Обратный касательный интеграл

Обратный касательный интеграл — это специальная функция , определяемая следующим образом:

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt$

Эквивалентно, его можно определить степенным рядом или, в терминах дилогарифма , тесно связанной специальной функцией.

Определение

Обратный касательный интеграл определяется следующим образом:

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt$

Арктангенс ; считается ветвью главной то есть - π /2 < arctan( t ) < π /2 для всех вещественных t .

Его в степенном ряду представление

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+\cdots$

что абсолютно сходится для $|x|\leq 1.$

Обратный касательный интеграл тесно связан с дилогарифмом ${\textstyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ и может быть выражено просто через него:

$\operatorname {Ti} _{2}(z)={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Li} _{2}(iz)-\operatorname {Li} _{2}(-iz)\right)$

То есть,

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(ix))$

для всех реальных x .

Характеристики

Обратный касательный интеграл является нечетной функцией :

$\operatorname {Ti} _{2}(-x)=-\operatorname {Ti} _{2}(x)$

Значения Ti ₂ ( x ) и Ti ₂ (1/ x ) связаны тождеством

$\operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\log x$

справедливо для всех x > 0 (или, в более общем смысле, для Re( x ) > 0).Это можно доказать, дифференцируя и используя тождество $\arctan(t)+\arctan(1/t)=\pi /2$.

Специальное значение Ti ₂ (1) представляет собой константу Каталана. ${\textstyle 1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \approx 0.915966}$.

Обобщения

Аналогично полилогарифму ${\textstyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}}$, функция

$\operatorname {Ti} _{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)^{n}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+\cdots$

определяется аналогично. Это удовлетворяет рекуррентному соотношению:

$\operatorname {Ti} _{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\,dt$

Из этого представления ряда видно, что специальные значения $\operatorname {Ti} _{n}(1)=\beta (n)$, где $\beta (s)$ представляет бета-функцию Дирихле .

Связь с другими специальными функциями

Обратный касательный интеграл связан с функцией хи Лежандра. ${\textstyle \chi _{2}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}+\cdots }$ к:

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=-i\chi _{2}(ix)$

Обратите внимание, что $\chi _{2}(x)$ может быть выражено как ${\textstyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {artanh} t}{t}}\,dt}$, аналогично интегралу обратного тангенса, но вместо него используется обратный гиперболический тангенс .

Обратный касательный интеграл также можно записать через трансцендент Лерха ${\textstyle \Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}:}$

$\operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{4}}x\Phi (-x^{2},2,1/2)$

История

Обозначения Ti ₂ и Ti _n принадлежат Левину. Спенс (1809) изучил функцию, используя обозначения ${\overset {n}{\operatorname {C} }}(x)$. Функция также изучалась Рамануджаном .

Ссылки

• Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и ассоциированные функции . Лондон: Макдональд. МР   0105524 . Збл   0083.35904 .
• Левин, Л. (1981). Полилогарифмы и связанные с ними функции . Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-444-00550-2 .