Серия Тейлора
Часть серии статей о |
Исчисление |
---|
В математике ряд Тейлора или разложение Тейлора представляет функции собой бесконечную сумму функции членов, которые выражаются через производные в одной точке. Для большинства распространенных функций функция и сумма ее ряда Тейлора равны вблизи этой точки. Ряды Тейлора названы в честь Брука Тейлора , который представил их в 1715 году. Ряд Тейлора также называется рядом Маклорена, когда 0 — это точка, в которой рассматриваются производные, в честь Колина Маклорена , который широко использовал этот особый случай ряда Тейлора в 18 век.
Частичная сумма, образованная первыми n + 1 членами ряда Тейлора, представляет собой многочлен степени n , который называется n- м полиномом Тейлора функции. Полиномы Тейлора — это аппроксимации функции, которые обычно становятся более точными с увеличением n . Теорема Тейлора дает количественные оценки ошибки, вносимой использованием таких приближений. Если ряд Тейлора функции сходится , его сумма является пределом бесконечной последовательности полиномов Тейлора. Функция может отличаться от суммы своего ряда Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится. Функция является аналитической в точке x, если она равна сумме своего ряда Тейлора на некотором открытом интервале (или открытом круге в комплексной плоскости ), содержащем x . Это означает, что функция аналитична в каждой точке интервала (или круга).
Определение
[ редактировать ]Ряд Тейлора действительной или комплекснозначной функции f ( x ) , которая бесконечно дифференцируема по действительному или комплексному числу a , является степенным рядом Вот, н ! обозначает факториал числа n . Функция f ( н ) ( a ) обозначает n- ю производную от f, вычисленную в точке a . Производная нулевого порядка f определяется как сама f и ( x − a ) 0 и 0! оба определены как 1 . Этот ряд можно записать, используя сигма-нотацию , как в правой формуле. [1] При a = 0 ряд Маклорена принимает вид: [2]
Примеры
[ редактировать ]Ряд Тейлора любого многочлена является самим многочленом.
Серия Маклоренов. 1/1 − x — геометрическая прогрессия
Итак, заменив x на 1 − x , ряд Тейлора 1 / x при a = 1 есть
Интегрируя приведенный выше ряд Маклорена, мы находим ряд Маклорена для ln(1 − x ) , где ln обозначает натуральный логарифм :
Соответствующий ряд Тейлора для ln x при a = 1 равен
и, в более общем смысле, соответствующая серия Тейлора для ln x в произвольной ненулевой точке a равна:
Ряд Маклорена показательной функции e х является
Приведенное выше разложение справедливо, поскольку производная e х по отношению к x также является e х , и е 0 равно 1. Остаются члены ( x − 0) н в числителе и n ! в знаменателе каждого члена бесконечной суммы.
История
[ редактировать ]Древнегреческий философ Зенон Элейский рассматривал проблему суммирования бесконечного ряда для достижения конечного результата, но отвергал ее как невозможную; [3] результатом стал парадокс Зенона . Позже Аристотель предложил философское решение парадокса, но математическое содержание, очевидно, оставалось неразрешенным, пока не было рассмотрено Архимедом , как это было до Аристотеля досократическим атомистом Демокритом . Архимеда Именно с помощью метода истощения можно было выполнить бесконечное количество последовательных подразделений для достижения конечного результата. [4] Лю Хуэй независимо применил аналогичный метод несколько столетий спустя. [5]
В 14 веке самые ранние примеры конкретных рядов Тейлора (но не общего метода) были приведены индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы . [6] его последователей из школы астрономии и математики Кералы предполагают, что он нашел ряд Тейлора для тригонометрических функций синуса Хотя никаких записей о его работе не сохранилось, работы , косинуса и арктангенса (см. Ряд Мадхавы ). В течение следующих двух столетий его последователи разработали дальнейшие расширения рядов и рациональные аппроксимации.
