Полиномы Стирлинга

В математике полиномы Стирлинга — семейство полиномов , обобщающих важные последовательности чисел, встречающиеся в комбинаторике и анализе , которые тесно связаны с числами Стирлинга , числами Бернулли и обобщенными полиномами Бернулли . Существует несколько вариантов полиномиальной последовательности Стирлинга , рассматриваемых ниже, в первую очередь включая форму последовательности Шеффера , $S_{k}(x)$, определяемый характерным образом через специальную форму его экспоненциальной производящей функции, и полиномы Стирлинга (свертки) , $\sigma _{n}(x)$, которые также удовлетворяют характерной обычной производящей функции и используются при обобщении чисел Стирлинга (оба вида) на произвольные комплексные входные данные. Мы рассматриваем « полиномиальной свертки второй в последнем подразделе статьи вариант » этой последовательности и его свойства. Другие варианты полиномов Стирлинга изучаются в дополнительных ссылках на статьи, приведенные в библиографии.

Определение и примеры

Для неотрицательных целых чисел k полиномы Стирлинга S _k ( x ) являются последовательностью Шеффера для $(g(t),{\bar {f}}(t)):=\left(e^{-t},\log \left({\frac {t}{1-e^{-t}}}\right)\right)$ определяется экспоненциальной производящей функцией

$\left({t \over {1-e^{-t}}}\right)^{x+1}=\sum _{k=0}^{\infty }S_{k}(x){t^{k} \over k!}.$

Полиномы Стирлинга являются частным случаем полиномов Норлунда (или обобщенных полиномов Бернулли ). каждый с экспоненциальной производящей функцией

$\left({t \over {e^{t}-1}}\right)^{a}e^{zt}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}^{(a)}(z){t^{k} \over k!},$

заданное соотношением $S_{k}(x)=B_{k}^{(x+1)}(x+1)$.

Первые 10 полиномов Стирлинга приведены в следующей таблице:

к	С к ( х )
0	$1$
1	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x+1)$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{12}}}(3x^{2}+5x+2)$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{8}}}(x^{3}+2x^{2}+x)$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{240}}}(15x^{4}+30x^{3}+5x^{2}-18x-8)$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{96}}}(3x^{5}+5x^{4}-5x^{3}-13x^{2}-6x)$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{4032}}}(63x^{6}+63x^{5}-315x^{4}-539x^{3}-84x^{2}+236x+96)$
7	${\scriptstyle {\frac {1}{1152}}}(9x^{7}-84x^{5}-98x^{4}+91x^{3}+194x^{2}+80x)$
8	${\scriptstyle {\frac {1}{34560}}}(135x^{8}-180x^{7}-1890x^{6}-840x^{5}+6055x^{4}+8140x^{3}+884x^{2}-3088x-1152)$
9	${\scriptstyle {\frac {1}{7680}}}(15x^{9}-45x^{8}-270x^{7}+182x^{6}+1687x^{5}+1395x^{4}-1576x^{3}-2684x^{2}-1008x)$

Еще один вариант полиномов Стирлинга рассмотрен в (см. также подраздел о полиномах свертки Стирлинга ниже). В частности, в статье И. Гесселя и Р. П. Стэнли определяются модифицированные полиномиальные последовательности Стирлинга: $f_{k}(n):=S(n+k,n)$ и $g_{k}(n):=c(n,n-k)$ где $c(n,k):=(-1)^{n-k}s(n,k)$ — беззнаковые числа Стирлинга первого рода в терминах двух треугольников чисел Стирлинга для неотрицательных целых чисел. $n\geq 1,\ k\geq 0$. Для фиксированного $k\geq 0$, оба $f_{k}(n)$ и $g_{k}(n)$ являются полиномами от входа $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ каждый степени $2k$ и со старшим коэффициентом, заданным двойным факториалом $(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1))/(2k)!$.

Характеристики

Ниже $B_{k}(x)$ обозначают полиномы Бернулли и $B_{k}=B_{k}(0)$ числа Бернулли согласно конвенции $B_{1}=B_{1}(0)=-{\tfrac {1}{2}};$ $s_{m,n}$ обозначает число Стирлинга первого рода ; и $S_{m,n}$ обозначает числа Стирлинга второго рода .

