Биномиальная теорема

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}$

коэффициент Биномиальный ${\tbinom {n}{k}}$ появляется как k -я запись в n- й строке треугольника Паскаля (где вершиной является 0-я строка ${\tbinom {0}{0}}$). Каждая запись представляет собой сумму двух над ней.

В элементарной алгебре ( биномиальная теорема или биномиальное разложение описывает алгебраическое разложение степеней бинома ) . Согласно теореме, можно разложить полином ( x + y ) ^н в сумму, включающую члены вида ax ^б и ^с , где показатели b и c — неотрицательные целые числа с b + c = n , а коэффициент a каждого члена — определенное положительное целое число, зависящее от n и b . Например, для n = 4 ,

$$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$$

Коэффициент a в термине ax ^б и ^с известен как биномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{b}}$ или ${\tbinom {n}{c}}$ (оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для изменения n и b можно расположить в виде треугольника Паскаля . Эти числа также встречаются в комбинаторике , где ${\tbinom {n}{b}}$ дает количество различных комбинаций (т.е. подмножеств) b элементов , которые можно выбрать из n -элементного набора . Поэтому ${\tbinom {n}{b}}$ обычно произносится как « n Choose b ».

История

Особые случаи биномиальной теоремы были известны, по крайней мере, с 4 века до нашей эры, когда греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для показателя степени. $n=2$. Греческий математик Диофант возвел в куб различные биномы, в том числе $x-1$. Метод индийского математика Арьябхаты для нахождения кубических корней, разработанный примерно в 510 году нашей эры, предполагает, что он знал биномиальную формулу для показателя степени. $n=3$.

Биномиальные коэффициенты как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это «Чандахшастра» индийского лирика Пингалы (ок. 200 г. до н. э.), в которой содержится метод ее решения. Комментатор Халаюдха из 10 века нашей эры объясняет этот метод. К VI веку нашей эры индийские математики, вероятно, знали, как выразить это в виде частного. ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$, и четкое изложение этого правила можно найти в тексте «Лилавати» Бхаскары XII века .

Первая известная формулировка биномиальной теоремы и таблицы биномиальных коэффициентов появляется в работе Аль-Караджи , цитируемой Ас-Самауалом в его «Аль-Бахире». Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов. а также предоставил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции . Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой высших порядков, хотя многие его математические работы утеряны. Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических трудах Ян Хуэя XIII века. а также Чу Ши- Че Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту Цзя Сяня XI века , хотя эти сочинения сейчас также утеряны.

В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как с его помощью выражать $(1+x)^{n}$ с точки зрения $(1+x)^{n-1}$, через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своем «Трактате об арифметике треугольника» . Однако порядок чисел был уже известен европейским математикам позднего Возрождения, в том числе Стифелю, Никколо Фонтана Тарталья и Симону Стевину .

Исааку Ньютону обычно приписывают открытие в 1665 году обобщенной биномиальной теоремы, справедливой для любого действительного показателя. Он был открыт независимо в 1670 году Джеймсом Грегори .

Заявление

Согласно теореме, разложение любой неотрицательной целой степени n бинома x + y представляет собой сумму вида

$$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$$

где каждый ${\tbinom {n}{k}}$ — положительное целое число, известное как биномиальный коэффициент , определяемый как

$${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.$$

Эту формулу также называют биномиальной формулой или биномиальным тождеством . Используя обозначение суммирования , это можно записать более кратко как

$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$$

Окончательное выражение следует из предыдущего в силу симметричности x и y в первом выражении, а из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична, ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}$

Простой вариант биномиальной формулы получается путем замены 1 на y , так что она включает только одну переменную . В таком виде формула читается

$${\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}$$

Примеры

Вот первые несколько случаев биномиальной теоремы:

$${\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}$$

В общем случае для разложения ( x + y ) ^н с правой стороны в n -й строке (нумерация так, чтобы верхняя строка была 0-й):

• показатели степени x в терминах равны n , n − 1, ..., 2, 1, 0 (последний член неявно содержит x ⁰ = 1 );
• показатели степени y в терминах равны 0, 1, 2, ..., n − 1, n (первый член неявно содержит y ⁰ = 1 );
• коэффициенты образуют n- ю строку треугольника Паскаля;
• прежде чем объединить подобные члены, есть 2 ^н условия х ^я и ^дж в расширении (не показано);
• после объединения одинаковых членов получается n + 1 член, а сумма их коэффициентов равна 2. ^н .

Пример, иллюстрирующий два последних пункта:

$${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}$$

с $1+3+3+1=2^{3}$.

Простой пример с конкретным положительным значением y :

$${\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}$$

Простой пример с конкретным отрицательным значением y :

$${\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}$$

Геометрическое объяснение

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Для положительных значений a и b биномиальная теорема с n = 2 представляет собой геометрически очевидный факт, что квадрат со стороной a + b можно разрезать на квадрат со стороной a , квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a. и б . При n = 3 теорема утверждает, что куб со стороной a + b можно разрезать на куб со стороной a , куб со стороной b , три прямоугольных ящика a × a × b и три a × b × b прямоугольных ящика . .

В исчислении эта картина также дает геометрическое доказательство производной $(x^{n})'=nx^{n-1}:$ если установить $a=x$ и $b=\Delta x,$ интерпретируя b как бесконечно малое изменение a , то на этом рисунке показано бесконечно малое изменение объема n -мерного гиперкуба , $(x+\Delta x)^{n},$ где коэффициент при линейном члене (в $\Delta x$) является $nx^{n-1},$ площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n - 1 :

$$(x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .$$

Подстановка этого в определение производной через разностный коэффициент и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, $(\Delta x)^{2}$ и выше, становятся пренебрежимо малыми и дают формулу $(x^{n})'=nx^{n-1},$ интерпретируется как

«Биконечно малая скорость изменения объема n -куба при изменении длины стороны равна площади n его ( n - 1) -мерных граней».

