Константы Стилтьеса

Площадь синей области сходится к постоянной Эйлера-Машерони , которая является 0-й постоянной Стилтьеса.

В математике являются константами Стилтьеса числа $\gamma _{k}$ которые возникают при в ряд Лорана разложении дзета-функции Римана :

$\zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.$

Константа $\gamma _{0}=\gamma =0.577\dots$ известна как константа Эйлера-Машерони .

Представления

Константы Стилтьеса задаются пределом

$\gamma _{n}=\lim _{m\to \infty }\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-\int _{1}^{m}{\frac {(\ln x)^{n}}{x}}\,dx\right\}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right\}}.$

(В случае n = 0 первое слагаемое требует оценки 0 ⁰ , которое принимается равным 1.)

Формула дифференцирования Коши приводит к интегральному представлению

$\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.$

Различные представления в терминах интегралов и бесконечных рядов даны в работах Йенсена , Франеля, Эрмита , Харди , Рамануджана , Эйнсворта, Хауэлла, Коппо, Коннона, Коффи, Чоя, Благушина и некоторых других авторов. В частности, интегральная формула Йенсена-Франеля, которую часто ошибочно приписывают Эйнсворту и Хауэллу, утверждает, что

$\gamma _{n}={\frac {1}{2}}\delta _{n,0}+{\frac {1}{i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(1-ix))^{n}}{1-ix}}-{\frac {(\ln(1+ix))^{n}}{1+ix}}\right\}\,,\qquad \quad n=0,1,2,\ldots$

где δ _n,k — символ Кронекера (дельта Кронекера) . Среди других формул мы находим

$\gamma _{n}=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(\ln \left({\frac {1}{2}}\pm ix\right)\right)^{n+1}}{\cosh ^{2}\pi x}}\,dx\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n=0,1,2,\ldots$

${\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx\end{array}}$

видеть.

Что касается представлений серий, знаменитый ряд, подразумевающий целую часть логарифма, был предложен Харди в 1912 году.

$\gamma _{1}={\frac {\ln 2}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\lfloor \log _{2}{k}\rfloor \cdot \left(2\log _{2}{k}-\lfloor \log _{2}{2k}\rfloor \right)$

Исраилов дал полусходящиеся ряды по числам Бернулли $B_{2k}$

$\gamma _{m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(\ln k)^{m}}{k}}-{\frac {(\ln n)^{m+1}}{m+1}}-{\frac {(\ln n)^{m}}{2n}}-\sum _{k=1}^{N-1}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2k-1)}-\theta \cdot {\frac {B_{2N}}{(2N)!}}\left[{\frac {(\ln x)^{m}}{x}}\right]_{x=n}^{(2N-1)}\,,\qquad 0<\theta <1$

Коннон, Blagouchine и Коппо дал несколько рядов с биномиальными коэффициентами

${\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(\ln(k+1))^{m+1}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+2}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m+1}}{k+1}}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(\ln(k+2))^{m+1}\\[7mm]\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{n=0}^{\infty }\left|G_{n+1}\right|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}}\end{array}}$

где G _n — коэффициенты Грегори , также известные как обратные логарифмические числа ( G ₁ =+1/2, G ₂ = −1/12, G ₃ = +1/24, G ₄ = −19/720,...) . Более общие серии того же характера включают эти примеры.

$\gamma _{m}=-{\frac {(\ln(1+a))^{m+1}}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}},\quad \Re (a)>-1$

и

$\gamma _{m}=-{\frac {1}{r(m+1)}}\sum _{l=0}^{r-1}(\ln(1+a+l))^{m+1}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}},\quad \Re (a)>-1,\;r=1,2,3,\ldots$

или

$\gamma _{m}=-{\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}+a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,1+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {(\ln(k+1))^{m}}{k+1}}\right\},\quad \Re (a)>-1$

где ψ _n ( a ) — полиномы Бернулли второго рода , а N _n,r ( a ) — полиномы, заданные порождающим уравнением

