Полиномы Бернулли второго рода

Полиномы Бернулли второго рода ψ _n ( x ) , также известные как полиномы Фонтаны–Бесселя , являются полиномами, определяемыми следующей производящей функцией: $${\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(x),\qquad |z|<1.$$

Первые пять полиномов: $${\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=1\\[2mm]\psi _{1}(x)&=x+{\frac {1}{2}}\\[2mm]\psi _{2}(x)&={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{12}}\\[2mm]\psi _{3}(x)&={\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{24}}\\[2mm]\psi _{4}(x)&={\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {19}{720}}\end{aligned}}$$

Некоторые авторы определяют эти полиномы несколько иначе. $${\frac {z\left(1+z\right)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\psi _{n}^{*}(x),\qquad |z|<1,$$так что $\psi _{n}^{*}(x)=\psi _{n}(x)\,n!$а также может использовать для них другое обозначение (наиболее используемое альтернативное обозначение — b _n ( x ) ). Согласно этому соглашению, полиномы образуют последовательность Шеффера .

Полиномы Бернулли второго рода в основном изучал венгерский математик Чарльз Джордан. но их историю можно проследить и до гораздо более ранних работ.

Интегральные представления

Полиномы Бернулли второго рода можно представить через эти интегралы $$\psi _{n}(x)=\int _{x}^{x+1}\!{\binom {u}{n}}\,du=\int _{0}^{1}{\binom {x+u}{n}}\,du$$а также $${\begin{aligned}\psi _{n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-\sin \pi x\ln z}{(1+z)^{n}}}\cdot {\frac {z^{x}dz}{\ln ^{2}z+\pi ^{2}}},\qquad -1\leq x\leq n-1\,\\[3mm]\psi _{n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-v\sin \pi x}{\left(1+e^{v}\right)^{n}}}\cdot {\frac {e^{v(x+1)}}{v^{2}+\pi ^{2}}}\,dv,\qquad -1\leq x\leq n-1\,\end{aligned}}$$

Таким образом, эти полиномы с точностью до константы являются первообразной биномиального коэффициента , а также первообразной падающего факториала .

Явная формула

Для произвольного n эти полиномы могут быть вычислены явно с помощью следующей формулы суммирования $$\psi _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{l=0}^{n-1}{\frac {s(n-1,l)}{l+1}}x^{l+1}+G_{n},\qquad n=1,2,3,\ldots$$где s ( n , l ) — знаковые числа Стирлинга первого рода , а Gn _— коэффициенты Грегори .

Разложение полиномов Бернулли второго рода в ряд Ньютона имеет вид $$\psi _{n}(x)=G_{0}{\binom {x}{n}}+G_{1}{\binom {x}{n-1}}+G_{2}{\binom {x}{n-2}}+\ldots +G_{n}$$Это можно показать, используя второе интегральное представление и тождество Вандермонда .

Формула повторения

Полиномы Бернулли второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению $$\psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)$$или эквивалентно $$\Delta \psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)$$

Повторяющаяся разница дает $$\Delta ^{m}\psi _{n}(x)=\psi _{n-m}(x)$$

Свойство симметрии

Основное свойство симметрии гласит: $$\psi _{n}{\left({\tfrac {1}{2}}n-1+x\right)}=\left(-1\right)^{n}\psi _{n}{\left({\tfrac {1}{2}}n-1-x\right)}$$

Некоторые дополнительные свойства и конкретные значения

Некоторые свойства и конкретные значения этих полиномов включают: $${\begin{aligned}&\psi _{n}(0)=G_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(1)=G_{n-1}+G_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(-1)=\left(-1\right)^{n+1}\sum _{m=0}^{n}\left|G_{m}\right|=\left(-1\right)^{n}C_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(n-2)=-\left|G_{n}\right|\\[2mm]&\psi _{n}(n-1)=\left(-1\right)^{n}\psi _{n}(-1)=1-\sum _{m=1}^{n}\left|G_{m}\right|\\[2mm]&\psi _{2n}(n-1)=M_{2n}\\[2mm]&\psi _{2n}(n-1+y)=\psi _{2n}(n-1-y)\\[2mm]&\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}+y)=-\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}-y)\\[2mm]&\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}})=0\end{aligned}}$$где Cn _— числа Коши второго рода , а Mn _— коэффициенты центральной разности .

Некоторые ряды по полиномам Бернулли второго рода

Дигамма -функция Ψ( x ) может быть разложена в ряд с полиномами Бернулли второго родаследующим образом $$\Psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,$$и, следовательно, $$\gamma =-\ln(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1$$и $$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}\left\{\psi _{n}(a)+\psi _{n}\left(-{\frac {a}{1+a}}\right)\right\},\quad a>-1$$где γ — постоянная Эйлера . Кроме того, у нас также есть $$\Psi (v)={\frac {1}{v+a-{\frac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}\left(n-1\right)!\right\},\quad \Re (v)>-a,$$где Γ( x ) — гамма-функция . Дзета-функции Гурвица : и Римана можно разложить в эти полиномы следующим образом $$\zeta (s,v)={\frac {(v+a)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}$$и $$\zeta (s)={\frac {(a+1)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}$$а также $$\zeta (s)=1+{\frac {(a+2)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s}$$

Полиномы Бернулли второго рода также участвуют в следующем соотношении $${\big (}v+a-{\tfrac {1}{2}}{\big )}\zeta (s,v)=-{\frac {\zeta (s-1,v+a)}{s-1}}+\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}$$между дзета-функциями, а также в различных формулах для констант Стилтьеса , например $$\gamma _{m}(v)=-{\frac {\ln ^{m+1}(v+a)}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}$$и $$\gamma _{m}(v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}-v-a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,v+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0,v)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}\right\}$$которые оба действительны для $\Re (a)>-1$ и $v\in \mathbb {C} \setminus \!\{0,-1,-2,\ldots \}$.

См. также

• Полиномы Бернулли
• Полиномы Стирлинга
• Коэффициенты Грегори
• Числа Бернулли
• Разностные полиномы
• Число Поли-Бернулли
• Полиномы Миттаг-Леффлера