Биномиальный тип

В математике — полиномиальная последовательность , т. е. последовательность многочленов, индексированная неотрицательными целыми числами. ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$ в котором индекс каждого многочлена равен его степени , называется биномиальным типом, если он удовлетворяет последовательности тождеств

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).$

Существует много таких последовательностей. Набор , поясняемой ниже всех таких последовательностей образует группу Ли в результате операции теневой композиции . Любая последовательность биномиального типа может быть выражена через полиномы Белла . Каждая последовательность биномиального типа является последовательностью Шеффера (но большинство последовательностей Шеффера не имеют биномиального типа). Полиномиальные последовательности прочно обосновали смутные представления 19-го века об умбральном исчислении .

Примеры

• Вследствие этого определения можно сформулировать биномиальную теорему , сказав, что последовательность $\{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}$ имеет биномиальный тип.
• Последовательность « низших факториалов » определяется формулой
  $$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).$$
  (В теории специальных функций это же обозначение обозначает верхние факториалы , но это нынешнее использование является универсальным среди комбинатористов .) Произведение считается равным 1, если n = 0, поскольку в этом случае оно является пустым произведением . Эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип.
• Аналогично « верхние факториалы »
  $$x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)$$
  являются полиномиальной последовательностью биномиального типа.
• Полиномы Абеля
  $$p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}$$
  являются полиномиальной последовательностью биномиального типа.
• Полиномы Тушара
  $$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}$$
  где $S(n,k)$ количество набора размером разделов $n$ в $k$ непересекающиеся непустые подмножества — полиномиальная последовательность биномиального типа. Эрик Темпл Белл назвал их «экспоненциальными полиномами», и этот термин также иногда встречается в литературе. Коэффициенты ​ $S(n,k)$ являются « числами Стирлинга второго рода». Эта последовательность имеет любопытную связь с распределением Пуассона : если $X$ — случайная величина с распределением Пуассона с ожидаемым значением $\lambda$ затем $E(X^{n})=p_{n}(\lambda )$. В частности, когда $\lambda =1$, мы видим, что $n$-й момент распределения Пуассона с ожидаемым значением $1$ количество разделов набора размером $n$, называемый $n$номер звонка . Этот факт о $n$Четвертый момент этого конкретного распределения Пуассона — это « формула Добинского ».

с помощью дельта

Можно показать, что полиномиальная последовательность { p _n (x) : n = 0, 1, 2, … } имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда выполняются все три из следующих условий:

• Линейное преобразование в пространстве многочленов от x , характеризующееся
  $$p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)$$
  является сдвиг-эквивариантным , и
• p ₀ ( x ) = 1 для всех x и
• p _n (0) = 0 при n > 0.

(Утверждение о том, что этот оператор является сдвиг-эквивариантным, равносильно утверждению, что полиномиальная последовательность является последовательностью Шеффера ; набор последовательностей биномиального типа правильно включен в набор последовательностей Шеффера.)

Дельта-операторы

Это линейное преобразование, очевидно, является дельта-оператором , т. е. линейным преобразованием, эквивариантным по сдвигу в пространстве многочленов от x, которое уменьшает степени многочленов на 1. Наиболее очевидными примерами дельта-операторов являются разностные операторы. и дифференциация . Можно показать, что каждый дельта-оператор можно записать в виде степенного ряда вида

$Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}$

где D — дифференцирование (обратите внимание, что граница суммирования нижняя равна 1). Каждый дельта-оператор Q имеет уникальную последовательность «базовых полиномов», т. е. полиномиальную последовательность, удовлетворяющую

1. $p_{0}(x)=1,$
2. $p_{n}(0)=0\quad {\rm {for\ }}n\geq 1,{\rm {\ and}}$
3. $Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

показали В 1973 году Рота , Каханер и Одлизко , что полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда она является последовательностью основных полиномов некоторого дельта-оператора. Таким образом, этот абзац представляет собой рецепт генерации любого количества полиномиальных последовательностей биномиального типа.

полиномами

Для любой последовательности a ₁ , a ₂ , a ₃ , скаляров пусть

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}$

где B _{n , k} ( a ₁ , …, a _{n − k +1} ) — полином Белла . Тогда эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип. Обратите внимание, что для каждого n ≥ 1

$p_{n}'(0)=a_{n}.$

Вот основной результат этого раздела:

Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа имеют этот вид.

Результат Маллина и Роты, повторенный Ротой, Каханером и Одлызко (см. Ссылки ниже), утверждает, что каждая полиномиальная последовательность { p _n ( x ) } _n биномиального типа определяется последовательностью { p _n ′(0) } _n , но в этих источниках полиномы Белла не упоминаются.

Эта последовательность скаляров также связана с дельта-оператором. Позволять

$P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.$

Затем

$P^{-1}\left({d \over dx}\right),$

где $P^{-1}(P(x))=P(P^{-1}(x))=1$, является дельта-оператором этой последовательности.

Характеристика с

Для последовательностей a _n , bn _{помощью} , n = 0, 1, 2, … определите своего рода свертку с

$(a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.$

Позволять $a_{n}^{k\diamondsuit }$ быть n- м членом последовательности

$\underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ factors}}}.$

Тогда для любой последовательности a _i , i = 0, 1, 2, ..., с a ₀ = 0, последовательность, определяемая p ₀ ( x ) = 1 и

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,$

при n ≥ 1 имеет биномиальный тип, и каждая последовательность биномиального типа имеет этот вид.

Характеризация производящими функциями

Полиномиальные последовательности биномиального типа — это именно такие, производящие функции которых представляют собой формальные (не обязательно сходящиеся ) степенные ряды вида

$\sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}$

где f ( t ) — формальный степенной ряд которого , постоянный член равен нулю, а член первой степени не равен нулю. Это можно показать, используя версию формулы Фаа ди Бруно в виде степенного ряда, что

$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}\,'(0) \over n!}t^{n}.$

Дельта-оператор последовательности является композиционным обратным $f^{-1}(D)$, так что

$f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

Способ думать об этих производящих функциях

Коэффициенты при произведении двух формальных степенных рядов

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}$

и

$\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}$

являются

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}$

(см. также произведение Коши ). Если мы думаем о x как о параметре, индексирующем семейство таких степенных рядов, то биномиальное тождество по сути говорит, что степенной ряд, индексированный x + y, является произведением рядов, индексированных x и y . Таким образом, x является аргументом функции, которая отображает суммы в произведения: экспоненциальная функция

$g(t)^{x}=e^{xf(t)}$

где f ( t ) имеет вид, указанный выше.

последовательностей

Множество всех полиномиальных последовательностей биномиального типа представляет собой группу , в которой групповой операцией является «теневая композиция» полиномиальных последовательностей. Эта операция определяется следующим образом. Предположим, { p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... } и { q _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... } являются полиномиальными последовательностями, и

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.$

Тогда теневая композиция p o q — это полиномиальная последовательность, n- й член которой равен

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)$

(индекс n появляется в pn _. , поскольку это n -член этой последовательности, но не в q , поскольку он относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов)

С дельта-оператором, определенным степенным рядом в D , как указано выше, естественная биекция между дельта-операторами и полиномиальными последовательностями биномиального типа, также определенными выше, представляет собой групповой изоморфизм , в котором групповая операция над степенным рядом представляет собой формальную композицию формальной степени. ряд.

Кумулянты и моменты

Последовательность κ _n коэффициентов членов первой степени полиномиальной последовательности биномиального типа можно назвать кумулянтами полиномиальной последовательности. Можно показать, что вся полиномиальная последовательность биномиального типа определяется своими кумулянтами, как это описано в статье под названием «Кумулянт» . Таким образом

$p_{n}'(0)=\kappa _{n}=$ n - й кумулянт

и

$p_{n}(1)=\mu _{n}'=$ n -й момент.

Это «формальные» кумулянты и «формальные» моменты в отличие от кумулянтов распределения вероятностей и моментов распределения вероятностей.

Позволять

$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}$

быть (формальной) кумулянтной производящей функцией. Затем

$f^{-1}(D)$

– дельта-оператор, связанный с полиномиальной последовательностью, т. е. мы имеем

$f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

Приложения

Концепция биномиального типа находит применение в комбинаторике , теории вероятности , статистике и ряде других областей.

См. также

• Список факториальных и биномиальных тем
• Биномиальный-QMF (вейвлет-фильтры Добеши)

Ссылки

• Г.-К. Рота , Д. Каханер и А. Одлызко , «Исчисление конечных операторов», Журнал математического анализа и его приложений , том. 42, нет. 3 июня 1973 г. Перепечатано в одноименной книге, Academic Press, Нью-Йорк, 1975 г.
• Р. Маллин и Г.-К. Рота, «Об основах комбинаторной теории III: теория биномиального перечисления», в книге «Теория графов и ее приложения » под редакцией Бернарда Харриса, Academic Press, Нью-Йорк, 1970.
• Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике (Третье изд.). Спрингер. ISBN  978-0-387-72828-5 .

Как следует из названия, второе из вышеизложенного явно касается приложений к комбинаторному перечислению.

• ди Буккьянико, Алессандро. Вероятностные и аналитические аспекты теневого исчисления , Амстердам, CWI , 1997.
• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность биномиального типа» . Математический мир .