• Особые значения: $${\begin{aligned}S_{k}(-m)&={\frac {(-1)^{k}}{k+m-1 \choose k}}S_{k+m-1,m-1}&&0<m\in \mathbb {Z} \\[6pt]S_{k}(-1)&=\delta _{k,0}\\[6pt]S_{k}(0)&=(-1)^{k}B_{k}\\[6pt]S_{k}(1)&=(-1)^{k+1}((k-1)B_{k}+kB_{k-1})\\[6pt]S_{k}(2)&={\tfrac {(-1)^{k}}{2}}((k-1)(k-2)B_{k}+3k(k-2)B_{k-1}+2k(k-1)B_{k-2})\\[6pt]S_{k}(k)&=k!\\[6pt]\end{aligned}}$$
• Если $m\in \mathbb {N}$ и $m<k$ затем: $$S_{k}(m)={(m+1)}{\binom {k}{m+1}}\sum _{j=0}^{m}(-1)^{m-j}s_{m+1,m+1-j}{\frac {B_{k-j}}{k-j}}.$$
• Если $m\in \mathbb {N}$ и $m\geq k$ затем: $$S_{k}(m)=(-1)^{k}B_{k}^{(m+1)}(0),$$ и: $$S_{k}(m)={(-1)^{k} \over {m \choose k}}s_{m+1,m+1-k}.$$

• Последовательность $S_{k}(x-1)$ имеет биномиальный тип , так как $$S_{k}(x+y-1)=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}S_{i}(x-1)S_{k-i}(y-1).$$ Более того, эта базовая рекурсия имеет место: $$S_{k}(x)=(x-k){S_{k}(x-1) \over x}+kS_{k-1}(x+1).$$
• Явные представления, включающие числа Стирлинга, можно вывести с помощью интерполяционной формулы Лагранжа : $${\begin{aligned}S_{k}(x)&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{k-n}S_{k+n,n}{{x+n \choose n}{x+k+1 \choose k-n} \over {k+n \choose n}}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}s_{k+n+1,n+1}{{x-k \choose n}{x-k-n-1 \choose k-n} \over {k+n \choose k}}\\[6pt]&=k!\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\sum _{m=j}^{k}{x+m \choose m}{m \choose j}L_{k+m}^{(-k-j)}(-j)\\[6pt]\end{aligned}}$$ Здесь, $L_{n}^{(\alpha )}$ являются полиномами Лагерра .
• Также имеют место следующие соотношения: $${k+m \choose k}S_{k}(x-m)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k+m \choose i}S_{k-i+m,m}\cdot S_{i}(x),$$ $${k-m \choose k}S_{k}(x+m)=\sum _{i=0}^{k}{k-m \choose i}s_{m,m-k+i}\cdot S_{i}(x).$$
• Дифференцируя производящую функцию, легко получить, что $$S_{k}^{\prime }(x)=-\sum _{j=0}^{k-1}{k \choose j}S_{j}(x){\frac {B_{k-j}}{k-j}}.$$

Полиномы свертки Стирлинга

Определение и примеры

Другой вариант последовательности полиномов Стирлинга соответствует частному случаю полиномов свертки, изученных в статье Кнута. и в справочнике по конкретной математике . Сначала мы определим эти полиномы через числа Стирлинга первого рода как

$\sigma _{n}(x)=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]\cdot {\frac {1}{x(x-1)\cdots (x-n)}}.$

Отсюда следует, что эти полиномы удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, заданному формулой

$(x+1)\sigma _{n}(x+1)=(x-n)\sigma _{n}(x)+x\sigma _{n-1}(x),\ n\geq 1.$

Эти полиномы « свертки » Стирлинга можно использовать для определения чисел Стирлинга. $\scriptstyle {\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]}$ и $\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right\}}$, для целых чисел $n\geq 0$ и произвольные комплексные значения $x$.В следующей таблице представлены несколько особых случаев этих полиномов Стирлинга для первых нескольких $n\geq 0$.

н	σ п ( Икс )
0	${\frac {1}{x}}$
1	${\frac {1}{2}}$
2	${\frac {1}{24}}(3x-1)$
3	${\frac {1}{48}}(x^{2}-x)$
4	${\frac {1}{5760}}(15x^{3}-30x^{2}+5x+2)$
5	${\frac {1}{11520}}(3x^{4}-10x^{3}+5x^{2}+2x)$
6	${\frac {1}{2903040}}(63x^{5}-315x^{4}+315x^{3}+91x^{2}-42x-16)$
7	${\frac {1}{5806080}}(9x^{6}-63x^{5}+105x^{4}+7x^{3}-42x^{2}-16x)$
8	${\frac {1}{1393459200}}(135x^{7}-1260x^{6}+3150x^{5}-840x^{4}-2345x^{3}-540x^{2}+404x+144)$
9	${\frac {1}{2786918400}}(15x^{8}-180x^{7}+630x^{6}-448x^{5}-665x^{4}+100x^{3}+404x^{2}+144x)$
10	${\frac {1}{367873228800}}(99x^{9}-1485x^{8}+6930x^{7}-8778x^{6}-8085x^{5}+8195x^{4}+11792x^{3}+2068x^{2}-2288x-768)$

Генерирующие функции

Этот вариант полиномиальной последовательности Стирлинга имеет особенно хорошие обычные производящие функции следующих форм:

${\begin{aligned}\left({\frac {ze^{z}}{e^{z}-1}}\right)^{x}&=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x)z^{n}\\\left({\frac {1}{z}}\ln {\frac {1}{1-z}}\right)^{x}&=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x+n)z^{n}.\end{aligned}}$

В более общем смысле, если ${\mathcal {S}}_{t}(z)$ представляет собой степенной ряд , который удовлетворяет $\ln \left(1-z{\mathcal {S}}_{t}(z)^{t-1}\right)=-z{\mathcal {S}}_{t}(z)^{t}$, у нас это есть

${\mathcal {S}}_{t}(z)^{x}=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x+tn)z^{n}.$

У нас также есть идентичность связанной серии

$\sum _{n\geq 0}(-1)^{n-1}\sigma _{n}(n-1)z^{n}={\frac {z}{\ln(1+z)}}=1+{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots ,$

и производящие функции, связанные с полиномом Стирлинга (Шеффера), заданные формулами

$\sum _{n\geq 0}(-1)^{n+1}m\cdot \sigma _{n}(n-m)z^{n}=\left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{m}$

$\sum _{n\geq 0}(-1)^{n+1}m\cdot \sigma _{n}(m)z^{n}=\left({\frac {z}{1-e^{-z}}}\right)^{m}.$

Свойства и отношения

Для целых чисел $0\leq k\leq n$ и $r,s\in \mathbb {C}$, эти полиномы удовлетворяют двум формулам свертки Стирлинга, заданным формулой

$(r+s)\sigma _{n}(r+s+tn)=rs\sum _{k=0}^{n}\sigma _{k}(r+tk)\sigma _{n-k}(s+t(n-k))$

и

$n\sigma _{n}(r+s+tn)=s\sum _{k=0}^{n}k\sigma _{k}(r+tk)\sigma _{n-k}(s+t(n-k)).$

Когда $n,m\in \mathbb {N}$, мы также имеем, что полиномы, $\sigma _{n}(m)$, определяются через их связь с числами Стирлинга

${\begin{aligned}\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}&=(-1)^{n-m+1}{\frac {n!}{(m-1)!}}\sigma _{n-m}(-m)\ ({\text{when }}m<0)\\\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&={\frac {n!}{(m-1)!}}\sigma _{n-m}(n)\ ({\text{when }}m>n),\end{aligned}}$

и их связь с числами Бернулли , заданными формулой

${\begin{aligned}\sigma _{n}(m)&={\frac {(-1)^{m+n-1}}{m!(n-m)!}}\sum _{0\leq k<m}\left[{\begin{matrix}m\\m-k\end{matrix}}\right]{\frac {B_{n-k}}{n-k}},\ n\geq m>0\\\sigma _{n}(m)&=-{\frac {B_{n}}{n\cdot n!}},\ m=0.\end{aligned}}$

См. также

• Полиномы Бернулли
• Полиномы Бернулли второго рода
• Шеффера и Аппелла Последовательности
• Разностные полиномы
• Специальные полиномиальные производящие функции
• Коэффициенты Грегори

Ссылки

• Эрдели, А.; Магнус, В.; Оберхеттингер Ф. и Трикоми Ф.Г. Высшие трансцендентные функции. Том III . Нью-Йорк.
• Грэм; Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: основа информатики .
• С. Роман (1984). Умбральное исчисление .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Стирлинга» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Норлунда» . Математический мир .
• Эта статья включает в себя материал из полинома Стирлинга на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .