Символический метод

О методе аналитической комбинаторики см. Символический метод (комбинаторика) .

В математике символический метод в теории инвариантов — это алгоритм , разработанный Артуром Кэли . Зигфрид Генрих Аронхольд , Альфред Клебш , и Пол Гордан в 19 ​​веке для вычисления инвариантов алгебраических форм . Он основан на рассмотрении формы, как если бы она была степенью формы первой степени, что соответствует вложению симметричной степени векторного пространства в симметричные элементы тензорного произведения его копий.

Символическое обозначение

Символический метод использует компактные, но довольно запутанные и загадочные обозначения инвариантов, зависящие от введения новых символов a , b , c ,... (от которых символический метод получил свое название) с явно противоречивыми свойствами.

Пример: дискриминант двоичной квадратичной формы.

Эти символы можно объяснить на следующем примере Гордана. Предположим, что

$\displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{2}+2A_{1}x_{1}x_{2}+A_{2}x_{2}^{2}$

представляет собой бинарную квадратичную форму с инвариантом, заданным дискриминантом

$\displaystyle \Delta =A_{0}A_{2}-A_{1}^{2}.$

Символическое представление дискриминанта

$\displaystyle 2\Delta =(ab)^{2}$

где a и b — символы. Смысл выражения ( аб ) ² заключается в следующем. Прежде всего, ( ab ) — это сокращенная форма определителя матрицы, строки которой — a ₁ , a ₂ и b ₁ , b ₂ , поэтому

$\displaystyle (ab)=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.$

Возводя это в квадрат, мы получаем

$\displaystyle (ab)^{2}=a_{1}^{2}b_{2}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}.$

Далее мы притворяемся, что

$\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{2}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{2}$

так что

$\displaystyle A_{i}=a_{1}^{2-i}a_{2}^{i}=b_{1}^{2-i}b_{2}^{i}$

и мы игнорируем тот факт, что это не имеет смысла, если f не является степенью линейной формы. Замена этих значений дает

$\displaystyle (ab)^{2}=A_{2}A_{0}-2A_{1}A_{1}+A_{0}A_{2}=2\Delta .$

Высшие степени

В более общем плане, если

$\displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{n}+{\binom {n}{1}}A_{1}x_{1}^{n-1}x_{2}+\cdots +A_{n}x_{2}^{n}$

является двоичной формой более высокой степени, то вводятся новые переменные a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ , c ₁ , c ₂ со свойствами

$f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})^{n}=\cdots .$

Это означает, что следующие два векторных пространства естественно изоморфны:

• Векторное пространство однородных многочленов от 0 _, ... An _{степени} A m
• Векторное пространство полиномов от 2 m переменных a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ , c ₁ , c ₂ , ... которые имеют степень n в каждой из m пар переменных ( a ₁ , a ₂ ), ( b ₁ , b ₂ ), ( c ₁ , c ₂ ), ... и симметричны относительно перестановок m символов a , b , ....,

Изоморфизм задается отображением a ^{п - j}
₁ а ^дж
₂ , б ^{п - j}
₁ б ^дж
₂ , .... к A _j . Это отображение не сохраняет произведения полиномов.

Больше переменных

Расширение формы f более чем с двумя переменными x ₁ , x ₂ , x ₃ ,... аналогично: вводятся символы a ₁ , a ₂ , a ₃ и т. д. со свойствами

$f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=\cdots .$

Симметричные изделия

Довольно загадочный формализм символического метода соответствует вложению симметричного произведения S ^н ( V ) векторного пространства V в тензорное произведение n копий V как элементов, сохраненных действием симметрической группы. Фактически это делается дважды, поскольку инварианты степени n квантики степени m являются инвариантными элементами S ^н С ^м ( V ), который встраивается в тензорное произведение mn копий V как элементы, инвариантные относительно сплетения двух симметричных групп. Скобки символического метода на самом деле представляют собой инвариантные линейные формы на этом тензорном произведении, которые дают инварианты S ^н С ^м ( V ) по ограничению.

См. также

• Теневое исчисление

Ссылки

• Гордан, Пол (1987) [1887]. Кершенштейнер, Георг (ред.). Лекции по теории инвариантов (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство AMS Chelsea Publishing . ISBN  9780828403283 . МР   0917266 .

Сноски

Дальнейшее чтение

• Дьедонне, Жан ; Каррелл, Джеймс Б. (1970). «Теория инвариантов, старая и новая» . Достижения в математике . 4 : 1–80. дои : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 . стр. 32–7, «Инварианты n -арных форм: символический метод. Перепечатано как Дьедонне, Жан ; Каррелл, Джеймс Б. (1971). Теория инвариантов, старая и новая . Академическая пресса. ISBN  0-12-215540-8 .
• Долгачев, Игорь (2003). Лекции по теории инвариантов . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 296. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511615436 . ISBN  978-0-521-52548-0 . МР   2004511 . S2CID   118144995 .
• Грейс, Джон Хилтон ; Янг, Альфред (1903), Алгебра инвариантов , Cambridge University Press
• Гильберт, Дэвид (1993) [1897]. Теория алгебраических инвариантов . Издательство Кембриджского университета . ISBN  9780521444576 . МР   1266168 .
• Ко, Себастьян С., изд. (2009) [1987]. Инвариантная теория . Конспект лекций по математике. Том. 1278. Спрингер. ISBN  9783540183600 .
• Кунг, Джозеф PS; Рота, Джан-Карло (1984). «Инвариантная теория бинарных форм» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 10 (1): 27–85. дои : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 . ISSN   0002-9904 . МР   0722856 .