Полиномы Бейтмана

В математике полиномы Бейтмана представляют собой семейство F _n ортогональных полиномов, введенное Бейтманом ( 1933 ). Полиномы Бейтмана -Пастернака представляют собой обобщение, введенное Пастернаком (1939) .

Полиномы Бейтмана можно определить соотношением

$F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x)).$

где P _n — полином Лежандра . В терминах обобщенных гипергеометрических функций они имеют вид

$F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).$

Пастернак (1939) обобщил полиномы Бейтмана до полиномов F ^м
_п с

$F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))$

Эти обобщенные полиномы также имеют представление через обобщенные гипергеометрические функции, а именно

$F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).$

Карлитц (1957) показал, что полиномы Q _n , изученные Тушаром (1956) , см. Полиномы Тушара , такие же, как полиномы Бейтмана с точностью до замены переменной: точнее:

$Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)$

Полиномы Бейтмана и Пастернака являются частными случаями симметричных непрерывных полиномов Хана .

Примеры

Полиномы малых n читаются

$F_{0}(x)=1$;

$F_{1}(x)=-x$;

$F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}$;

$F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}$;

$F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}$;

$F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}$;

Характеристики

Ортогональность

Полиномы Бейтмана удовлетворяют соотношению ортогональности

$\int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.$

Фактор $(-1)^{n}$ появляется в правой части этого уравнения, потому что полиномы Бейтмана, определенные здесь, должны быть масштабированы с коэффициентом $i^{n}$ чтобы они оставались действительными для воображаемых аргументов. Отношение ортогональности проще, если оно выражается через модифицированный набор полиномов, определяемый формулой $B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)$, для чего становится

$\int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.$

Рекуррентное отношение

Последовательность полиномов Бейтмана удовлетворяет рекуррентному соотношению

$(n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).$

Генерирующая функция

Полиномы Бейтмана также имеют производящую функцию

$\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),$

который иногда используется для их определения.

Ссылки

• Аль-Салам, Надла А. (1967). «Класс гипергеометрических полиномов» . Энн. Мат. Приложение Pura . 75 (1): 95–120. дои : 10.1007/BF02416800 .
• Бейтман, Х. (1933), «Некоторые свойства определенного набора полиномов». , Математический журнал Тохоку , 37 : 23–38, JFM   59.0364.02
• Карлитц, Леонард (1957), «Некоторые полиномы Тушара, связанные с числами Бернулли», Canadian Journal of Mathematics , 9 : 188–190, doi : 10.4153/CJM-1957-021-9 , ISSN   0008-414X , MR   0085361
• Кёлинк, Х.Т. (1996), «О Якоби и непрерывных полиномах Хана», Труды Американского математического общества , 124 (3): 887–898, arXiv : math/9409230 , doi : 10.1090/S0002-9939-96-03190- 5 , ИССН   0002-9939 , МР   1307541
• Пастернак, Саймон (1939), «Обобщение полинома F _n (x)», Лондон, Эдинбург и Дублин Philosophical Magazine and Journal of Science , 28 (187): 209–226, doi : 10.1080/14786443908521175 , MR   0000698
• Тушар, Жак (1956), «Экспоненциальные числа и числа Бернулли», Canadian Journal of Mathematics , 8 : 305–320, doi : 10.4153/cjm-1956-034-1 , ISSN   0008-414X , MR   0079021