Число Поли-Бернулли

В математике обозначаются поли-числа Бернулли как $B_{n}^{(k)}$ , были определены М. Канеко как

{Li_{k}(1-e^{-x}) \over 1-e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{(k)}{x^{n} \over n!}

где Li — полилогарифм . $B_{n}^{(1)}$ — обычные числа Бернулли .

Более того, обобщение чисел Поли-Бернулли с параметрами a, b, c определяется следующим образом:

{Li_{k}(1-(ab)^{-x}) \over b^{x}-a^{-x}}c^{xt}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{(k)}(t;a,b,c){x^{n} \over n!}

где Li — полилогарифм .

Канеко также дал две комбинаторные формулы:

B_{n}^{(-k)}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m+n}m!S(n,m)(m+1)^{k},

B_{n}^{(-k)}=\sum _{j=0}^{\min(n,k)}(j!)^{2}S(n+1,j+1)S(k+1,j+1),

где $S(n,k)$ это количество способов разделить размер $n$ вставить в $k$ непустые подмножества ( число Стирлинга второго рода ).

Комбинаторная интерпретация состоит в том, что поличисла Бернулли отрицательного индекса нумеруют множество $n$ к $k$ (0,1)-матрицы , однозначно восстанавливаемые по суммам строк и столбцов. Также это количество открытых ходов смещенной ладьей на доске. $\underbrace {1\cdots 1} _{n}\underbrace {0\cdots 0} _{k}$ (определение см. в A329718 ).

Число Поли-Бернулли $B_{k}^{(-k)}$ удовлетворяет следующей асимптотике: ^[1]

$B_{k}^{(-k)}\sim (k!)^{2}{\sqrt {\frac {1}{k\pi (1-\log 2)}}}\left({\frac {1}{\log 2}}\right)^{2k+1},\quad {\text{as }}k\rightarrow \infty .$

Для положительного целого числа n и простого числа p числа полибернулли удовлетворяют условиям

B_{n}^{(-p)}\equiv 2^{n}{\pmod {p}},

которую можно рассматривать как аналог малой теоремы Ферма . Далее, уравнение

B_{x}^{(-n)}+B_{y}^{(-n)}=B_{z}^{(-n)}

не имеет решения для целых чисел x , y , z , n > 2; аналог Великой теоремы Ферма .Более того, существует аналог чисел Поли-Бернулли (например, чисел Бернулли и чисел Эйлера), который известен как числа Поли-Эйлера .

См. также

Ссылки

^ Кера, Дж.; Лундберг, Э.; Мельцер, С. (2021), «Асимптотическое перечисление матриц одиночной суммы» , «Достижения в области прикладной математики » , 123 (4): 102118, arXiv : 1912.08850 , doi : 10.1016/j.aam.2020.102118 , S2CID 209414619 .

Аракава, Цунео; Канеко, Масанобу (1999a), «Множественные значения дзета, поли-числа Бернулли и связанные с ними дзета-функции» , Nagoya Mathematical Journal , 153 : 189–209, doi : 10.1017/S0027763000006954 , hdl : 2324/20424 , MR 16845 57 , S2CID 53476063 .
Аракава, Цунео; Канеко, Масанобу (1999b), «О поличислах Бернулли», Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 48 (2): 159–167, MR 1713681
Брюбейкер, Чад (2008), «Комбинаторная интерпретация поличисла Бернулли и двух аналогов Ферма» , Целые числа , 8 : A02, 9, MR 2373086 .
Хамахата, Ю.; Масубучи, Х. (2007), «Специальные мультиполи-числа Бернулли», Журнал целочисленных последовательностей , 10 (4), статья 07.4.1, Бибкод : 2007JIntS..10...41H , MR 2304359 .
Канеко, Масанобу (1997), «Числа Поли-Бернулли» , Бордоский журнал теории чисел , 9 (1): 221–228, doi : 10.5802/jtnb.197 , hdl : 2324/21658 , MR 1469669 .

[1] Кера, Дж.; Лундберг, Э.; Мельцер, С. (2021), «Асимптотическое перечисление матриц одиночной суммы» , «Достижения в области прикладной математики » , 123 (4): 102118, arXiv : 1912.08850 , doi : 10.1016/j.aam.2020.102118 , S2CID 209414619 .

[1]