Двойные полиномы Хана

В математике двойственные полиномы Хана представляют собой семейство ортогональных полиномов в схеме Аски гипергеометрических ортогональных полиномов. Они определены на неоднородной решетке $x(s)=s(s+1)$ и определяются как

$w_{n}^{(c)}(s,a,b)={\frac {(a-b+1)_{n}(a+c+1)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}(-n,a-s,a+s+1;a-b+a,a+c+1;1)$

для $n=0,1,...,N-1$ и параметры $a,b,c$ ограничены $-{\frac {1}{2}}<a<b,|c|<1+a,b=a+N$.

Обратите внимание, что $(u)_{k}$ — это восходящий факториал , также известный как символ Поххаммера, и ${}_{3}F_{2}(\cdot )$ – обобщенные гипергеометрические функции

Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Свартау ( 2010 , 14) приводят подробный список своей собственности.

Ортогональность

Двойственные полиномы Хана имеют условие ортогональности

$\sum _{s=a}^{b-1}w_{n}^{(c)}(s,a,b)w_{m}^{(c)}(s,a,b)\rho (s)[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]=\delta _{nm}d_{n}^{2}$

для $n,m=0,1,...,N-1$. Где $\Delta x(s)=x(s+1)-x(s)$,

$\rho (s)={\frac {\Gamma (a+s+1)\Gamma (c+s+1)}{\Gamma (s-a+1)\Gamma (b-s)\Gamma (b+s+1)\Gamma (s-c+1)}}$

и

$d_{n}^{2}={\frac {\Gamma (a+c+n+a)}{n!(b-a-n-1)!\Gamma (b-c-n)}}.$

Численная нестабильность

Поскольку значение $n$ увеличивается, значения, которые получают дискретные полиномы, также увеличиваются. В результате, чтобы получить числовую стабильность при вычислении полиномов, вы должны использовать перенормированный двойной полином Хана, определенный как

${\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b)=w_{n}^{(c)}(s,a,b){\sqrt {{\frac {\rho (s)}{d_{n}^{2}}}[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]}}$

для $n=0,1,...,N-1$.

Тогда условие ортогональности принимает вид

$\sum _{s=a}^{b-1}{\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b){\hat {w}}_{m}^{(c)}(s,a,b)=\delta _{m,n}$

для $n,m=0,1,...,N-1$

Связь с другими полиномами

Полиномы Хана, $h_{n}(x,N;\alpha ,\beta )$, определен на равномерной решетке $x(s)=s$, а параметры $a,b,c$ определяются как $a=(\alpha +\beta )/2,b=a+N,c=(\beta -\alpha )/2$. Затем установка $\alpha =\beta =0$ полиномы Хана становятся полиномами Чебышева . Обратите внимание, что двойственные полиномы Хана имеют q -аналог с дополнительным параметром q, известный как двойственные полиномы q-Хана .

Полиномы Рака являются обобщением двойственных полиномов Хана.

Ссылки

• Чжу, Хунцин (2007), «Анализ изображений с помощью дискретных ортогональных двойных моментов Хана» (PDF) , Pattern Recognition Letters , 28 (13): 1688–1704, doi : 10.1016/j.patrec.2007.04.013
• Хан, Вольфганг (1949), «Об ортогональных полиномах, удовлетворяющих q-разностным уравнениям», Mathematical News , 2 (1–2): 4–34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN   0025-584X , MR   0030647
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN  978-3-642-05013-8 , МР   2656096
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Хана: Определения» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .