уравнение Слуцкого

В микроэкономике уравнение Слуцкого (или тождество Слуцкого ), названное в честь Евгения Слуцкого , связывает изменения маршаллианского (некомпенсированного) спроса с изменениями спроса Хикса (компенсированного) , который известен как таковой, поскольку он компенсирует поддержание фиксированного уровня полезности.

Уравнение Слуцкого состоит из двух частей: эффекта замещения и эффекта дохода . В целом эффект замещения может быть негативным для потребителей, поскольку он может ограничивать выбор. Он разработал эту формулу, чтобы изучить реакцию потребителя на изменение цены. Когда цена увеличивается, бюджетный набор смещается внутрь, что также приводит к уменьшению объема спроса. Напротив, когда цена снижается, бюджетный набор смещается наружу, что приводит к увеличению объема спроса. Эффект замещения обусловлен эффектом изменения относительной цены, тогда как эффект дохода обусловлен эффектом высвобождения дохода. Уравнение показывает, что изменение спроса на товар, вызванное изменением цены, является результатом двух эффектов:

эффект замещения : когда цена товара меняется, поскольку он становится относительно дешевле, если гипотетически потребительское потребление остается прежним, высвобождается доход, который можно было бы потратить на комбинацию каждого или нескольких товаров.
: эффект дохода покупательная способность потребителя увеличивается в результате снижения цен, поэтому потребитель теперь может позволить себе более качественные продукты или большее количество тех же продуктов, в зависимости от того, является ли сам продукт нормальным товаром или товаром низшего качества .

Уравнение Слуцкого разлагает изменение спроса на товар i в ответ на изменение цены товара j :

{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,

где $h(\mathbf {p} ,u)$ спрос Хикса и $x(\mathbf {p} ,w)$ - спрос по Маршаллу на векторе уровней цен $\mathbf {p}$ , уровень благосостояния (или, альтернативно, уровень дохода) $w$ и фиксированный уровень полезности $u$ определяется путем максимизации полезности при первоначальной цене и доходе, формально определяемом косвенной функцией полезности $v(\mathbf {p} ,w)$ . Правая часть уравнения равна изменению спроса на товар i при фиксированной полезности u минус количество требуемого товара j , умноженное на изменение спроса на товар i при изменении богатства.

Первое слагаемое в правой части представляет эффект замещения, а второе слагаемое представляет эффект дохода. ^[1] Обратите внимание: поскольку полезность не наблюдаема, эффект замещения не наблюдается непосредственно, но его можно рассчитать, ссылаясь на два других члена уравнения Слуцкого, которые являются наблюдаемыми. Этот процесс иногда называют разложением Хикса изменения спроса. ^[2]

Уравнение можно переписать в терминах эластичности :

\varepsilon _{p,ij}=\varepsilon _{p,ij}^{h}-\varepsilon _{w,i}b_{j}

где ε _p — (некомпенсированная) ценовая эластичность , ε _p^час – компенсируемая ценовая эластичность, ε _w,i – эластичность по доходу товара i , а b _j – бюджетная доля товара j .

В целом, проще говоря, уравнение Слуцкого утверждает, что общее изменение спроса состоит из эффекта дохода и эффекта замещения, и оба эффекта в совокупности должны равняться общему изменению спроса.

\Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}

Приведенное выше уравнение полезно, поскольку оно отражает колебания спроса, характерные для различных типов товаров. Эффект замещения всегда будет отрицательным, поскольку кривые безразличия всегда имеют нисходящий наклон. Однако то же самое не относится к эффекту дохода , поскольку он зависит от того, как потребление товара меняется в зависимости от дохода.

Влияние дохода на обычные товары отрицательно, и если цена снижается, следовательно, покупательная способность или доход растут. Обратное справедливо, когда цена растет, а покупательная способность или доход падают, в результате чего снижается и спрос.

Как правило, не все товары «нормальные». Хотя в экономическом смысле некоторые уступают. Однако с точки зрения качества это не означает, что они бедны, а скорее устанавливает отрицательный профиль доходов: по мере увеличения доходов потребление товаров потребителями снижается.

Например, потребители, у которых заканчиваются деньги на продукты питания, покупают лапшу быстрого приготовления, однако этот продукт обычно не считается чем-то, что люди обычно потребляют ежедневно. Это связано с финансовыми ограничениями; по мере увеличения богатства потребление снижается. В этом случае эффект замещения отрицателен, но эффект дохода также отрицателен.

В любом случае эффект замещения или эффект дохода являются положительными или отрицательными, когда рост цен зависит от типа товара:


	Общий эффект	Эффект замещения	Эффект дохода
+	Товар-заменитель	Товар-заменитель	Некачественный товар
-	Дополнительные товары	Дополнительные товары	Нормальный товар

Однако невозможно сказать, всегда ли общий эффект будет отрицательным, если упомянуты некачественные дополнительные товары. Например, эффект замещения и эффект дохода действуют в противоположных направлениях. Общий эффект будет зависеть от того, какой эффект в конечном итоге окажется сильнее.

Вывод

Хотя существует несколько способов вывода уравнения Слуцкого, следующий метод, вероятно, является самым простым. Начните с обозначения личности $h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))$ где $e(\mathbf {p} ,u)$ – функция расходов , а u – полезность, полученная путем максимизации полезности при данных p и w . Полное дифференцирование по p _j дает следующее:

{\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}

.

Воспользовавшись тем, что ${\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)$ по лемме Шепарда и что в оптимуме

h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),

где

v(\mathbf {p} ,w)

– косвенная функция полезности ,

можно заменить и переписать приведенный выше вывод как уравнение Слуцкого.

Матрица Слуцкого

Уравнение Слуцкого можно переписать в матричной форме:

\mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,

где Dp _— производный оператор _{— производный оператор по ценам, а Dw} по богатству.

Матрица $\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)$ известна как матрица замены Хикса и формально определяется как:

\sigma (\mathbf {p} ,u):=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}\end{bmatrix}}

Матрица Слуцкого имеет вид:

S(\mathbf {p} ,w)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\end{array}}\right)

Когда $u$ это максимальная полезность, которую получает потребитель при ценах $\mathbf {p}$ и доход $w$ , то есть, $u=v(\mathbf {p} ,w)$ , уравнение Слуцкого означает, что каждый элемент матрицы Слуцкого $S(\mathbf {p} ,w)$ в точности равен соответствующему элементу матрицы замены Хикса $\sigma (\mathbf {p} ,u)$ . Матрица Слуцкого симметрична, и учитывая, что функция расходов $e(\mathbf {p} ,u)$ вогнута, матрица Слуцкого также отрицательно полуопределенна .

Пример

Функция полезности Кобба-Дугласа (см. производственную функцию Кобба-Дугласа ) с двумя товарами и доходом. $w$ генерирует маршалловский спрос на товары 1 и 2 из $x_{1}=.7w/p_{1}$ и $x_{2}=.3w/p_{2}.$ Переставив уравнение Слуцкого, поместив производную Хикса в левую часть, получим эффект замещения:

{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}

Возвращаясь к исходному уравнению Слуцкого, мы видим, как эффекты замещения и дохода складываются, образуя общий эффект роста цен на объем спроса:

{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}

Таким образом, из общего снижения $.7w/p_{1}^{2}$ в количестве, требуемом, когда $p_{1}$ возрастает, 21/70 — от эффекта замещения и 49/70 — от эффекта дохода. Товар 1 – это товар, на который этот потребитель тратит большую часть своего дохода ( $p_{1}q_{1}=.7w$ ), поэтому эффект дохода настолько велик.

Можно проверить, что ответ уравнения Слуцкого такой же, как и результат прямого дифференцирования функции спроса Хикса, которая здесь равна ^[3]

h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,

где $u$ является полезностью. Производная

{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,

поэтому, поскольку косвенная функция полезности Кобба-Дугласа равна $v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},$ и $u=v$ когда потребитель использует указанные функции спроса, производная равна:

{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},

что действительно является ответом уравнения Слуцкого.

Уравнение Слуцкого также можно применять для расчета эффекта перекрестного ценового замещения. Можно было бы подумать, что здесь ноль, потому что, когда $p_{2}$ возрастает, то маршалловское количество, требуемое на товар 1, $x_{1}(p_{1},p_{2},w),$ не влияет( $\partial x_{1}/\partial p_{2}=0$ ), но это неправильно. Снова переставляя уравнение Слуцкого, эффект перекрестного ценового замещения будет следующим:

{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}

Это говорит о том, что когда $p_{2}$ возрастает, возникает эффект замещения $-.21w/(p_{1}p_{2})$ к добру 1. В то же время рост $p_{2}$ имеет отрицательный эффект дохода на спрос на товар 1, противоположный эффект того же размера, что и эффект замещения, поэтому чистый эффект равен нулю. Это особое свойство функции Кобба-Дугласа.

Изменение нескольких цен одновременно

При наличии двух товаров уравнение Слуцкого в матричной форме имеет вид: ^[4]

{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}

Хотя, строго говоря, уравнение Слуцкого применимо только к бесконечно малым изменениям цен, оно обычно используется как линейная аппроксимация для конечных изменений. Если цены двух товаров изменятся на $\Delta p_{1}$ и $\Delta p_{2}$ , влияние на спрос на два товара равно:

{\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}

Например, при умножении матриц эффект на товар 1 будет равен

\Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)

Первое слагаемое – эффект замещения. Второй член — это эффект дохода, состоящий из реакции потребителя на потерю дохода, умноженной на размер потери дохода от каждого повышения цены.

Товары Гиффена

Товар Гиффена — это продукт, который пользуется большим спросом при повышении цены, что также является особым случаем некачественного товара. ^[5] В крайнем случае неполноценности дохода размер эффекта дохода превосходит размер эффекта замещения, что приводит к положительному общему изменению спроса в ответ на повышение цены. Разложение Слуцким изменения спроса на чистый эффект замещения и эффект дохода объясняет, почему закон спроса не справедлив для товаров Гиффена.

См. также

Ссылки

^ Николсон, В. (2005). Микроэкономическая теория (10-е изд.). Мейсон, Огайо: Высшее образование Томсона.
^ Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: WW Нортон.
^ Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: WW Нортон. , с. 121.
^ Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: WW Нортон. , стр. 120-121.
^ Вариан, Хэл Р. «Глава 8: Уравнение Слуцкого». Эссе. В промежуточной микроэкономике с исчислением, 1-е изд., 137. Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Norton, 2014.

Ссылки

Вариан, HR (2020). Промежуточная микроэкономика: современный подход (Девятое издание). WW Нортон и компания.

[1] Николсон, В. (2005). Микроэкономическая теория (10-е изд.). Мейсон, Огайо: Высшее образование Томсона.

[2] Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: WW Нортон.

[3] Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: WW Нортон. , с. 121.

[4] Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: WW Нортон. , стр. 120-121.

[5] Вариан, Хэл Р. «Глава 8: Уравнение Слуцкого». Эссе. В промежуточной микроэкономике с исчислением, 1-е изд., 137. Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Norton, 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]