${\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,$

соответственно (заметим, что N _n,1 ( a ) = ψ _n ( a ) ). Олоа и Таурасо показал, что ряды с номерами гармоник могут привести к константам Стилтьеса

${\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}-(\gamma +\ln n)}{n}}=-\gamma _{1}-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}+{\frac {1}{12}}\pi ^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}-(\gamma +\ln n)^{2}}{n}}=-\gamma _{2}-2\gamma \gamma _{1}-{\frac {2}{3}}\gamma ^{3}+{\frac {5}{3}}\zeta (3)\end{array}}$

Blagouchine получены медленно сходящиеся ряды, включающие беззнаковые числа Стирлинга первого рода $\left[{\cdot \atop \cdot }\right]$

$\gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+{\frac {(-1)^{m}m!}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}\cdot \left[{2k+2 \atop m+1}\right]\cdot \left[{n \atop 2k+1}\right]}{(2\pi )^{2k+1}}}\,,\qquad m=0,1,2,...,$

а также полусходящиеся ряды только с рациональными членами

$\gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+(-1)^{m}m!\cdot \sum _{k=1}^{N}{\frac {\left[{2k \atop m+1}\right]\cdot B_{2k}}{(2k)!}}+\theta \cdot {\frac {(-1)^{m}m!\cdot \left[{2N+2 \atop m+1}\right]\cdot B_{2N+2}}{(2N+2)!}},\qquad 0<\theta <1,$

где m =0,1,2,... В частности, ряд для первой константы Стилтьеса имеет удивительно простой вид

$\gamma _{1}=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}\cdot H_{2k-1}}{k}}+\theta \cdot {\frac {B_{2N+2}\cdot H_{2N+1}}{2N+2}},\qquad 0<\theta <1,$

где H _n — n-й гармоники номер . Более сложные ряды для констант Стилтьеса приведены в работах Лемера, Ляна, Тодда, Лаврика, Исраилова, Станкуса, Кейпера, Нан-Ю, Уильямса, Коффи.

асимптотический

Константы Стилтьеса удовлетворяют оценке

$|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}$

данное Берндтом в 1972 году. Лучшие оценки в терминах элементарных функций были получены Лавриком.

$|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!}{2^{n+1}}},\qquad n=1,2,3,\ldots$

by Israilov

$|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!C(k)}{(2k)^{n}}},\qquad n=1,2,3,\ldots$

с k =1,2,... и C (1)=1/2, C (2)=7/12,..., авторы Нан-Ю и Уильямс

$|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[4mm]\displaystyle {\frac {4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}$

by Blagouchine

${\begin{array}{ll}\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}}<\gamma _{m}<{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}{B}_{m+3}{\big |}}{24}}-{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=1,5,9,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}B_{m+1}{\big |}}{m+1}}-{\frac {(3m+8)\cdot {\big |}B_{m+3}{\big |}}{24}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+1}{\big |}}{m+1}},&m=3,7,11,\ldots \\[12pt]\displaystyle -{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}<\gamma _{m}<{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}-{\frac {{\big |}B_{m+2}{\big |}}{2}},\qquad &m=2,6,10,\ldots \\[12pt]\displaystyle {\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}}-{\frac {(m+3)(m+4)\cdot {\big |}{B}_{m+4}{\big |}}{48}}<\gamma _{m}<{\frac {{\big |}{B}_{m+2}{\big |}}{2}},&m=4,8,12,\ldots \\\end{array}}$

где B _n — числа Бернулли , а Мацуока

$|\gamma _{n}|<10^{-4}e^{n\ln \ln n}\,,\qquad n=5,6,7,\ldots$

Что касается оценок с использованием неэлементарных функций и решений, Кнесль, Коффи и Феких-Ахмед получил вполне точные результаты. Например, Кнесл и Коффи дают следующую формулу, которая относительно хорошо аппроксимирует константы Стилтьеса для больших n . Если v — единственное решение

$2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}$

с $0<v<\pi /2$, и если $u=v\tan v$, затем

$\gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)$

где

$A={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+v^{2})-{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}$

$B={\frac {2{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{[(u+1)^{2}+v^{2}]^{1/4}}}$

$a=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)+{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}$

$b=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{u+1}}\right).$

До n = 100000 приближение Кнесля-Коффи правильно предсказывает знак γ _n , за единственным исключением n = 137.

В 2022 году К. Масланка дал асимптотическое выражение для констант Стилтьеса, которое одновременно проще и точнее известных ранее. В частности, он с относительно небольшой погрешностью воспроизводит проблемное значение для n = 137.

А именно, когда $n>>1$

$\gamma _{n}\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}n!\mathrm {Re} {\frac {\Gamma \left(s_{n}\right)e^{-cs_{n}}}{\left(s_{n}\right)^{n}{\sqrt {n+s_{n}+{\frac {3}{2}}}}}}$

где $s_{n}$ являются седловыми точками:

$s_{n}={\frac {n+{\frac {3}{2}}}{W\left(\pm {\frac {n+{\frac {3}{2}}}{2\pi i}}\right)}}$

$W$ - функция Ламберта и $c$ является константой:

$c=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}i$

Определение сложной «фазы» $\varphi _{n}$

$\varphi _{n}\equiv {\frac {1}{2}}\ln(8\pi )-n+(n+{\frac {1}{2}})\ln(n)+(s_{n}-n-{\frac {1}{2}})\ln \left(s_{n}\right)-{\frac {1}{2}}\ln \left(n+s_{n}\right)-(c+1)s_{n}$

мы получаем особенно простое выражение, в котором как быстро растущие отчетливо видны амплитуда и колебания:

$\gamma _{n}\sim \mathrm {Re} \left[e^{\varphi _{n}}\right]=e^{\mathrm {Re} \varphi _{n}}\cos \left(\mathrm {Im} \varphi _{n}\right)$

Числовые значения

Первые несколько значений

н	приблизительное значение γ n	ОЭИС
0	+0.5772156649015328606065120900824024310421593359	А001620
1	−0.0728158454836767248605863758749013191377363383	А082633
2	−0.0096903631928723184845303860352125293590658061	А086279
3	+0.0020538344203033458661600465427533842857158044	А086280
4	+0.0023253700654673000574681701775260680009044694	А086281
5	+0.0007933238173010627017533348774444448307315394	А086282
6	−0.0002387693454301996098724218419080042777837151	А183141
7	−0.0005272895670577510460740975054788582819962534	А183167
8	−0.0003521233538030395096020521650012087417291805	А183206
9	−0.0000343947744180880481779146237982273906207895	А184853
10	+0.0002053328149090647946837222892370653029598537	А184854
100	−4.2534015717080269623144385197278358247028931053 × 10 17
1000	−1.5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10 486
10000	−2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 10 6883
100000	+1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 10 83432

При больших n константы Стилтьеса быстро растут по абсолютной величине и меняют знаки сложным образом.

Дополнительную информацию, связанную с численной оценкой констант Стилтьеса, можно найти в работах Кейпера. Креминский, Плуф, Йоханссон and Blagouchine. Во-первых, Йоханссон предоставил значения констант Стилтьеса до n = 100 000 с точностью более 10 000 цифр каждое (числовые значения можно получить из LMFDB [1]) . Позже Йоханссон и Благушин разработали особенно эффективный алгоритм вычисления обобщенных констант Стилтьеса. (см. ниже) для больших n и комплексных a , что также можно использовать для обычных констант Стилтьеса. В частности, он позволяет вычислить γ _n до 1000 цифр за минуту для любого n до n =10. ¹⁰⁰ .

