Производственная функция Кобба – Дугласа

Производственная поверхность Кобба – Дугласа на проволочной сетке с изоквантами

Производственная функция Кобба – Дугласа с двумя входами и изоквантами

В экономике и эконометрике производственная функция Кобба-Дугласа представляет собой особую функциональную форму производственной функции , широко используемую для представления технологических взаимосвязей между количествами двух или более ресурсов (особенно физического капитала и труда) и объемом выпуска, который может быть произведены этими входами. Форма Кобба-Дугласа была разработана и проверена на основе статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в период с 1927 по 1947 год; по мнению Дугласа, сама функциональная форма была разработана ранее Филиппом Викстидом .

Формулировка

В наиболее стандартной форме для производства одного товара с двумя факторами функция определяется следующим образом:

$Y(L,K)=AL^{\beta }K^{\alpha }$

где:

• Y = общий объем производства (реальная стоимость всех товаров, произведенных за год или 365,25 дней)
• L = трудозатраты (человеко-часы, отработанные за год или 365,25 дней)
• K = капитальные затраты (показатель всех машин, оборудования и зданий; стоимость капитальных затрат, деленная на цену капитала)
• A = общая факторная производительность
• $0<\alpha <1$ и $0<\beta <1$ – эластичность выпуска капитала и труда соответственно. Эти значения являются константами, определяемыми доступной технологией.

Капитал и труд являются двумя «факторами производства» производственной функции Кобба – Дугласа.

История

Пол Дуглас объяснил, что его первая формулировка производственной функции Кобба – Дугласа была разработана в 1927 году; В поисках функциональной формы для связи оценок, рассчитанных им для рабочих и капитала, он разговаривал с математиком и коллегой Чарльзом Коббом , который предложил функцию формы Y = AL ^б К ^{1- б} , ранее использовавшийся Кнутом Викселлем , Филипом Викстидом и Леоном Вальрасом , хотя Дуглас благодарит только Викстида и Вальраса за их вклад. Вскоре после смерти Кнута Викселля в 1926 году Пол Дуглас и Чарльз Кобб впервые применили функцию Кобба-Дугласа в своей работе, посвященной предметному типу теории производителей. Оценив это с помощью метода наименьших квадратов , он получил результат для показателя труда 0,75, который впоследствии был подтвержден Национальным бюро экономических исследований как 0,741. Более поздние работы, проведенные в 1940-х годах, побудили их учесть изменение показателей K и L , в результате чего были получены оценки, которые впоследствии оказались очень близкими к улучшенным показателям производительности, разработанным в то время.

Основная критика в то время заключалась в том, что оценки производственной функции, хотя и казались точными, основывались на столь скудных данных, что им было трудно поверить. Дуглас заметил: «Я должен признать, что эта критика меня обескуражила, и я подумывал отказаться от усилий, но было что-то, что подсказывало мне, что мне следует держаться». Прорыв произошел в использовании переписи населения США данных , которые были перекрестными и предоставили большое количество наблюдений. Дуглас представил результаты этих выводов, а также результаты других стран, в своем обращении в 1947 году в качестве президента Американской экономической ассоциации . Вскоре после этого Дуглас занялся политикой, и у него ухудшилось здоровье, что привело к незначительному дальнейшему развитию с его стороны. Однако два десятилетия спустя его производственная функция получила широкое распространение и была принята на вооружение такими экономистами, как Пол Самуэльсон и Роберт Солоу . Производственная функция Кобба-Дугласа особенно примечательна тем, что впервые совокупная или общеэкономическая производственная функция была разработана, оценена, а затем представлена ​​специалистам для анализа; это ознаменовало знаковое изменение в подходе экономистов к макроэкономике с точки зрения микроэкономики.

Позитивность маржинальных продуктов

Предельный продукт фактора производства — это изменение объема выпуска при изменении этого фактора производства, при этом все остальные факторы производства остаются неизменными, а также общая производительность факторов производства.

Предельный продукт капитала, $MPK$ соответствует первой производной производственной функции по капиталу:

$MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\alpha AL^{\beta }K^{\alpha -1}=\alpha {\frac {AL^{\beta }K^{\alpha }}{K}}=\alpha {\frac {Y}{K}}$

Потому что $\alpha >0$ (и $Y>0,K>0$ а также), мы обнаруживаем, что предельный продукт капитала всегда положителен; то есть увеличение капитала приводит к увеличению выпуска.

