Схема Аски

В математике схема Аски — это способ организации в иерархию ортогональных многочленов гипергеометрического или базового гипергеометрического типа. Для классических ортогональных полиномов, обсуждавшихся в работе Эндрюса и Аски (1985) , схема Аски была впервые нарисована Лабелем (1985) и Аски и Уилсоном ( 1985 ) и с тех пор была расширена Кукуком и Сварттоу (1998) и Кукуком, Лески. & Swarttouw (2010) для изучения основных ортогональных полиномов.

Схема Аски для гипергеометрических ортогональных многочленов

Кукуек, Лески и Сварттоу (2010 , стр.183) приводят следующую версию схемы Аски:

${}_{4}F_{3}(4)$

Уилсон | Рака

${}_{3}F_{2}(3)$

Непрерывный двойной Хан | Непрерывный Хан | Хан | двойной Хан

${}_{2}F_{1}(2)$

Мейкснер-Полачек | Якоби | Псевдо Якоби | Мейкснер | Кравчук

${}_{2}F_{0}(1)\ \ /\ \ {}_{1}F_{1}(1)$

Лагер | Бессель | Шарлье

${}_{2}F_{0}(0)$

Отшельник

Здесь ${}_{p}F_{q}(n)$ указывает на представление гипергеометрической серии с $n$ параметры

Схема Аски для базовых гипергеометрических ортогональных многочленов

Кукук, Лески и Сварттоу (2010 , стр. 413) дают следующую схему для основных гипергеометрических ортогональных полиномов:

₄ $\phi$₃

Аски-Уилсон | q-Раках

₃ $\phi$₂

Непрерывный дуальный q-Хан | Непрерывный q-Хан | Большой д-Якоби | q-Хан | двойной q-Хан

₂ $\phi$₁

Аль-Салам-Чихара | q-Мейкснер–Полачек | Непрерывный q-Якоби | Большой К-Лагер | Маленький К-Якоби | q-Мейкснер | Квантовый q-Кравчук | q-Кравчук | Аффинный q-Кравчук | Двойной q-Кравчук

₂ $\phi$₀ / ₁ $\phi$₁

Непрерывный большой q-Эрмит | Непрерывный q-Лагер | Маленький К-Лагер | д-Лагер | q-Бессель | q-Шарлье | Аль-Салам–Карлиц I | Аль-Салам – Карлитц II

₁ $\phi$₀

Непрерывный q-эрмит | Стилтьес-Вигерт | Дискретный q-эрмит I | Дискретный q-Эрмит II

Полнота

Хотя существует несколько подходов к построению еще более общих семейств ортогональных полиномов, обычно невозможно расширить схему Аски путем повторного использования гипергеометрических функций одного и того же вида. Например, можно наивно надеяться найти новые примеры, данные

$p_{n}(x)={}_{q+1}F_{q}\left({\begin{array}{c}-n,n+\mu ,a_{1}(x),\dots ,a_{q-1}(x)\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};1\right)$

выше $q=3$ что соответствует полиномам Вильсона. Это было исключено в работе Cheikh, Lamiri & Ouni (2009), исходя из предположения, что $a_{i}(x)$ являются полиномами первой степени такими, что

$\prod _{i=1}^{q-1}(a_{i}(x)+r)=\prod _{i=1}^{q-1}a_{i}(x)+\pi (r)$

для некоторого полинома Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/» ":): {\displaystyle \pi(r)} .

Ссылки

• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард (1985), «Классические ортогональные полиномы», Брезински, К.; Дро, А.; Магнус, Альфонс П.; Марони, Паскаль; Ронво, А. (ред.), Ортогональные многочлены и их приложения. Материалы симпозиума Лагерра, проходившего в Бар-ле-Дюк, 15–18 октября 1984 г. , Lecture Notes in Math., vol. 1171, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 36–62, номер doi : 10.1007/BFb0076530 , ISBN.  978-3-540-16059-5 , МР   0838970
• Аски, Ричард; Уилсон, Джеймс (1985), «Некоторые основные гипергеометрические ортогональные полиномы, обобщающие полиномы Якоби» , Мемуары Американского математического общества , 54 (319): iv+55, doi : 10.1090/memo/0319 , ISBN  978-0-8218-2321-7 , ISSN   0065-9266 , МР   0783216
• Шейх, Ю. Бен; Ламири, И.; Оуни, А. (2009), «О схеме Аски и d-ортогональности, I: теорема о характеризации», Журнал вычислительной и прикладной математики , 233 : 621–629.
• Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (1998), Схема Аски гипергеометрических ортогональных полиномов и ее q-аналог , том. 98–17, Делфтский технологический университет, факультет информационных технологий и систем, кафедра технической математики и информатики.
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN  978-3-642-05013-8 , МР   2656096
• Коорнвиндер, Том Х. (1988), «Теоретико-групповые интерпретации схемы Аски гипергеометрических ортогональных полиномов», Ортогональные полиномы и их приложения (Сеговия, 1986) , Конспекты лекций по математике, том. 1329, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 46–72, doi : 10.1007/BFb0083353 , ISBN.  978-3-540-19489-7 , МР   0973421
• Лабель, Жак (1985), «Таблица д'Аски», Брезински, К.; Дро, А.; Магнус, Альфонс П.; Марони, Паскаль; Ронво, А. (ред.), Polynômes Orthogonaux et Applications. Материалы симпозиума Лагерра, проходившего в Бар-ле-Дюк , Конспекты лекций по математике, т. 1, с. 1171, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xxxvi–xxxvii, doi : 10.1007/BFb0076527 , ISBN  978-3-540-16059-5 , МР   0838967