Полиномы

Для другого семейства полиномов Q _n, иногда называемых полиномами Тушара, см. Полиномы Бейтмана .

Не путать с полиномами Белла .

Полиномы Тушара , изученные Жаком Тушаром ( 1939 ), также называемые экспоненциальными полиномами или полиномами Белла , представляют собой полиномиальную последовательность , биномиального типа определяемую формулой

$T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k},$

где $S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}$— число Стирлинга второго рода , т. е. число разбиений множества размера n на k непересекающихся непустых подмножеств.

Первые несколько полиномов Тушара:

$T_{1}(x)=x,$

$T_{2}(x)=x^{2}+x,$

$T_{3}(x)=x^{3}+3x^{2}+x,$

$T_{4}(x)=x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+x,$

$T_{5}(x)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}+15x^{2}+x.$

Характеристики

Основные свойства

Значение 1 n - го полинома Тушара — это n- е число Белла , т. е. количество разделов набора размера n :

$T_{n}(1)=B_{n}.$

Если X — случайная величина с распределением Пуассона с математическим ожиданием λ, то ее n- й момент равен E( X ^н ) = T _n (λ), что приводит к определению:

$T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.$

Используя этот факт, можно быстро доказать, что эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип , т. е. удовлетворяет последовательности тождеств:

$T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).$

Полиномы Тушара представляют собой единственную полиномиальную последовательность биномиального типа с коэффициентом при x, равным 1 в каждом многочлене.

Полиномы Тушара удовлетворяют формуле типа Родригеса:

$T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.$

Полиномы Тушара удовлетворяют рекуррентному соотношению

$T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)$

и

$T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).$

В случае x = 1 это сводится к рекуррентной формуле для чисел Белла .

Обобщением этой формулы и определения является обобщение формулы Спайви.

$$T_{n+m}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}k^{m-j}T_{j}(x)$$

Используя теневую нотацию T ^н ( x )= T _n ( x ), эти формулы принимают вид:

$T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n},$

$T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.$

полиномов Производящая функция Тушара равна

$\sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},$

что соответствует производящей функции чисел Стирлинга второго рода .

Полиномы Тушара имеют контурное интегральное представление:

$T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.$

Нули

Все нули полиномов Тушара вещественные и отрицательные. Этот факт наблюдал Л. Х. Харпер в 1967 году.

Абсолютное значение крайнего левого нуля ограничено сверху равенством

${\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},$

хотя предполагается, что самый левый ноль растет линейно с индексом n .

Мера Малера $M(T_{n})$полиномов Тушара можно оценить следующим образом:

${\frac {\lbrace \textstyle {n \atop \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\},$

где $\Omega _{n}$ и $K_{n}$ являются наименьшим из максимальных двух k индексов таких, что $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}$ и $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$максимальны соответственно.

Обобщения

• Полный полином Белла $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ можно рассматривать как многомерное обобщение полинома Тушара $T_{n}(x)$, с $T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).$
• Полиномы Тушара (и, следовательно, числа Белла ) можно обобщить, используя действительную часть приведенного выше интеграла, до нецелого порядка:

  $T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.$

См. также

• Полиномы Белла

Ссылки

• Тушар, Жак (1939), «О циклах замен», Acta Mathematica , 70 (1): 243–297, doi : 10.1007/BF02547349 , ISSN   0001-5962 , MR   1555449