Последовательность апелляции

В математике последовательность Аппелла , названная в честь Поля Эмиля Аппелла , представляет собой любую полиномиальную последовательность. $\{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }$ удовлетворение личности

{\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),

и в котором $p_{0}(x)$ является ненулевой константой.

Среди наиболее известных последовательностей Аппелла, помимо тривиального примера $\{x^{n}\}$ являются полиномами Эрмита , полиномами Бернулли и полиномами Эйлера . Каждая последовательность Аппелла является последовательностью Шеффера , но большинство последовательностей Шеффера не являются последовательностями Аппелла. Последовательности Аппелла имеют вероятностную интерпретацию как системы моментов .

Эквивалентные характеристики последовательностей Аппелла

Легко видеть, что следующие условия для полиномиальных последовательностей эквивалентны:

Для $n=1,2,3,\ldots$ ,

{\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

и

p_{0}(x)

– ненулевая константа;

Для некоторой последовательности ${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ скаляров с $c_{0}\neq 0$ ,

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};

Для той же последовательности скаляров

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},

где

D={\frac {d}{dx}};

Для $n=0,1,2,\ldots$ ,

p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.

Формула рекурсии

Предполагать

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},

где последнее равенство взято для определения линейного оператора $S$ на пространстве полиномов в $x$ . Позволять

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}

— обратный оператор, коэффициенты $a_{k}$ являются значениями обычного обратного формального степенного ряда , так что

Tp_{n}(x)=x^{n}.\,

В соглашениях теневого исчисления часто рассматривают этот формальный степенной ряд $T$ как представление последовательности Апелля $p_{n}$ . Можно определить

\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)

используя обычное разложение в степенной ряд $\log(x)$ и обычное определение состава формальных степенных рядов. Тогда у нас есть

p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,

(Это формальное дифференцирование степенного ряда в дифференциальном операторе $D$ является примером дифференциации Пинчерле .)

В случае полиномов Эрмита это сводится к обычной формуле рекурсии для этой последовательности.

Подгруппа полиномов Шеффера

Множество всех последовательностей Аппелла замкнуто относительно операции теневой композиции полиномиальных последовательностей, определяемой следующим образом. Предполагать $\{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}$ и $\{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}$ являются полиномиальными последовательностями, заданными формулой

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.

Тогда теневая композиция $p\circ q$ – полиномиальная последовательность, у которой $n$ этот термин

(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }

(нижний индекс $n$ появляется в $p_{n}$ , поскольку это $n$ -й член этой последовательности, но не в $q$ , поскольку это относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов).

При этой операции множество всех последовательностей Шеффера является неабелевой группой , но множество всех последовательностей Аппелла является абелевой подгруппой . В том, что она абелева, можно убедиться, если принять во внимание тот факт, что каждая последовательность Аппеля имеет вид

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},

и что теневая композиция последовательностей Аппелла соответствует умножению этих формальных степенных рядов на оператор $D$ .

Другая конвенция

Другое соглашение, которому следуют некоторые авторы (см. Чихара ), определяет это понятие по-другому, что противоречит первоначальному определению Аппелла, используя тождество

{d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)

вместо.

Гипергеометрические полиномы Аппелла

Огромный класс полиномов Аппелла можно получить в терминах обобщенной гипергеометрической функции.

Позволять $\Delta (k,-n)$ обозначим массив $k$ соотношения

-{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .

Рассмотрим полином $A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N}$

где ${}_{k+p}F_{q}$ – обобщенная гипергеометрическая функция.

Теорема. Полиномиальное семейство $\{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}$ — последовательность Аппелла для любых натуральных параметров $a,b,p,q,m,k$ .

Например, если $p=0,q=0,$ $k=m,$ $m=(-1)^{k}h{k^{k}}$ тогда полиномы $A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)$ станут полиномами Гулда-Хоппера $g_{n}^{m}(x,h)$ и если $p=0,q=0,m=-2,k=2$ они становятся полиномами Эрмита $H_{n}(x)$ .

См. также

Ссылки

Аппелл, Пол (1880). «Об одном классе полиномов» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 2-я серия. 9 : 119–144. дои : 10.24033/asens.186 .
Роман, Стивен; Рота, Джан-Карло (1978). «Теневое исчисление» . Достижения в математике . 27 (2): 95–188. дои : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 . .
Рота, Джан-Карло; Каханер, Д.; Одлизко, Андрей (1973). «Конечное операторное исчисление» . Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 685–760. дои : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Перепечатано в одноименной книге Academic Press, Нью-Йорк, 1975 г.
Стивен Роман. Умбральное исчисление . Дуврские публикации .
Теодор Сейо Чихара (1978). Введение в ортогональные полиномы . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 978-0-677-04150-6 .
Бедратюк Л.; Луно, Н. (2020). «Некоторые свойства обобщенных гипергеометрических полиномов Апелля». Карпатская математика. Публикация . 12 (1): 129–137. arXiv : 2005.01676 . дои : 10.15330/cmp.12.1.129-137 .

Внешние ссылки