В конце 1670 года Джеймсу Грегори было показано в письме Джона Коллинза несколько серий Маклорена ( и ), выведенный Исааком Ньютоном , и рассказал, что Ньютон разработал общий метод разложения функций в ряд. На самом деле Ньютон использовал громоздкий метод, включающий деление рядов в длинные позиции и почленное интегрирование, но Грегори не знал об этом и решил открыть для себя общий метод. В начале 1671 года Грегори обнаружил что-то вроде общей серии Маклорена и отправил Коллинзу письмо, включающее серии для (интеграл ), ( интеграл от sec , обратная функция Гудермана ), и (функция Гудермана). Однако, полагая, что он всего лишь переработал метод Ньютона, Грегори никогда не описывал, как он получил эти серии, и можно лишь предположить, что он понял общий метод, исследуя черновые записи, которые он нацарапал на обороте другого письма 1671 года. [7]
В 1691–1692 годах Исаак Ньютон записал явное утверждение ряда Тейлора и Маклорена в неопубликованной версии своей работы De Quadratura Curvarum . Однако эта работа так и не была завершена, и соответствующие разделы были исключены из частей, опубликованных в 1704 году под названием Tractatus de Quadratura Curvarum .
Лишь в 1715 году общий метод построения этих рядов для всех функций, для которых они существуют, был наконец опубликован Бруком Тейлором , [8] в честь которого теперь назван сериал.
Ряд Маклорена был назван в честь Колина Маклорена , профессора из Эдинбурга, опубликовавшего частный случай результата Тейлора в середине 18 века.
Аналитические функции
[ редактировать ]Если f ( x ) задается сходящимся степенным рядом в открытом диске с центром b на комплексной плоскости (или интервале действительной прямой), он называется аналитическим в этой области. Таким образом, для x в этой области f задается сходящимся степенным рядом
Дифференцируя по x приведенную выше формулу n раз, затем полагая x = b , получим:
и поэтому разложение в степенной ряд согласуется с рядом Тейлора. Таким образом, функция является аналитической в открытом диске с центром в точке b тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора сходится к значению функции в каждой точке диска.
Если f ( x ) равно сумме своего ряда Тейлора для всех x в комплексной плоскости, он называется целым . Полиномы, показательная функция e х и тригонометрические функции синус и косинус являются примерами целых функций. Примеры функций, которые не являются целыми, включают квадратный корень , логарифм , тангенс тригонометрической функции и ее обратную функцию, арктан . Для этих функций ряды Тейлора не сходятся , если x далек от b . То есть ряд Тейлора расходится в точке x , если расстояние между x и b больше радиуса сходимости . Ряд Тейлора можно использовать для вычисления значения целой функции в каждой точке, если значение функции и всех ее производных известны в одной точке.
Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:
- Частичные суммы ( полиномы Тейлора ) ряда можно использовать в качестве аппроксимации функции. Эти приближения хороши, если в них включено достаточно много членов.
- Дифференцирование и интегрирование степенных рядов можно выполнять почленно и, следовательно, это особенно легко.
- Аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфной функции на открытом диске в комплексной плоскости . Это делает доступным аппарат комплексного анализа .
- (Усеченный) ряд можно использовать для численного вычисления значений функции (часто путем преобразования полинома в форму Чебышева и его оценки с помощью алгоритма Кленшоу ).
- Алгебраические операции можно легко выполнить с представлением степенного ряда; например, формула Эйлера следует из разложения в ряд Тейлора тригонометрических и экспоненциальных функций. Этот результат имеет фундаментальное значение в такой области, как гармонический анализ .
- Аппроксимации с использованием первых нескольких членов ряда Тейлора могут сделать возможными неразрешимые в противном случае проблемы для ограниченной области; этот подход часто используется в физике.
Ошибка аппроксимации и сходимость
[ редактировать ]На рисунке изображена точная аппроксимация sin x вокруг точки x = 0 . Розовая кривая представляет собой полином седьмой степени:
Погрешность этого приближения не более | х | 9 / 9! . Для полного цикла с центром в начале координат ( −π < x < π ) ошибка составляет менее 0,08215. В частности, для −1 < x < 1 ошибка меньше 0,000003.
Напротив, также показано изображение функции натурального логарифма ln(1 + x ) и некоторых ее полиномов Тейлора вокруг a = 0 . Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени являются худшими приближениями для функции.
Ошибка , возникающая при приближении функции ее полиномом Тейлора n -й степени, называется остатком или невязкой и обозначается функцией R n ( x ) . Теорему Тейлора можно использовать для получения оценки размера остатка .
В общем случае ряд Тейлора не обязательно должен быть сходящимся вообще . И на самом деле множество функций со сходящимся рядом Тейлора представляет собой скудное множество в пространстве Фреше гладких функций . И даже если ряд Тейлора функции f сходится, ее предел вообще не обязательно должен быть равен значению функции f ( x ) . Например, функция
в бесконечно дифференцируема точке x = 0 и имеет там все производные равны нулю. Следовательно, ряд Тейлора функции f ( x ) относительно x = 0 тождественно равен нулю. Однако f ( x ) не является нулевой функцией, поэтому не равна ряду Тейлора вокруг начала координат. Таким образом, f ( x ) является примером неаналитической гладкой функции .
В реальном анализе этот пример показывает, что существуют бесконечно дифференцируемые функции f ( x ), ряды Тейлора которых не равны f ( x ), даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции, изучаемые в комплексном анализе, всегда обладают сходящимся рядом Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфных функций , которые могут иметь особенности, никогда не сходятся к значению, отличному от самой функции. Комплексная функция e −1/ z 2 , однако не приближается к 0, когда z приближается к 0 вдоль мнимой оси, поэтому он не является непрерывным в комплексной плоскости, а его ряд Тейлора не определен в точке 0.
В более общем смысле, каждая последовательность действительных или комплексных чисел может выступать в качестве коэффициентов в ряду Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на действительной прямой, что является следствием леммы Бореля . В результате радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, определенные на вещественной прямой, ряды Тейлора которых всюду имеют радиус сходимости 0. [9]
Функцию нельзя записать в виде ряда Тейлора с центром в особенности ; в этих случаях часто все же можно добиться разложения в ряд, если допустить также отрицательные степени переменной x ; см. серию Лорана . Например, f ( x ) = e −1/ х 2 можно записать в виде ряда Лорана.
Обобщение
[ редактировать ]Обобщение ряда Тейлора сходится к значению самой функции для любой ограниченной непрерывной функции на (0,∞) , и это можно сделать с помощью исчисления конечных разностей . В частности, следующая теорема Эйнара Хилле о том, что для любого t > 0 [10]
Здесь Δ н
h — n -й конечно-разностный оператор с размером шага h . Ряд представляет собой в точности ряд Тейлора, с той лишь разницей, что вместо дифференцирования появляются разделенные разности: формально ряд подобен ряду Ньютона . Когда функция f аналитична в точке a , члены ряда сходятся к членам ряда Тейлора и в этом смысле обобщают обычный ряд Тейлора.
В общем, для любой бесконечной последовательности a i справедливо следующее тождество степенного ряда:
Так, в частности,
Ряд справа — это ожидаемое значение f , распределенная ( a + X ) , где X — по Пуассону случайная величина , принимающая значение jh с вероятностью e. − т / ч · ( т / час ) дж / дж ! . Следовательно,
Закон больших чисел подразумевает, что тождество справедливо. [11]
Список серий Маклорена некоторых общих функций
[ редактировать ]Далее следует несколько важных расширений серии Маклорена. Все эти расширения действительны для комплексных аргументов x .
Экспоненциальная функция
[ редактировать ]Показательная функция (с основанием e ) имеет ряд Маклорена [12]
Оно сходится для всех x .
Экспоненциальная производящая функция чисел Белла является экспоненциальной функцией предшественника экспоненциальной функции:
Натуральный логарифм
[ редактировать ]Натуральный логарифм (с основанием e ) имеет ряд Маклорена. [13]
Последняя серия известна как серия Меркатора , названная в честь Николая Меркатора (так как она была опубликована в его трактате 1668 года «Логарифмотехния »). [14] Оба эти ряда сходятся при . (Кроме того, ряд для ln(1 − x ) сходится при x = −1 , а ряд для ln(1 + x ) сходится при x = 1. ) [13]
Геометрическая серия
[ редактировать ]Геометрическая прогрессия и ее производные имеют ряд Маклорена.
Все сходятся для . Это частные случаи биномиального ряда, приведенные в следующем разделе.
Биномиальный ряд
[ редактировать ]Биномиальный ряд – это степенной ряд
чьи коэффициенты являются обобщенными биномиальными коэффициентами [15]
(Если n = 0 , это произведение является пустым произведением и имеет значение 1.) Оно сходится при для любого действительного или комплексного числа α .
Когда α = −1 , это, по сути, бесконечная геометрическая серия, упомянутая в предыдущем разделе. Особые случаи α = 1/2 = и α − 1/2 ей : дают корня и обратную функцию квадратного [16]
Когда только линейный член сохраняется , это упрощается до биномиальной аппроксимации .
Тригонометрические функции
[ редактировать ]Обычные тригонометрические функции и их обратные имеют следующий ряд Маклорена: [17]
Все углы выражаются в радианах . Числа Bk , входящие в разложение tan x, являются числами Бернулли . E в k разложении sec x являются числами Эйлера . [18]
Гиперболические функции
[ редактировать ]Гиперболические функции имеют ряды Маклорена, тесно связанные с рядами для соответствующих тригонометрических функций: [19]
Числа Bk , входящие в ряд для tanh x, являются числами Бернулли . [19]
Полилогарифмические функции
[ редактировать ]Полилогарифмы : имеют следующие определяющие тождества
Функции хи Лежандра определяются следующим образом:
А формулы, представленные ниже, называются обратными касательными интегралами :
В статистической термодинамике эти формулы имеют большое значение.
Эллиптические функции
[ редактировать ]Полные эллиптические интегралы первого рода K и второго рода E можно определить следующим образом:
Тета -функции Якоби описывают мир эллиптических модулярных функций и имеют следующие ряды Тейлора:
Обычная последовательность номеров разделов P(n) имеет следующую производящую функцию:
Строгая последовательность номеров разделов Q(n) имеет такую производящую функцию:
Расчет ряда Тейлора
[ редактировать ]Существует несколько методов вычисления рядов Тейлора для большого числа функций. Можно попытаться воспользоваться определением ряда Тейлора, хотя это часто требует обобщения вида коэффициентов по вполне очевидной схеме. В качестве альтернативы можно использовать такие манипуляции, как замена, умножение или деление, сложение или вычитание стандартного ряда Тейлора, чтобы построить ряд Тейлора функции, поскольку ряд Тейлора является степенным рядом. В некоторых случаях можно также вывести ряд Тейлора, многократно применяя интегрирование по частям . Особенно удобно использование систем компьютерной алгебры для вычисления рядов Тейлора.
Первый пример
[ редактировать ]Чтобы вычислить полином Маклорена 7-й степени для функции
можно сначала переписать функцию как
композиция двух функций и Ряд Тейлора для натурального логарифма равен (с использованием обозначения «большое О» )
и для функции косинуса
Первые несколько членов второго ряда можно подставить в каждый член первого ряда. Поскольку первый член второй серии имеет степень 2, трех членов первой серии достаточно, чтобы получить полином 7-й степени:
Поскольку косинус — четная функция , коэффициенты при всех нечетных степенях равны нулю.
Второй пример
[ редактировать ]Предположим, нам нужен ряд Тейлора в нуле функции
Ряд Тейлора для показательной функции равен
и ряд для косинуса
Предположим, что ряд для их частного равен
Умножение обеих частей на знаменатель а затем разложив его в ряд, получим
Сравнивая коэффициенты с коэффициентами
Коэффициенты из серии для таким образом, можно вычислять по одному, что равносильно длинному делению ряда для и :
Третий пример
[ редактировать ]Здесь мы используем метод, называемый «косвенным расширением», для расширения данной функции. Этот метод использует известное разложение Тейлора показательной функции. Чтобы разложить (1 + x ) e х в качестве ряда Тейлора по x мы используем известный ряд Тейлора функции e х :
Таким образом,
Ряд Тейлора как определения
[ редактировать ]Классически алгебраические функции определяются алгебраическим уравнением, а трансцендентные функции (включая обсуждавшиеся выше) определяются некоторым свойством, которое для них выполняется, например дифференциальным уравнением . Например, показательная функция — это функция, которая всюду равна своей производной и принимает значение 1 в начале координат. Однако с таким же успехом можно определить аналитическую функцию через ее ряд Тейлора.
Ряды Тейлора используются для определения функций и « операторов » в различных областях математики. В частности, это верно в тех областях, где классические определения функций не работают. Например, используя ряды Тейлора, можно расширить аналитические функции до наборов матриц и операторов, таких как матричная экспонента или матричный логарифм .
В других областях, например формальном анализе, удобнее работать непосредственно с самими степенными рядами . Таким образом, можно определить решение дифференциального уравнения как степенной ряд, который, как мы надеемся доказать, является рядом Тейлора искомого решения.
Ряд Тейлора от нескольких переменных
[ редактировать ]Ряд Тейлора также можно обобщить на функции более чем одной переменной с [20]
Например, для функции который зависит от двух переменных, x и y , ряд Тейлора второго порядка относительно точки ( a , b ) равен
где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные .
Ряды Тейлора второго порядка от нескольких переменных
[ редактировать ]Разложение скалярной функции более чем одной переменной в ряд Тейлора второго порядка можно компактно записать как
где D f ( a ) — градиент f , оцененный при x = a и D 2 f ( a ) — матрица Гессе . Применяя многоиндексное обозначение, ряд Тейлора для нескольких переменных становится
которое следует понимать как еще более сокращенную многоиндексную версию первого уравнения этого параграфа с полной аналогией случаю с одной переменной.
Пример
[ редактировать ]Чтобы вычислить разложение в ряд Тейлора второго порядка вокруг точки ( a , b ) = (0, 0) функции
сначала вычисляются все необходимые частные производные:
Оценка этих производных в начале координат дает коэффициенты Тейлора.
Подставив эти значения в общую формулу
производит
Поскольку ln(1 + y ) аналитична в | й | < 1 , мы имеем
Сравнение с рядом Фурье
[ редактировать ]Тригонометрический ряд Фурье позволяет выразить периодическую функцию (или функцию, определенную на замкнутом интервале [ a , b ] ) как бесконечную сумму тригонометрических функций ( синусов и косинусов ). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию в виде бесконечной суммы степеней . Тем не менее, эти две серии отличаются друг от друга по нескольким важным вопросам:
- Все конечные усечения ряда Тейлора функции f ( x ) относительно точки x = a в точности равны f в точке a . Напротив, ряд Фурье вычисляется путем интегрирования по всему интервалу, поэтому обычно не существует такой точки, в которой все конечные усечения ряда были бы точными.
- Вычисление ряда Тейлора требует знания функции в произвольной малой окрестности точки, тогда как вычисление ряда Фурье требует знания функции во всем ее интервале определения . В определенном смысле можно сказать, что ряд Тейлора является «локальным», а ряд Фурье — «глобальным».
- Ряд Тейлора определяется для функции, которая имеет бесконечное число производных в одной точке, тогда как ряд Фурье определяется для любой интегрируемой функции . В частности, функция не может быть нигде дифференцируемой. (Например, f ( x ) может быть функцией Вейерштрасса .)
- Сходимость обоих рядов имеет весьма разные свойства. Даже если ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости, полученный ряд может не совпадать с функцией; но если функция аналитическая, то ряд сходится поточечно к функции и равномерно на каждом компактном подмножестве интервала сходимости. Что касается ряда Фурье, то если функция интегрируема с квадратом , то этот ряд сходится в среднем квадратичном , но необходимы дополнительные требования для обеспечения поточечной или равномерной сходимости (например, если функция периодическая и принадлежит классу C 1 тогда сходимость равномерная).
- Наконец, на практике требуется аппроксимировать функцию конечным числом членов, скажем, полиномом Тейлора или частичной суммой тригонометрического ряда соответственно. В случае ряда Тейлора ошибка очень мала в окрестности точки, где она вычисляется, но может быть очень большой в удаленной точке. В случае ряда Фурье ошибка распределяется по области определения функции.
См. также
[ редактировать ]- Асимптотическое расширение
- Полином Ньютона
- Аппроксимант Паде - наилучшее приближение рациональной функцией
- Ряд Пюизо - Степенной ряд с рациональными показателями.
- Теория приближения
- Аппроксимация функции
Примечания
[ редактировать ]- ^ Баннер 2007 , с. 530 .
- ^ Томас и Финни 1996 , см. §8.9..
- ^ Линдберг 2007 , с. 33.
- ^ Клайн 1990 , с. 35–37 .
- ^ Бойер и Мерцбах 1991 , с. 202–203 .
- ^ Дэни 2012 .
- ^
- Тернбулл, 1939 , стр. 168–174.
- Рой 1990 г.
- Написан в 1993 году.
- ^
- Тейлор 1715 , с. 21–23, см. т. VII, Тез. 3, Кор. 2. См. Struik 1969 , стр. 329–332 для английского перевода и Брюс 2007 для повторного перевода.
- Фейгенбаум 1985 г.
- ^ Рудин 1980 , с. 418, см. упражнение 13.
- ^
- Феллер 2003 , с. 230–232
- Hille & Phillips 1957 , стр. 300–327.
- ^ Феллер 2003 , с. 231.
- ^ Абрамовиц и Стегун 1970 , с. 69 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б
- Билодо, Ти и Кио, 2010 , с. 252
- Абрамовиц и Стегун 1970 , с. 15
- ^ Хофманн 1939 .
- ^ Абрамовиц и Стегун 1970 , с. 14 .
- ^ Абрамовиц и Стегун 1970 , с. 15 .
- ^ Абрамовиц и Стегун 1970 , с. 75 , 81 .
- ^ Абрамовиц и Стегун 1970 , с. 75 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Абрамовиц и Стегун 1970 , с. 85 .
- ^
- Хёрмандер 2002 , см. уравнение. 1.1.7 и 1.1.7'
- Колк и Дуйстермаат 2010 , с. 59–63
Ссылки
[ редактировать ]- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1970). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . Девятое издание.
- Баннер, Адриан (2007). Спасатель исчисления: все инструменты, необходимые для достижения успеха в исчислении . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13088-0 .
- Билодо, Джеральд; Тай, Пол; Кио, GE (2010). Введение в анализ . Издательство Джонс и Бартлетт. ISBN 978-0-7637-7492-9 .
- Бойер, К.; Мерцбах, У. (1991). История математики (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-09763-2 .
- Брюс, Ян (2007). «Метод прямых и обратных приращений]» . 17 Centurymaths.com .
- Дэни, С.Г. (2012). «Древнеиндийская математика – Конспект». Резонанс . 17 (3): 236–246. дои : 10.1007/s12045-012-0022-y . S2CID 120553186 .
- Фейгенбаум, Л. (1985). «Брук Тейлор и метод приращений». Архив истории точных наук . 34 (1–2): 1–140. дои : 10.1007/bf00329903 . S2CID 122105736 .
- Феллер, Уильям (2003) [1971]. Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. 2 (3-е изд.). Уайли. ISBN 9789971512989 . OCLC 818811840 .
- Гринберг, Майкл (1998). Высшая инженерная математика (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-321431-1 .
- Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1957). Функциональный анализ и полугруппы . Публикации коллоквиума AMS. Том. 31. Американское математическое общество.
- Хофманн, Йозеф Эренфрид (1939). «Об открытии логарифмического ряда и его развитии в Англии до Кота». Национальный математический журнал . 14 (1): 33–45. дои : 10.2307/3028095 . JSTOR 3028095 .
- Хёрмандер, Ларс (2002) [1990]. «1. Тестовые функции §1.1. Обзор дифференциального исчисления» . Анализ операторов в частных производных . Том. 1 (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-61497-2_2 . ISBN 978-3-642-61497-2 .
- Клайн, М. (1990). Математическая мысль от древности до современности . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-506135-7 .
- Колк, Йохан AC; Дуйстермаат, Джей-Джей (2010). «Разложение Тейлора по нескольким переменным» . Распределения: Теория и приложения . Биркгаузер. дои : 10.1007/978-0-8176-4675-2_6 . ISBN 978-0-8176-4672-1 .
- Линдберг, Дэвид (2007). Начало западной науки (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-48205-7 .
- Малет, Антони (1993). «Джеймс Грегори о касательных и правиле Тейлора для разложения рядов». Архив истории точных наук . 46 (2): 97–137. дои : 10.1007/BF00375656 . JSTOR 41133959 . S2CID 120101519 .
- Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для числа π Лейбницем, Грегори и Нилакантой » (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541 .
- —— (2021) [2011]. Серии и произведения в развитии математики . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
- Рудин, Уолтер (1980). Реальный и комплексный анализ . Нью-Дели: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-099557-5 .
- Струйк, диджей (1969). Справочник по математике 1200–1800 гг . Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-82355-6 .
- Тейлор, Брук (1715). приращения Прямой и обратный методы (на латыни). Лондон.
- Томас, Джордж Б. младший; Финни, Росс Л. (1996). Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-53174-7 .
- Тернбулл, Герберт Вестрен, изд. (1939). Джеймс Грегори; Том памяти трехсотлетия . Дж. Белл и сыновья.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Ряд Тейлора» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Серия Тейлора» . Математический мир .