показывать

Пример

Suppose $A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5$ (unit of measures omitted for brevity).

Production is $Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$$.

Increasing capital to $K=37$ leads to a production of $\approx 91.24\$$, an increase of $1.24\$$.

Мы также находим, что увеличение общей производительности факторов производства $A$ увеличивает предельный продукт капитала.

Аналогичное рассуждение справедливо и для труда.

Закон убывающей отдачи

Взяв производную предельного продукта капитала по капиталу (т. е. взяв вторую производную производственной функции по капиталу), мы имеем:

${\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}={\frac {\partial }{\partial K}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=AL^{\beta }\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}=\alpha (\alpha -1)AL^{\beta }{\frac {K^{\alpha }}{K^{2}}}=\alpha (\alpha -1){\frac {Y}{K^{2}}}$

Потому что $\alpha <1$, затем $\alpha -1<0$ и так ${\dfrac {\partial MPK}{\partial K}}<0$.

Таким образом, эта функция удовлетворяет закону «убывающей отдачи»; то есть предельный продукт капитала, хотя всегда положительный, снижается. По мере увеличения капитала (при неизменных величине труда и совокупной факторной производительности) выпуск увеличивается, но уменьшающимися темпами.

показывать

Пример

Suppose $A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5$ (unit of measures omitted for brevity).

Production is $Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$$.

Increasing capital by 10 to $K=46$ leads to a production of $\approx 101.73\$$, an increase of $11.73\$$ over the $K=36$ case.

Further increasing capital by 10 to $K=56$ leads to a production of $\approx 112.25\$$, an increase of $10.52\$$ over the $K=46$ case.

Аналогичные рассуждения справедливы и для труда.

Перекрестные производные

Мы можем изучить, что происходит с предельным продуктом капитала при увеличении труда, взяв частную производную предельного продукта капитала по отношению к труду, то есть перекрестную производную выпуска по отношению к капиталу и труду:

${\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}={\dfrac {\partial ^{2}Y}{\partial K\partial L}}={\dfrac {\partial }{\partial L}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=A\beta L^{\beta -1}\alpha K^{\alpha -1}=A\alpha \beta {\dfrac {L^{\beta }K^{\alpha }}{LK}}=\alpha \beta {\dfrac {Y}{LK}}$

С ${\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0$Увеличение труда увеличивает предельный продукт капитала.

показывать

Пример

Suppose $A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5$ (unit of measures omitted for brevity).

Production is $Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$$.

Increasing capital by 10 to $K=46$ leads to a production of $\approx 101.73\$$, an increase of $11.73\$$.

Now suppose $A=3,L=36,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5$ (unit of measures omitted for brevity).

Production is $108\$$.

Increasing capital by 10 to $K=46$ leads to a production of $\approx 122.08\$$, an increase of $14.08\$$

Возврат к масштабу

Эластичность выпуска измеряет реакцию выпуска на изменение уровня использования труда или капитала, используемого в производстве, при прочих равных условиях . Например, если α = 0,45 , увеличение использования капитала на 1% приведет к примерно на 0,45% увеличению выпуска .

Иногда этот термин имеет более ограниченное значение, требуя, чтобы функция отображала постоянную отдачу от масштаба , а это означает, что увеличение капитала K и рабочей силы L в коэффициент k также увеличивает выпуск Y в тот же коэффициент, то есть $Y(kL,kK)=kY(L,K)$. Это справедливо, если $\alpha +\beta =1$.

показывать

Доказательство

$Y(kL,kK)=A(kL)^{\beta }(kK)^{\alpha }=Ak^{\beta }L^{\beta }k^{\alpha }K^{\alpha }=Ak^{\alpha +\beta }L^{\beta }K^{\alpha }=k^{\alpha +\beta }Y(L,K)$

Plugging in $\alpha +\beta =1$:

$Y(kL,kK)=kY(L,K)$

Если $\alpha +\beta <1$, то отдача от масштаба уменьшается, а это означает, что увеличение капитала K и труда L раз в k приведет к увеличению выпуска Y, раз меньшему, чем в k , т. е. $Y(kL,kK)<kY(L,K)$.

Если $\alpha +\beta >1$, то отдача от масштаба увеличивается, а это означает, что увеличение капитала K и рабочей силы L раз в k приводит к увеличению выпуска Y, большему, чем в k раз , т. е. $Y(kL,kK)>kY(L,K)$.

Вознаграждение в условиях совершенной конкуренции

В условиях совершенной конкуренции факторы производства вознаграждаются в размере совокупного предельного продукта.

Предельный продукт капитала определяется как: $MPK=\alpha {\dfrac {Y}{K}}$. Это вознаграждение за каждую единицу капитала. Чтобы узнать вознаграждение за весь капитал, умножим эту величину на $K$:

${\text{Capital earnings}}=K\cdot MPK=\alpha Y$.

Итак, доля $\alpha$ продукции будет вознаграждать капитал.

Аналогичными рассуждениями мы можем узнать, что доля $\beta$ продукции будет оплачивать труд.

Эти акции составляют 100% объема выпуска только в том случае, если $\alpha +\beta =1$.

Обобщенная форма

В своей обобщенной форме функция Кобба–Дугласа моделирует более двух товаров. Функцию Кобба – Дугласа можно записать как

$f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

где

• A – параметр эффективности
• n — общее количество входных переменных (товаров)
• x ₁ , ..., x _n — (неотрицательные) количества потребленного, произведенного и т. д. товара.
• $\lambda _{i}$ является параметром эластичности для блага i

Критика

Эту функцию критиковали за отсутствие основы. На Кобба и Дугласа повлияли статистические данные, которые, по-видимому, показывали, что доли труда и капитала в общем объеме производства были постоянными во времени в развитых странах; они объяснили это статистической подгонкой по методу наименьших квадратов регрессии своей производственной функции . В настоящее время широко признано, что доля рабочей силы в промышленно развитых странах снижается. Производственная функция содержит основное допущение, которое не всегда может обеспечить наиболее точное представление о производственных возможностях страны и эффективности предложения. Это предположение представляет собой «постоянную долю труда в выпуске», которое может быть неэффективным применительно к странам, рынки труда которых растут значительными темпами. Еще одной проблемой фундаментальной структуры производственной функции Кобба – Дугласа является наличие одновременной систематической ошибки уравнения. Когда предполагается конкуренция, одновременное смещение уравнения оказывает влияние на все типы функций, влияющих на решения фирмы, включая функцию Кобба-Дугласа. В некоторых случаях это одновременное смещение уравнения не проявляется. Однако это становится очевидным при использовании асимптотических приближений наименьших квадратов.

Производственная функция Кобба-Дугласа не была разработана на основе каких-либо знаний в области техники, технологии или управления производственным процессом. . Это обоснование может быть верным, учитывая определение термина «Капитал». Рабочее время и капитал нуждаются в лучшем определении. Если капитал определяется как здание, труд уже включен в развитие этого здания. Здание состоит из товаров, рабочей силы, рисков и общих условий. Вместо этого он был разработан потому, что имел привлекательные математические характеристики. , такие как убывающая предельная отдача от любого фактора производства и свойство, согласно которому оптимальные доли расходов на любой заданный ресурс фирмы, использующей технологию Кобба-Дугласа, постоянны. Изначально под него не было инженерных фундаментов. В современную эпоху некоторые экономисты пытаются строить модели на основе действий отдельных агентов, а не навязывать функциональную форму всей экономике. . Производственная функция Кобба-Дугласа, если она правильно определена, может применяться на микроэкономическом уровне вплоть до макроэкономического уровня.

Однако многие современные авторы разработали модели, которые дают производственные функции Кобба – Дугласа, основанные на микроэкономике , включая многие новые кейнсианские модели. Тем не менее, было бы математической ошибкой предполагать, что поскольку функция Кобба–Дугласа применима на микроэкономическом уровне, она также всегда применима и на макроэкономическом уровне. Точно так же не обязательно макроэкономический подход Кобба-Дугласа применяется на дезагрегированном уровне. Ранние микрооснования совокупной технологии Кобба-Дугласа, основанной на линейных действиях, заложены Хаутаккером (1955). Производственная функция Кобба-Дугласа несовместима с современными эмпирическими оценками эластичности замещения между капиталом и трудом, которые предполагают, что капитал и труд являются грубым дополнением. Метаанализ 3186 оценок 2021 года пришел к выводу, что «вес доказательств, накопленных в эмпирической литературе, категорически отвергает спецификацию Кобба-Дугласа».

