Карл Йохан Мальмстен

Карл Мальмштейн
Рожденный	Карл Йохан Мальмстен ( 1814-04-09 ) 9 апреля 1814 г. Скара , Швеция
Умер	11 февраля 1886 г. (1886-02-11) (71 год) Уппсала , Швеция
Род занятий	Математик, политик

Карл Йохан Мальмстен (9 апреля 1814, Уддеторп, графство Скара, Швеция — 11 февраля 1886, Уппсала , Швеция) — шведский математик и политик. Он известен ранними исследованиями в теорию функций комплексной переменной , за вычисление нескольких важных логарифмических интегралов и рядов, за исследования в области теории рядов и интегралов, связанных с дзета-функцией, а также за помощь Миттаг-Леффлеру в открытии журнала Acta Mathematica . Мальмстен стал доцентом в 1840 году, а затем профессором математики в Упсальском университете в 1842 году. Он был избран членом Шведской королевской академии наук в 1844 году. Он также был министром без портфеля в 1859–1866 годах и губернатором округа Скараборг. в 1866–1879 гг.

Основные вклады

Обычно Мальмстен известен своими ранними работами по комплексному анализу. Однако он внес большой вклад и в другие разделы математики, но его результаты были незаслуженно забыты, а многие из них ошибочно приписывались другим лицам. Так, сравнительно недавно он был открыт Ярославом Благоушиным. что Мальмстен был первым, кто оценил несколько важных логарифмических интегралов и рядов, которые тесно связаны с гамма- и дзета-функциями и среди которых мы можем найти так называемый интеграл Варди и ряд Куммера для логарифма гамма-функции. В частности, в 1842 г. он вычислил следующие lnln-логарифмические интегралы.

$\int _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\{{\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}}{\sqrt {2\pi \,}}\right\}$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx=\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}{\biggr \}}$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3}]{2\pi }}{\biggr \}}$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \pi }}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=$

$\quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=$

$\qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}$

Подробности и интересный исторический анализ приведены в статье Благоушина. Многие из этих интегралов были позже заново открыты различными исследователями, в том числе Варди, Адамчик, Медина и Молл. Более того, некоторые авторы даже назвали первый из этих интегралов в честь Варди, который провел его переоценку в 1988 году (они называют его интегралом Варди ), как и многие известные интернет-ресурсы, такие как сайт Wolfram MathWorld. или сайт Фонда OEIS (принимая во внимание несомненный приоритет Мальмстена в вычислении такого рода логарифмических интегралов, представляется, что название интегралы Мальмстена для них более подходило бы ).Мальмстен вывел приведенные выше формулы, используя различные представления рядов. В то же время показано, что их можно оценить и методами контурного интегрирования . используя дзета-функцию Гурвица , используя полилогарифмы и с помощью L-функций . Более сложные формы интегралов Мальмстена появляются в работах Адамчика. and Blagouchine (более 70 интегралов). Ниже приведены несколько примеров таких интегралов.

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{3}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}$

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,\mathrm {G} }{\pi }}$

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}$

${\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {x}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{l=1}^{n-1}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n}}\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}\cot {\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2}}\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi }}\sin {\frac {\,m\pi \,}{n}}\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2}}\end{array}}$

${\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sec {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}$

где m и n — положительные целые числа такие, что m < n , G — константа Каталана , ζ — дзета-функция Римана , Ψ — дигамма-функция , а Ψ ₁ — тригамма-функция ; см. соответственно уравнение. (43), (47) и (48) в Адамчике для первых трёх интегралов и упражнений нет. 36-а, 36-б, 11-б и 13-б в Благоучине для последних четырех интегралов соответственно (третий интеграл вычисляется в обеих работах). Любопытно, что некоторые интегралы Мальмстена приводят к гамма- и полигамма-функциям нечасто встречающимся в анализе комплексного аргумента. Например, как показал Ярослав Благоушин,

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi$

или,

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\right)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,\sinh {2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}$

см. упражнения 7-а и 37 соответственно. Кстати, интегралы Мальмстена также оказались тесно связанными с константами Стилтьеса .

В 1842 году Мальмстен также оценил несколько важных логарифмических рядов, среди которых мы можем найти эти два ряда.

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)$

и

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .$

Последняя серия была позже вновь открыта в несколько иной форме Эрнстом Куммером , который вывел аналогичное выражение

${\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}=\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,$

в 1847 году (строго говоря, результат Куммера получается из результата Мальмстена, если положить a=π(2x-1)). Более того, этот ряд даже известен в анализе как ряд Куммера для логарифма гамма -функции , хотя Мальмстен вывел его за 5 лет до Куммера.

Мальсмтен также внес заметный вклад в теорию рядов и интегралов, связанных с дзета-функцией. В 1842 году он доказал следующую важную функциональную связь для L-функции.

$L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},$

а также для М-функции

$M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\sin {\frac {\pi n}{3}}\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},$

где в обеих формулах 0<s<1. Первую из этих формул предложил Леонард Эйлер еще в 1749 году. но именно Мальмстен доказал ее (Эйлер лишь предложил эту формулу и проверил ее для нескольких целых и полуцелых значений s). Любопытно, что та же самая формула для L(s) была неосознанно заново открыта Оскаром Шлёмильхом в 1849 году (доказательство было представлено только в 1858 году). Четыре года спустя Мальмстен вывел еще несколько подобных формул отражения, которые оказались частными случаями функционального уравнения Гурвица .

Говоря о вкладе Мальмстена в теорию дзета-функций, нельзя не упомянуть совсем недавнее открытие им авторства формулы отражения первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональном рассуждении.

$\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}$

где m и n — положительные целые числа такие, что m < n .Это тождество было выведено, хотя и в несколько иной форме, Мальмстеном уже в 1846 г. и также несколько раз независимо открыто различными авторами. В частности, в литературе, посвященной константам Стилтьеса , ее часто приписывают Альмквисту и Меурману, которые вывели ее в 1990-е годы.