константы

Общая информация

В более общем смысле можно определить константы Стилтьеса γ _n (a), которые встречаются в в ряд Лорана разложении дзета-функции Гурвица :

$\zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.$

Здесь a — комплексное число с Re( a )>0. Поскольку дзета-функция Гурвица является обобщением дзета-функции Римана, имеем γ _n (1)=γ _n. Нулевая константа — это просто дигамма-функция γ ₀ (a)=-Ψ(a), в то время как другие константы, как известно, не могут быть сведены к какой-либо элементарной или классической функции анализа. Тем не менее, для них существует множество представлений. Например, существует следующее асимптотическое представление

$\gamma _{n}(a)=\lim _{m\to \infty }\left\{\sum _{k=0}^{m}{\frac {(\ln(k+a))^{n}}{k+a}}-{\frac {(\ln(m+a))^{n+1}}{n+1}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}$

благодаря Берндту и Уилтону. Аналогом формулы Йенсена-Франеля для обобщенной постоянной Стилтьеса является Эрмита формула

$\gamma _{n}(a)=\left[{\frac {1}{2a}}-{\frac {\ln {a}}{n+1}}\right](\ln a)^{n}-i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(a-ix))^{n}}{a-ix}}-{\frac {(\ln(a+ix))^{n}}{a+ix}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>0\end{array}}$

Подобные представления даются следующими формулами:

$\gamma _{n}(a)=-{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}){\big )}^{n+1}}{n+1}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}+1}}\left\{{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}-ix){\big )}^{n}}{a-{\frac {1}{2}}-ix}}-{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}+ix){\big )}^{n}}{a-{\frac {1}{2}}+ix}}\right\},\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>{\frac {1}{2}}\end{array}}$

и

$\gamma _{n}(a)=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}-ix){\big )}^{n+1}+{\big (}\ln(a-{\frac {1}{2}}+ix){\big )}^{n+1}}{{\big (}\cosh(\pi x){\big )}^{2}}}\,dx,\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]\Re (a)>{\frac {1}{2}}\end{array}}$

Обобщенные константы Стилтьеса удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению

$\gamma _{n}(a+1)=\gamma _{n}(a)-{\frac {(\ln a)^{n}}{a}}\,,\qquad {\begin{array}{l}n=0,1,2,\ldots \\[1mm]a\neq 0,-1,-2,\ldots \end{array}}$

а также теорема умножения

$\sum _{l=0}^{n-1}\gamma _{p}\left(a+{\frac {l}{n}}\right)=(-1)^{p}n\left[{\frac {\ln n}{p+1}}-\Psi (an)\right](\ln n)^{p}+n\sum _{r=0}^{p-1}(-1)^{r}{\binom {p}{r}}\gamma _{p-r}(an)\cdot (\ln n)^{r}\,,\qquad \qquad n=2,3,4,\ldots$

где ${\binom {p}{r}}$ обозначает биномиальный коэффициент (см. и, стр. 101–102).

константа

Первая обобщенная константа Стилтьеса обладает рядом замечательных свойств.

• Тождество Мальмстена (формула отражения для первых обобщенных констант Стилтьеса): формула отражения для первой обобщенной константы Стилтьеса имеет следующий вид

$\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}$

где m и n — положительные целые числа такие, что m < n . Эту формулу долгое время приписывали Альмквисту и Меурману, которые вывели ее в 1990-х годах. Однако недавно сообщалось, что это тождество, хотя и в несколько иной форме, впервые было получено Карлом Мальмстеном в 1846 году.

• Теорема о рациональных аргументах: первая обобщенная константа Стилтьеса при рациональном аргументе может быть оценена в квазизамкнутой форме с помощью следующей формулы

${\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+\gamma ^{2}+\gamma \ln 2\pi m+\ln 2\pi \cdot \ln {m}+{\frac {1}{2}}(\ln m)^{2}+(\gamma +\ln 2\pi m)\cdot \Psi \left({\frac {r}{m}}\right)\\[5mm]\displaystyle &\displaystyle \qquad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\end{array}}\,,\qquad \quad r=1,2,3,\ldots ,m-1\,.$

see Blagouchine. Альтернативное доказательство было позже предложено Коффи. и ряд других авторов.