Коммунальные услуги Кобба – Дугласа

часто используют функцию Кобба-Дугласа В качестве функции полезности . Утилита ${\tilde {u}}$ является функцией величин $x_{i}$ принадлежащий $n$ потребляемые товары:

${\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}$

Функции полезности представляют собой порядковые предпочтения и не имеют натуральных единиц, в отличие от производственных функций. В результате монотонное преобразование функции полезности представляет те же предпочтения. В отличие от производственной функции Кобба-Дугласа, где сумма показателей степени определяет степень эффекта масштаба , эту сумму можно нормализовать до единицы для функции полезности, поскольку нормализация представляет собой монотонное преобразование исходной функции полезности. Таким образом, определим $\lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ и $\alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}$, так $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$и запишите функцию полезности как:

$u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}$

Потребитель максимизирует полезность при условии бюджетного ограничения, заключающегося в том, что стоимость товара меньше его богатства. $w$. Сдача в аренду $p_{i}$ обозначив цены товаров, она решает:

$\max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w$

Оказывается, решение для спроса Кобба – Дугласа таково:

$\forall j:\qquad x_{j}^{\star }={\frac {w\alpha _{j}}{p_{j}}}$

С $\alpha _{j}={\frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}$, потребитель тратит долю $\alpha _{j}$ своего богатства на благо j . Обратите внимание, что это решение либо для $u(x)$ или ${\tilde {u}}(x),$ поскольку одни и те же предпочтения порождают одинаковый спрос.

Косвенную функцию полезности можно вычислить, подставив требования $x_{j}$ в функцию полезности. Определите константу $K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}$ и мы получаем:

$v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)$

что является частным случаем полярной формы Гормана . Функция расходов является обратной функцией косвенной полезности:

$e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u$

Различные представления производственной функции

Форму функции Кобба – Дугласа можно оценить как линейную зависимость, используя следующее выражение:

$\ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})$

где

• $Y={\text{output}}$
• $I_{i}={\text{inputs}}$
• $a_{i}={\text{model coefficients}}$

Модель также можно записать как

$Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots$

Как уже отмечалось, общая функция Кобба – Дугласа, используемая в макроэкономическом моделировании, равна

$Y=K^{\alpha }L^{\beta }$

где К — капитал, а L — труд. Когда сумма показателей модели равна единице, производственная функция является однородной первого порядка , что подразумевает постоянную отдачу от масштаба — то есть, если все ресурсы масштабируются с помощью общего коэффициента, большего нуля, выпуск будет масштабироваться с тем же коэффициентом.

Связь с производственной функцией CES

Производственная функция постоянной эластичности замещения (ПЭЗ) (в двухфакторном случае) равна

$Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },$

в котором предельный случай γ = 0 соответствует функции Кобба–Дугласа, $Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },$ с постоянной отдачей от масштаба.

Чтобы это увидеть, лог функции CES:

$\ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)$

можно довести до предела, применив правило Лопиталя :

$\lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).$

Поэтому, $Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }$.

Транслогарифмическая производственная функция

Транслогарифмическая производственная функция представляет собой аппроксимацию функции CES полиномом Тейлора второго порядка от переменной $\gamma$ о $\gamma =0$, то есть случай Кобба – Дугласа. Название транслог означает «трансцендентный логарифмический». Он часто используется в эконометрике из-за того, что он линеен по параметрам, что означает, что обычный метод наименьших квадратов, можно использовать если входные данные можно считать экзогенными .

В двухфакторном случае, описанном выше, транслогарифмическая производственная функция равна

${\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}$

где $a_{K}$, $a_{L}$, $b_{KK}$, $b_{LL}$, и $b_{KL}$ определены соответствующим образом. В трехфакторном случае транслогарифмическая производственная функция равна:

${\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}$

где $A$ = общая факторная производительность, $L$ = труд, $K$ = капитал, $M$ = материалы и расходные материалы, и $Y$ = выход.

См. также

• Производственная функция Леонтьева
• Граница производства и возможностей
• Теория производства

Дальнейшее чтение

• Реншоу, Джефф (2005). Математика для экономики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 516–526. ISBN  0-19-926746-4 .

Внешние ссылки

• Анатомия производственных функций типа Кобба – Дугласа в 3D
• Анализ Кобба – Дугласа как функции полезности. Архивировано 3 октября 2014 г. на Wayback Machine.
• Решение закрытой формы для фирмы с производственной функцией с N-затратами