Бета-функция Дирихле

Эта статья о бета-функции Дирихле. Чтобы узнать о других бета-функциях, см. Бета-функция (значения) .

Бета-функция Дирихле

В математике ( бета-функция Дирихле также известная как бета-функция Каталана ) представляет собой специальную функцию , тесно связанную с дзета-функцией Римана . Это особая L-функция Дирихле , L-функция знакопеременного характера четвертого периода.

Определение

Бета-функция Дирихле определяется как

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},$

или, что то же самое,

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.$

В каждом случае предполагается, что Re( s ) > 0.

Альтернативно, следующее определение в терминах дзета-функции Гурвица справедливо во всей комплексной s -плоскости:

$\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).$

Другое эквивалентное определение, с точки зрения трансцендента Лерха , таково:

$\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),$

что снова справедливо для всех комплексных значений s .

Бета-функция Дирихле также может быть записана через функцию полилогарифма :

$\beta (s)={\frac {i}{2}}\left({\text{Li}}_{s}(-i)-{\text{Li}}_{s}(i)\right).$

Также рядное представление бета-функции Дирихле можно сформировать через полигамма-функцию.

$\beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]$

но эта формула действительна только при целочисленных положительных значениях $s$.

Формула произведения Эйлера

Это также простейший пример ряда, не связанного напрямую с $\zeta (s)$ который также может быть факторизован как произведение Эйлера , что приводит к идее о характере Дирихле, определяющем точный набор рядов Дирихле, имеющих факторизацию по простым числам .

По крайней мере, для Re( s ) ≥ 1:

$\beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}$

где p ≡1 mod 4 — простые числа вида 4 n +1 (5,13,17,...) и p ≡3 mod 4 — простые числа вида 4 n +3 (3,7,11, ...). Это можно компактно записать как

$\beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.$

Функциональное уравнение

Функциональное уравнение расширяет бета-функцию в левую часть комплексной плоскости Re( s ) ≤ 0. Оно имеет вид

$\beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)$

где Γ( s ) — гамма-функция . Она была высказана Эйлером в 1749 г. и доказана Мальмстеном в 1842 г. (см. Благоушин, 2014).

Особые значения

Некоторые специальные значения включают в себя:

$\beta (0)={\frac {1}{2}},$

$\beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},$

$\beta (2)\;=\;G,$

где G представляет константу Каталана , а

$\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},$

$\beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\!\left({\frac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),$

$\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},$

$\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},$

где $\psi _{3}(1/4)$ выше приведен пример функции полигаммы .

Следовательно, функция обращается в нуль для всех нечетных отрицательных целых значений аргумента.

Для каждого положительного целого числа k :

$\beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},$

где $A_{k}$ — зигзагообразное число Эйлера .

в 1842 г. было выведено Также Мальмстеном (см. Blagouchine, 2014), что

$\beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)$

с	приблизительное значение β(s)	ОЭИС
1/5	0.5737108471859466493572665	А261624
1/4	0.5907230564424947318659591	А261623
1/3	0.6178550888488520660725389	А261622
1/2	0.6676914571896091766586909	А195103
1	0.7853981633974483096156608	А003881
2	0.9159655941772190150546035	А006752
3	0.9689461462593693804836348	А153071
4	0.9889445517411053361084226	А175572
5	0.9961578280770880640063194	А175571
6	0.9986852222184381354416008	А175570
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

В -1 есть нули; -3; -5; -7 и т. д.

См. также

• Дзета-функция Гурвица
• Эта-функция Дирихле
• Полилогарифм

Ссылки

• Благоушин, IV (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты» . Рамануджан Дж . 35 (1): 21–110. дои : 10.1007/s11139-013-9528-5 .
• Глассер, ML (1972). «Оценка решеточных сумм. I. Аналитические процедуры». Дж. Математика. Физ . 14 (3): 409. Бибкод : 1973JMP....14..409G . дои : 10.1063/1.1666331 .
• Дж. Спэньер и К.Б. Олдхэм, Атлас функций , (1987) Полушарие, Нью-Йорк.
• Вайсштейн, Эрик В. «Бета-функция Дирихле» . Математический мир .