Поххаммер k-символ

В математической теории специальных функций , Поххаммера k -символ и k -гамма-функция , введенные Рафаэлем Диасом и Эдди Паригуаном. являются обобщениями символа Похгаммера и гамма-функции . Они отличаются от символа Поххаммера и гамма-функции тем, что могут быть связаны с общей арифметической прогрессией таким же образом, как они связаны с последовательностью последовательных целых чисел .

Определение

Символ Поххаммера k ( x ) _n,k определяется как

${\begin{aligned}(x)_{n,k}&=x(x+k)(x+2k)\cdots (x+(n-1)k)=\prod _{i=1}^{n}(x+(i-1)k)\\&=k^{n}\times \left({\frac {x}{k}}\right)_{n},\,\end{aligned}}$

а k -гамма-функция Γ _k при k > 0 определяется как

$\Gamma _{k}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!k^{n}(nk)^{x/k-1}}{(x)_{n,k}}}.$

При k = 1 получаются стандартный символ Похгаммера и гамма-функция.

Диас и Паригуан используют эти определения, чтобы продемонстрировать ряд свойств гипергеометрической функции . Хотя Диас и Паригуан ограничивают эти символы до k -символ Поххаммера > 0, k , как они его определяют, четко определен для всех действительных k, и для отрицательных k дает падающий факториал , а для k = 0 он сводится к степени x ^н .

В статье Диаса и Паригуана не рассматриваются многие аналогии между k -символом Поххаммера и степенной функцией, такие как тот факт, что биномиальная теорема может быть распространена на k -символы Поххаммера. Однако верно, что многие уравнения, включающие степенную функцию x ^н продолжать удерживать, когда x ^н заменяется на ( x ) _n,k .

Цепные дроби, сравнения и конечно-разностные уравнения

типа Якоби J-дроби для обычной производящей функции k-символа Похгаммера, обозначаемой в несколько иных обозначениях через $p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )$ для фиксированного $\alpha >0$ и какой-то неопределенный параметр $R$, рассматриваются в в виде следующего разложения бесконечной цепной дроби, заданного формулой

${\begin{aligned}{\text{Conv}}_{h}(\alpha ,R;z)&:={\cfrac {1}{1-R\cdot z-{\cfrac {\alpha R\cdot z^{2}}{1-(R+2\alpha )\cdot z-{\cfrac {2\alpha (R+\alpha )\cdot z^{2}}{1-(R+4\alpha )\cdot z-{\cfrac {3\alpha (R+2\alpha )\cdot z^{2}}{\cdots }}}}}}}}.\end{aligned}}$

Рациональное $h^{th}$ сходящаяся функция, ${\text{Conv}}_{h}(\alpha ,R;z)$, полная производящая функция для этих продуктов, расширенная последним уравнением, имеет вид

${\begin{aligned}{\text{Conv}}_{h}(\alpha ,R;z)&:={\cfrac {1}{1-R\cdot z-{\cfrac {\alpha R\cdot z^{2}}{1-(R+2\alpha )\cdot z-{\cfrac {2\alpha (R+\alpha )\cdot z^{2}}{1-(R+4\alpha )\cdot z-{\cfrac {3\alpha (R+2\alpha )\cdot z^{2}}{\cfrac {\cdots }{1-(R+2(h-1)\alpha )\cdot z}}}}}}}}}\\&={\frac {{\text{FP}}_{h}(\alpha ,R;z)}{{\text{FQ}}_{h}(\alpha ,R;z)}}=\sum _{n=0}^{2h-1}p_{n}(\alpha ,R)z^{n}+\sum _{n=2h}^{\infty }{\widetilde {e}}_{h,n}(\alpha ,R)z^{n},\end{aligned}}$

где компоненты сходящейся функциональной последовательности, ${\text{FP}}_{h}(\alpha ,R;z)$ и ${\text{FQ}}_{h}(\alpha ,R;z)$, задаются как суммы в замкнутой форме в терминах обычного символа Похгаммера и полиномов Лагерра по формуле

${\begin{aligned}{\text{FP}}_{h}(\alpha ,R;z)&=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{i=0}^{n}{\binom {h}{i}}(1-h-R/\alpha )_{i}(R/\alpha )_{n-i}\right](\alpha z)^{n}\\{\text{FQ}}_{h}(\alpha ,R;z)&=\sum _{i=0}^{h}{\binom {h}{i}}(R/\alpha +h-i)_{i}(-\alpha z)^{i}\\&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\cdot L_{h}^{(R/\alpha -1)}\left((\alpha z)^{-1}\right).\end{aligned}}$

Рациональность $h^{th}$ сходящиеся функции для всех $h\geq 2$, в сочетании с известными перечислительными свойствами разложений J-дроби, подразумевают следующие конечно-разностные уравнения, оба точно порождающие $(x)_{n,\alpha }$ для всех $n\geq 1$и генерируем символ по модулю $h\alpha ^{t}$ для некоторого фиксированного целого числа $0\leq t\leq h$:

${\begin{aligned}(x)_{n,\alpha }&=\sum _{0\leq k<n}{\binom {n}{k+1}}(-1)^{k}(x+(n-1)\alpha )_{k+1,-\alpha }(x)_{n-1-k,\alpha }\\(x)_{n,\alpha }&\equiv \sum _{0\leq k\leq n}{\binom {h}{k}}\alpha ^{n+(t+1)k}(1-h-x/\alpha )_{k}(x/\alpha )_{n-k}&&{\pmod {h\alpha ^{t}}}.\end{aligned}}$

Рациональность ${\text{Conv}}_{h}(\alpha ,R;z)$ также подразумевает следующие точные разложения этих произведений, заданные формулой

$(x)_{n,\alpha }=\sum _{j=1}^{h}c_{h,j}(\alpha ,x)\times \ell _{h,j}(\alpha ,x)^{n},$

где формула расширяется с помощью специальных нулей полиномов Лагерра или, что то же самое, вырожденной гипергеометрической функции , определяемой как конечное (упорядоченное) множество

$\left(\ell _{h,j}(\alpha ,x)\right)_{j=1}^{h}=\left\{z_{j}:\alpha ^{h}\times U\left(-h,{\frac {x}{\alpha }},{\frac {z}{\alpha }}\right)=0,\ 1\leq j\leq h\right\},$

и где ${\text{Conv}}_{h}(\alpha ,R;z):=\sum _{j=1}^{h}c_{h,j}(\alpha ,x)/(1-\ell _{h,j}(\alpha ,x))$ обозначает частные дроби разложение рационального числа в $h^{th}$ сходящаяся функция.

Кроме того, поскольку функции, сходящиеся в знаменателе, ${\text{FQ}}_{h}(\alpha ,R;z)$, разлагаются точно через полиномы Лагерра , как указано выше, мы можем точно сгенерировать k-символ Поххаммера как коэффициенты ряда

$(x)_{n,\alpha }=\alpha ^{n}\cdot [w^{n}]\left(\sum _{i=0}^{n+n_{0}-1}{\binom {{\frac {x}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-1/w)}{(i+1)L_{i}^{(x/\alpha -1)}(1/w)L_{i+1}^{(x/\alpha -1)}(1/w)}}\right),$

для любого заданного целого числа $n_{0}\geq 0$.

Особые случаи

Особые случаи k-символа Похгаммера, $(x)_{n,k}$, соответствуют следующим частным случаям падающих и возрастающих факториалов , включая символ Поххаммера , и обобщенным случаям множественных факториальных функций ( многофакториальных функций), или $\alpha$-факториальные функции, изученные Шмидтом в двух последних ссылках:

• Символ Поххаммера, или возрастающая функция факториала : $(x)_{n,1}\equiv (x)_{n}$
• Падающая функция факториала : $(x)_{n,-1}\equiv x^{\underline {n}}$
• Единственная функция факториала : $n!=(1)_{n,1}=(n)_{n,-1}$
• Функция двойного факториала : $(2n-1)!!=(1)_{n,2}=(2n-1)_{n,-2}$
• Многофакторные функции, определенные рекурсивно формулой $n!_{(\alpha )}=n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}$ для $\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}$ и некоторое смещение $0\leq d<\alpha$: $(\alpha n-d)!_{(\alpha )}=(\alpha -d)_{n,\alpha }=(\alpha n-d)_{n,-\alpha }$ и $n!_{(\alpha )}=(n)_{\lfloor (n+\alpha -1)/\alpha \rfloor ,-\alpha }$

Разложения этих произведений , связанных с k-символами, рассматриваемых почленно относительно коэффициентов степеней $x^{k}$ ( $1\leq k\leq n$) для каждого конечного $n\geq 1$ определены в статье обобщенные числа Стирлинга первого рода и обобщенные полиномы Стирлинга (свертки) в.