Теневое исчисление

В математике до 1970-х годов термин «теневое исчисление» относился к удивительному сходству между, казалось бы, несвязанными полиномиальными уравнениями и некоторыми сомнительными методами, используемыми для их «доказательства». Эти методы были предложены Джоном Блиссардом и иногда называются символическим методом Блиссарда . Их часто приписывают Эдуарду Лукасу (или Джеймсу Джозефу Сильвестру ), который широко использовал эту технику.

Краткая история

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл попытался поставить теневое исчисление на строгую основу.

В 1970-х годах Стивен Роман , Джан-Карло Рота и другие разработали теневое исчисление с помощью линейных функционалов на пространствах полиномов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера , включая полиномиальные последовательности биномиального типа и последовательности Аппелла , но может включать в себя методы систематического соответствия исчисления конечных разностей .

XIX

Этот метод представляет собой нотационную процедуру, используемую для получения тождеств, включающих индексированные последовательности чисел, притворяясь, что индексы являются показателями степени . Если понимать это буквально, это абсурдно, но тем не менее успешно: тождества, полученные с помощью теневого исчисления, также могут быть правильно выведены более сложными методами, которые можно понимать буквально без логических затруднений.

В качестве примера можно привести полиномы Бернулли . Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальный коэффициент ):

$(y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}$

и удивительно похожее соотношение для полиномов Бернулли :

$B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.$

Сравните также обыкновенную производную

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

к очень похожему соотношению для полиномов Бернулли:

${\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).$

Эти сходства позволяют строить туманные доказательства, которые на первый взгляд не могут быть правильными, но, тем не менее, кажутся работающими. Так, например, притворяясь, что индекс n - k является показателем степени:

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},$

а затем дифференцируя, получаем желаемый результат:

$B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).$

В приведенном выше примере переменная b представляет собой «умбру» ( латинское слово « тень » ).

См. также формулу Фаульхабера .

Серия Умбрал Тейлор

В дифференциальном исчислении ряд Тейлора функции представляет собой бесконечную сумму членов, которые выражаются через производные функции в одной точке. То есть действительная или комплекснозначная функция f ( x ), которая бесконечно дифференцируема в точке $a$ можно записать как:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Подобные зависимости наблюдались и в теории конечных разностей . Теневая версия ряда Тейлора задается аналогичным выражением, включающим k -ые прямые разности. $\Delta ^{k}[f]$ полиномиальной ​ функции f ,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x-a)_{k}$

где

$(x-a)_{k}=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)\cdots (x-a-k+1)$

— это символ Поххаммера, используемый здесь для обозначения падающего последовательного произведения. Аналогичное соотношение справедливо для обратных разностей и возрастающего факториала.

Этот ряд также известен как ряд Ньютона или прямое разностное разложение Ньютона .Аналогия с расширением Тейлора используется в исчислении конечных разностей .

Белл и Риордан

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такого рода аргументы логически строгими. Комбинаторист , опубликованной в 1960 - Джон Риордан в своей книге «Комбинаторные тождества» х годах, широко использовал методы такого рода.

Современное

Другой комбинаторист, Джан-Карло Рота , отметил, что загадка исчезает, если рассматривать линейный функционал L от полиномов от z, определяемый формулой

$L(z^{n})=B_{n}(0)=B_{n}.$

Тогда, используя определение полиномов Бернулли, а также определение и линейность L , можно записать

${\begin{aligned}B_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x)^{n}\right)\end{aligned}}$

Это позволяет заменять вхождения $B_{n}(x)$ к $L((z+x)^{n})$, то есть переместить n из нижнего индекса в верхний (ключевая операция теневого исчисления). Например, теперь мы можем доказать, что:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x+y)^{n}\right)\\&=B_{n}(x+y).\end{aligned}}$

Позже Рота заявил, что большая путаница возникла из-за неспособности провести различие между тремя отношениями эквивалентности , которые часто встречаются в этой теме и все из которых обозначались знаком «=".

В статье, опубликованной в 1964 году, Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии , которой удовлетворяют числа Белла , которые пересчитывают разбиения конечных множеств.

В цитируемой ниже статье Романа и Роты теневое исчисление характеризуется как исследование теневой алгебры , определяемой как алгебра линейных функционалов в векторном пространстве многочленов от переменной x с произведением L ₁ L ₂ линейных функционалы, определяемые

$\left\langle L_{1}L_{2}|x^{n}\right\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left\langle L_{1}|x^{k}\right\rangle \left\langle L_{2}|x^{n-k}\right\rangle .$

Когда полиномиальные последовательности заменяют последовательности чисел как изображения y ^н при линейном отображении L тогда теневой метод рассматривается как существенный компонент общей теории специальных полиномов Роты, и эта теория является теневым исчислением в некоторых более современных определениях этого термина. Небольшой образец этой теории можно найти в статье о полиномиальных последовательностях биномиального типа . Другая статья — « Последовательность Шеффера» .

Позже Рота широко применил теневое исчисление в своей статье с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств кумулянтов .

См. также

• Бернулли тень
• Тёмная композиция полиномиальных последовательностей
• Исчисление конечных разностей
• Полиномы Пиддака
• Символический метод в теории инвариантов
• Полиномы Наруми

Ссылки

• Белл, ET (1938), «История символического метода Блиссарда с очерком жизни его изобретателя», The American Mathematical Monthly , 45 (7), Mathematical Association of America : 414–421, doi : 10.1080/00029890.1938.11990829 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2304144
• Роман, Стивен М.; Рота, Джан-Карло (1978), «Теневое исчисление», Успехи в математике , 27 (2): 95–188, doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 , ISSN   0001-8708 , MR   0485417
• Г.-К. Рота, Д. Каханер и А. Одлызко , «Исчисление конечных операторов», Журнал математического анализа и его приложений, том. 42, нет. 3 июня 1973 г. Перепечатано в одноименной книге, Academic Press, Нью-Йорк, 1975 г.
• Роман, Стивен (1984), Теневое исчисление , Чистая и прикладная математика, том. 111, Лондон: Academic Press Inc. [Издательство Harcourt Brace Jovanovich], ISBN  978-0-12-594380-2 , МР   0741185 . Перепечатано Дувром, 2005 г.
• Роман, С. (2001) [1994], «Теневое исчисление» , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теневое исчисление» . Математический мир .
• А. Ди Буккьянико, Д. Леб (2000). «Избранный обзор теневого исчисления» (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . Динамические опросы. ДС3 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2012 г.
• Роман С. (1982), Теория теневого исчисления, I