Дискретные q -полиномы Эрмита

В математике дискретные q -полиномы Эрмита представляют собой два тесно связанных семейства h _n ( x ; q ) и ĥ _n ( x ; q ) базовых гипергеометрических ортогональных полиномов в базовой схеме Аски , введенных Аль-Саламом и Карлитцем ( 1965 ). . Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Свартау ( 2010 , 14) приводят подробный список своей собственности. h _n ( x ; q ) также называется дискретными полиномами q-Эрмита I, а ĥ _n ( x ; q ) также называется дискретными полиномами q-Эрмита II.

Определение

Дискретные q -полиномы Эрмита задаются через основные гипергеометрические функции и полиномы Аль-Салама – Карлица следующим образом:

$\displaystyle h_{n}(x;q)=q^{\binom {n}{2}}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},x^{-1};0;q,-qx)=x^{n}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},q^{-n+1};;q^{2},q^{2n-1}/x^{2})=U_{n}^{(-1)}(x;q)$

$\displaystyle {\hat {h}}_{n}(x;q)=i^{-n}q^{-{\binom {n}{2}}}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},ix;;q,-q^{n})=x^{n}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},q^{-n+1};0;q^{2},-q^{2}/x^{2})=i^{-n}V_{n}^{(-1)}(ix;q)$

и связаны

$h_{n}(ix;q^{-1})=i^{n}{\hat {h}}_{n}(x;q)$

Ссылки

• Берг, Кристиан; Исмаэль, Мурад (1994), Полиномы Q-Эрмита и классические ортогональные полиномы , arXiv : math/9405213
• Аль-Салам, Вашингтон; Карлитц, Л. (1965), «Некоторые ортогональные q-полиномы», Mathematical News , 30 (1–2): 47–61, doi : 10.1002/mana.19650300105 , ISSN   0025-584X , MR   0197804
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719
• Джазмати, М. Салех; Мезлини, Камель; Беттайби, Неджи (2014), «Обобщенные полиномы q-Эрмита и уравнение теплопроводности q-Данкла», Бюллетень математического анализа и приложений , 6 (4), Приштине, Сербия: Приштине: Департамент математики и компьютерных наук: 16–43 , ISSN   1821-1291
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN  978-3-642-05013-8 , МР   2656096
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Глава 18, ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .