Непрерывные полиномы Хана

В математике непрерывные полиномы Хана представляют собой семейство ортогональных полиномов в схеме Аски гипергеометрических ортогональных полиномов. Они определяются через обобщенные гипергеометрические функции следующим образом:

$p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)$

Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Свартау ( 2010 , 14) приводят подробный список своей собственности.

Тесно связанные полиномы включают двойственные полиномы Хана R _n ( x ;γ,δ, N ), полиномы Хана Q _n ( x ; a , b , c ) и непрерывные двойственные полиномы Хана S _n ( x ; a , b , в ). Все эти полиномы имеют q -аналоги с дополнительным параметром q , такие как q-полиномы Хана Q _n ( x ;α,β, N ; q ) и так далее.

Ортогональность

Непрерывные полиномы Хана p _n ( x ; a , b , c , d ) ортогональны относительно весовой функции

$w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix).$

В частности, они удовлетворяют соотношению ортогональности

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}$

для $\Re (a)>0$, $\Re (b)>0$, $\Re (c)>0$, $\Re (d)>0$, $c={\overline {a}}$, $d={\overline {b}}$.

Рекуррентные и разностные отношения

Последовательность непрерывных полиномов Хана удовлетворяет рекуррентному соотношению

$xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),$

${\begin{aligned}{\text{where}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{and}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}$

Формула Родригеса

Непрерывные полиномы Хана задаются формулой типа Родригеса

${\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}$

Генерирующие функции

Непрерывные полиномы Хана имеют следующую производящую функцию:

${\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Вторая, отличная производящая функция определяется выражением

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).$

Связь с другими полиномами

• Полиномы Вильсона являются обобщением непрерывных полиномов Хана.
• Полиномы Бейтмана F _n (x) связаны с частным случаем a = b = c = d =1/2 непрерывных полиномов Хана соотношением

$p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).$

• Полиномы Якоби P _n ^{(а, б)} (x) можно получить как предельный случай непрерывных полиномов Хана:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).$

Ссылки

• Хан, Вольфганг (1949), «Об ортогональных полиномах, удовлетворяющих q-разностным уравнениям», Mathematical News , 2 : 4–34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN   0025-584X , MR   0030647
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN  978-3-642-05013-8 , МР   2656096
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Хана: Определения» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Энциклопедия математики и ее приложений 71, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-62321-6