 2004 г.). «Теория потребителя» (PDF) . Проверено 22 апреля 2021 г.
Вонг, Стэнли (2006). Основы теории выявленных предпочтений Пола Самуэльсона (PDF) (пересмотренная ред.). Рутледж. ISBN 0-203-34983-0 . Проверено 19 апреля 2021 г.

[Varian-1] Jump up to: ^а ^б Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7 .

[1]