Падающие и растущие факториалы

В математике падающий факториал (иногда называемый нисходящим факториалом ) падающее последовательное произведение , или нижний факториал ) определяется как полином

$${\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}$$

Возрастающий факториал (иногда называемый функцией Поххаммера , полиномом Поххаммера , возрастающим факториалом , возрастающее последовательное произведение , или верхний факториал ) определяется как

$${\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}$$

Значение каждого принимается равным 1 ( пустой продукт ), когда n = 0 . Эти символы вместе называются факториальными степенями .

Символ Поххаммера , введенный Лео Августом Поххаммером , представляет собой обозначение ( x ) _n , где n — неотрицательное целое число . Он может представлять собой либо возрастающий, либо падающий факториал, причем разные статьи и авторы используют разные соглашения. Сам Поххаммер на самом деле использовал ( x ) _n еще в одном значении, а именно для обозначения биномиального коэффициента ${\tbinom {x}{n}}.$

В этой статье символ ( x ) _n используется для обозначения падающего факториала, а символ x ^{( н )} используется для возрастающего факториала. Эти соглашения используются в комбинаторике . хотя Кнута подчеркнутые и зачеркнутые обозначения $x^{\underline {n}}$ и $x^{\overline {n}}$ становятся все более популярными. В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции ) и в стандартном справочнике Абрамовица и Стегуна символ Похгаммера ( x ) _n используется для обозначения возрастающего факториала.

Когда x является положительным целым числом, ( x ) _n дает количество n -перестановок (последовательностей различных элементов) из набора x -элементов или, что то же самое, количество инъективных функций из набора размера n в набор размера x. . Восходящий факториал x ^{( н )} дает количество разделов набора n -элементов на x упорядоченных последовательностей (возможно, пустых).

и

Первые несколько падающих факториалов таковы:

$${\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}$$

Первые несколько возрастающих факториалов таковы:

$${\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}$$

Коэффициенты, входящие в разложения, представляют собой числа Стирлинга первого рода (см. ниже).

Когда переменная x является целым положительным числом, число ( x ) _n равно количеству n -перестановок из набора x элементов , то есть количеству способов выбора упорядоченного списка длины n, состоящего из различных элементов. взято из коллекции размера x . Например, (8) ₃ = 8 × 7 × 6 = 336 — это количество различных подиумов — присвоений золотых, серебряных и бронзовых медалей — возможных в гонке из восьми человек. В этом контексте другие обозначения, такие как _x P _n , ^х П _н , П _н ^х , или P ( x , n ) также иногда используются. С другой стороны, х ^{( н )} это «количество способов расположить n флагов на x флагштоках», где должны использоваться все флаги, и на каждом флагштоке может быть любое количество флагов. Эквивалентно, это количество способов разделить набор размера n (флаги) на x различимых частей (полюсов) с линейным порядком элементов, присвоенных каждой части (порядок флагов на данном полюсе). .

Свойства

Возрастающие и падающие факториалы просто связаны друг с другом:

$${\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{alignedat}}$$

Падающие и возрастающие факториалы целых чисел напрямую связаны с обычным факториалом :

$${\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}$$

Возрастающие факториалы полуцелых чисел напрямую связаны с двойным факториалом :

$${\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}$$

Падающие и возрастающие факториалы можно использовать для выражения биномиального коэффициента :

$${\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}$$

Таким образом, многие тождества биномиальных коэффициентов переносятся на падающие и возрастающие факториалы.

Восходящие и нисходящие факториалы четко определены в любом с единицей кольце , и поэтому в качестве x можно взять, например, комплексное число , включая отрицательные целые числа, или многочлен с комплексными коэффициентами, или любую комплексную функцию .

Действительные числа и отрицательное n

Падающий факториал можно расширить до реальных значений x с помощью гамма-функции при условии, что x и x + n являются действительными числами, которые не являются отрицательными целыми числами:

$$(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,$$

то же самое может сделать и растущий факториал:

$$x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .$$

Исчисление

Падающие факториалы появляются при многократном дифференцировании простых степенных функций:

$$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.$$

Возрастающий факториал также является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции : Гипергеометрическая функция определена для | г | < 1 в степенном ряду

$${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$$

при условии, что c ≠ 0, −1, −2, ... . Однако обратите внимание, что в литературе по гипергеометрическим функциям обычно используется обозначение ( a ) _n для возрастающих факториалов.

и

Падающие и растущие факториалы тесно связаны с числами Стирлинга . Действительно, при разложении произведения появляются числа Стирлинга первого рода.

$${\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}$$

А для обратных соотношений используются числа Стирлинга второго рода.

$${\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}$$

Падающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом числами Лаха. ${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$:

$${\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}$$

Поскольку падающие факториалы являются основой кольца полиномов , произведение двух из них можно выразить как линейную комбинацию падающих факториалов:

$$(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .$$

Коэффициенты ${\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!$ называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как количество способов идентифицировать (или «склеить») k элементов каждый из набора размера m и набора размера n .

Существует также формула связи для отношения двух возрастающих факториалов, определяемая как

$${\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.$$

Кроме того, мы можем расширить обобщенные законы экспоненты и отрицательные возрастающие и нисходящие степени с помощью следующих тождеств:

$${\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}=(-n)!{\binom {x-n-1}{-n}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n-1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}=(-n)!{\binom {x}{-n}}.\end{aligned}}$$

Наконец, дублирования и формулы умножения падающих и возрастающих факториалов дают следующие соотношения:

$${\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}$$

с

Падающий факториал встречается в формуле, которая представляет полиномы с помощью оператора прямой разности. $\Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),$ и которая формально аналогична теореме Тейлора :

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.$$

играет падающий факториал ( x ) _n в исчислении конечных разностей . В этой формуле и во многих других местах роль x ^н в дифференциальном исчислении. Обратите внимание, например, на сходство Δ ( x ) _n = n ( x ) _{n −1} с д / д х х ^н = nx ^{п -1} .

Аналогичный результат справедлив для возрастающего факториала и оператора обратной разности.

Изучение аналогий такого типа известно как теневое исчисление . Общую теорию, охватывающую такие отношения, включая падающие и возрастающие факториальные функции, дает теория полиномиальных последовательностей биномиального типа и последовательностей Шеффера . Падающие и возрастающие факториалы представляют собой последовательности Шеффера биномиального типа, что показывают соотношения:

$${\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}$$

где коэффициенты те же, что и в биномиальной теореме .

Точно так же производящая функция полиномов Поххаммера тогда равна теневой экспоненте:

$$\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},$$

с

$$\operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.$$

Альтернативные обозначения

Альтернативное обозначение возрастающего факториала

$$x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0$$

и для падающего факториала

$$x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0$$

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. Грэм, Кнут и Паташник предлагаю произносить эти выражения как « х к м поднимается» и « х к м падает» соответственно.

Другие обозначения падающего факториала включают P ( x , n ) , ^х П _н , П _{х , п} , П _н ^х , или _x P _n . (См. перестановку и комбинацию .)

Альтернативное обозначение возрастающего факториала x ^{( н )} является менее распространенным ( x ) ⁺
_н . Когда ( х ) ⁺
_n используется для обозначения возрастающего факториала, обозначение ( x ) ⁻
_n обычно используется для обычного падающего факториала, чтобы избежать путаницы.

Обобщения

Символ Поххаммера имеет обобщенную версию, называемую обобщенным символом Поххаммера , используемую в многомерном анализе . Существует также q -аналог , q- символ Похгаммера .

Для любой фиксированной арифметической функции $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ и символьные параметры x , t , связанные с ними обобщенные факториалы вида

$$(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)$$

может быть изучено с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода, определяемых следующими коэффициентами при степенях x в разложениях ( x ) _{n , f , t} и затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением :

$${\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}$$

Эти коэффициенты удовлетворяют ряду свойств, аналогичных свойствам чисел Стирлинга первого рода , а также рекуррентным соотношениям и функциональным уравнениям, связанным с f -гармоническими числами:

$$F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.$$

См. также

• Поххаммер к -символ
• Личность Вандермонда

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Поххаммера» . Математический мир .