• Конечные суммирования: существует множество формул суммирования для первых обобщенных констант Стилтьеса. Например,

${\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\gamma _{1}\left(a+{\frac {r}{m}}\right)=m\ln {m}\cdot \Psi (am)-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}+m\gamma _{1}(am)\,,\qquad a\in \mathbb {C} \\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{2m}}{\biggr )}=-\gamma _{1}+m(2\gamma +\ln 2+2\ln m)\ln 2\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=0}^{2m-1}(-1)^{r}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {2r+1}{4m}}{\biggr )}=m\left\{4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}-\pi {\big (}4\ln 2+3\ln \pi +\ln m+\gamma {\big )}\right\}\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=-\gamma _{1}+m(\gamma +\ln 2\pi m)\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+{\frac {m}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta ''\left(0,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(\gamma +\ln 2\pi m)(2k-m)-{\frac {\pi m}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {k\pi }{m}}\right\}+m\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {k}{m}}{\biggr )}\,,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=\displaystyle {\frac {\pi }{6}}{\Big \{}(1-m)(m-2)\gamma +2(m^{2}-1)\ln 2\pi -(m^{2}+2)\ln {m}{\Big \}}-2\pi \sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \ln \Gamma \left({\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}={\frac {1}{2}}\left\{(m-1)\gamma _{1}-m\gamma \ln {m}-{\frac {m}{2}}(\ln m)^{2}\right\}-{\frac {\pi }{2m}}(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \cot {\frac {\pi l}{m}}-{\frac {\pi }{2}}\sum _{l=1}^{m-1}\cot {\frac {\pi l}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}\end{array}}$

Более подробную информацию и дальнейшие формулы суммирования см.

• Некоторые частные значения: некоторые частные значения первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах могут быть сведены к гамма-функции , первой константе Стилтьеса и элементарным функциям. Например,

$\gamma _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=-2\gamma \ln 2-(\ln 2)^{2}+\gamma _{1}=-1.353459680\ldots$

В точках 1/4, 3/4 и 1/3 значения первых обобщенных констант Стилтьеса были независимо получены Конноном. and Blagouchine

${\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)-{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma +2\pi )\ln 2-{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-5.518076350\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=-2\pi \ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {3\pi }{2}}\ln \pi -{\frac {7}{2}}(\ln 2)^{2}-(3\gamma -2\pi )\ln 2+{\frac {\gamma \pi }{2}}+\gamma _{1}=-0.3912989024\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-3.259557515\ldots \end{array}}$

В точках 2/3, 1/6 и 5/6.

${\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {2}{3}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}+\gamma _{1}=-0.5989062842\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2+{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[5mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad -{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-10.74258252\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {5}{6}}\right)=-{\frac {3\gamma }{2}}\ln 3-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}-(\ln 2)^{2}-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2-{\frac {3\pi {\sqrt {3}}}{2}}\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\\[6mm]\displaystyle \qquad \qquad \quad +{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\left\{3\ln 3+11\ln 2+{\frac {15}{2}}\ln \pi +3\gamma \right\}+\gamma _{1}=-0.2461690038\ldots \end{array}}$

Эти значения были рассчитаны Благушиным. Этому же автору принадлежат и

${\begin{array}{ll}\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{5}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {4}{5}}\right)\right\}+{\frac {\pi {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{5}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {2}{5}}{\biggr )}+\left\{{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {2}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {5}}{\big )}-{\frac {5}{4}}\ln 5-{\frac {\pi {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left\{\ln 2+\ln 5+\ln \pi +{\frac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{10}}\right\}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {5}})+{\frac {\sqrt {5}}{2}}(\ln 2)^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}{\big (}1-{\sqrt {5}}{\big )}}{8}}(\ln 5)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {5}}}{4}}\ln 2\cdot \ln 5+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln 2\cdot \ln \pi +{\frac {\sqrt {5}}{4}}\ln 5\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}2{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}+5{\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{20}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {\pi {\big (}4{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{\big )}}{40}}\ln 5-{\frac {\pi {\big (}5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{\big )}}{10}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-8.030205511\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {2}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{8}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {7}{8}}\right)\right\}+2\pi {\sqrt {2}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{8}}{\biggr )}-\pi {\sqrt {2}}{\big (}1-{\sqrt {2}}{\big )}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi +4\ln {2}+{\sqrt {2}}\ln {\big (}1+{\sqrt {2}}{\big )}\right\}\cdot \gamma -{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}\pi +8\ln 2+2\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {2}})\\[5mm]&\displaystyle -{\frac {7{\big (}4-{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}(\ln 2)^{2}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}10+11{\sqrt {2}}{\big )}}{4}}\ln 2-{\frac {\pi {\big (}3+2{\sqrt {2}}{\big )}}{2}}\ln \pi \\[5mm]&\displaystyle =-16.64171976\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {1}{12}}{\biggr )}=&\displaystyle \gamma _{1}+{\sqrt {3}}\left\{\zeta ''\left(0,{\frac {1}{12}}\right)+\zeta ''\left(0,{\frac {11}{12}}\right)\right\}+4\pi \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}+3\pi {\sqrt {3}}\ln \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}\\[5mm]&\displaystyle -\left\{{\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}\pi +{\frac {3}{2}}\ln 3-{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})\ln {2}+2{\sqrt {3}}\ln {\big (}1+{\sqrt {3}}{\big )}\right\}\cdot \gamma \\[5mm]&\displaystyle -2{\sqrt {3}}{\big (}3\ln 2+\ln 3+\ln \pi {\big )}\cdot \ln {\big (}1+{\sqrt {3}})-{\frac {7-6{\sqrt {3}}}{2}}(\ln 2)^{2}-{\frac {3}{4}}(\ln 3)^{2}\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {3}})}{2}}\ln 3\cdot \ln 2+{\sqrt {3}}\ln 2\cdot \ln \pi -{\frac {\pi {\big (}17+8{\sqrt {3}}{\big )}}{2{\sqrt {3}}}}\ln 2\\[5mm]&\displaystyle +{\frac {\pi {\big (}1-{\sqrt {3}}{\big )}{\sqrt {3}}}{4}}\ln 3-\pi {\sqrt {3}}(2+{\sqrt {3}})\ln \pi =-29.84287823\ldots \end{array}}$

Вторая

Вторая обобщенная константа Стилтьеса гораздо менее изучена, чем первая. Подобно первой обобщенной константе Стилтьеса, вторую обобщенную константу Стилтьеса при рациональном аргументе можно оценить по следующей формуле

${\begin{array}{rl}\displaystyle \gamma _{2}{\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}=\gamma _{2}+{\frac {2}{3}}\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta '''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\cos {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)\\[6mm]\displaystyle \quad +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \zeta ''\left(0,{\frac {l}{m}}\right)-2\pi (\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\sin {\frac {2\pi rl}{m}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{m}}{\biggr )}-2\gamma _{1}\ln {m}\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma ^{3}-\left[(\gamma +\ln 2\pi m)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]\cdot \Psi {\biggl (}{\frac {r}{m}}{\biggr )}+{\frac {\pi ^{3}}{12}}\cot {\frac {\pi r}{m}}-\gamma ^{2}\ln {\big (}4\pi ^{2}m^{3}{\big )}+{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\gamma +\ln {m})\\[6mm]\displaystyle \quad -\gamma {\big (}(\ln 2\pi )^{2}+4\ln m\cdot \ln 2\pi +2(\ln m)^{2}{\big )}-\left\{(\ln 2\pi )^{2}+2\ln 2\pi \cdot \ln m+{\frac {2}{3}}(\ln m)^{2}\right\}\ln m\end{array}}\,,\qquad \quad r=1,2,3,\ldots ,m-1.$

see Blagouchine. Аналогичный результат был позже получен Коффи другим методом.