Если интегрировать эту картину, что соответствует применению фундаментальной теоремы исчисления , можно получить квадратурную формулу Кавальери , интеграл $\textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}$ - см. в доказательстве квадратурной формулы Кавальери . подробности

коэффициенты

Основная статья: Биномиальный коэффициент

Коэффициенты, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Обычно они пишутся ${\tbinom {n}{k}},$ и произносится как « н, выбирай к ».

Формулы

Коэффициент х ^{n − k} и ^к определяется формулой

$${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},$$

которая определяется через факториал -функцию n ! . Эквивалентно эту формулу можно записать

$${\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}$$

с k множителями как в числителе, так и в знаменателе дроби . Хотя в этой формуле используется дробь, биномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{k}}$ на самом деле является целым числом .

интерпретация

Биномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{k}}$ можно интерпретировать как количество способов выбрать k элементов из n -элементного множества. Это связано с биномами по следующей причине: если мы напишем ( x + y ) ^н как продукт

$$(x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),$$

тогда, согласно закону распределения , в разложении будет один член для каждого выбора x или y из каждого бинома произведения. Например, будет только один термин x. ^н , соответствующий выбору x из каждого бинома. Однако будет несколько членов вида x ^{п -2} и ² , по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов, вносящих вклад в y . Следовательно, после объединения подобных членов коэффициент при x ^{п -2} и ² будет равно числу способов выбрать ровно 2 элемента из n -элементного множества.

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Расширение ( x + y ) ^н дает сумму 2 ^н продукты вида e ₁ e ₂ ... e _n , где каждый e _i равен x или y . Перестановка коэффициентов показывает, что каждый продукт равен x. ^{n − k} и ^к для некоторого k между 0 и n . Для данного k последовательно доказывается равенство следующих условий:

• количество слагаемых, равное x ^{n − k} и ^к в расширении
• количество n -символьных строк x , y , содержащих y ровно в k позициях
• количество k -элементных подмножеств {1, 2, ..., n }
• ${\tbinom {n}{k}},$ либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного рассуждения, если кто-то определяет ${\tbinom {n}{k}}$ как ${\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.$

Это доказывает биномиальную теорему.

Пример

Коэффициент ху ² в

$${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}$$

равно ${\tbinom {3}{2}}=3$ потому что есть три строки x , y длины 3 с ровно двумя y , а именно,

$$xyy,\;yxy,\;yyx,$$

соответствующие трем 2-элементным подмножествам {1, 2, 3} , а именно,

$$\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},$$

где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.

доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0 , обе части равны 1 , поскольку x ⁰ = 1 и ${\tbinom {0}{0}}=1.$ Теперь предположим, что равенство справедливо для данного n ; мы докажем это для n + 1 . Для j , k ≥ 0 , пусть [ f ( x , y )] _{j , k} обозначает коэффициент при x ^дж и ^к в полиноме f ( x , y ) . По индуктивному предположению ( x + y ) ^н – многочлен от x и y такой, что [( x + y ) ^н ] _{j , k} это ${\tbinom {n}{k}}$ если j + k = n и 0 в противном случае. Личность

$$(x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}$$

показывает, что ( x + y ) ^{п +1} также является полиномом от x и y , и

$$[(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},$$

поскольку если j + k = n + 1 , то ( j − 1) + k = n и j + ( k − 1) = n . Теперь правая часть

$${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},$$

по личности Паскаля . С другой стороны, если j + k ≠ n + 1 , то ( j – 1) + k ≠ n и j + ( k – 1) ≠ n , поэтому мы получаем 0 + 0 = 0 . Таким образом

$$(x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},$$

что является индуктивной гипотезой с n + 1 на заменой n и, таким образом, завершает индуктивный шаг.

Обобщения

Ньютона

Основная статья: Биномиальный ряд

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, разрешив использовать действительные показатели степени, отличные от неотрицательных целых чисел. (То же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом . Для этого необходимо придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, чего нельзя сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа r можно определить

$${r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},$$

где $(\cdot )_{k}$ — это символ Поххаммера , обозначающий здесь падающий факториал . Это согласуется с обычными определениями, когда r — неотрицательное целое число. Тогда, если x и y — действительные числа с | х | > | й | , и r - любое комплексное число, есть

$${\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}$$

Когда r — неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и существует не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечное количество ненулевых членов.

Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

$${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .$$

При r = −1 обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрического ряда , справедливую для | х | < 1 :

$$(1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .$$

В более общем смысле, при r = − s мы имеем для | х | < 1 :

$${\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.$$

Так, например, когда s = 1/2 ,

$${\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .$$

Замена x на -x дает:

$${\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.$$

Так, например, когда s = 1/2 , мы имеем | х | < 1 :

$${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .$$

Дальнейшие

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда x и y — комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить | х | > | й | и определим степени x + y и x, используя голоморфную ветвь журнала, определенную на открытом диске радиуса | х | с центром в x . Обобщенная биномиальная теорема справедлива также для элементов x и y банаховой алгебры, пока xy = yx , x обратима и ‖ y / x ‖ < 1 .

Версия биномиальной теоремы справедлива для следующего Похгаммера символьно -подобного семейства полиномов : для данной действительной константы c определите $x^{(0)}=1$ и

$$x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]$$

для $n>0.$ Затем

$$(a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.$$

Случай c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.

В более общем смысле последовательность $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ многочленов называется биномиальным типом, если

• $\deg p_{n}=n$ для всех $n$,
• $p_{0}(0)=1$, и
• $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$ для всех $x$, $y$, и $n$.

Оператор $Q$ в пространстве полиномов называется базисным оператором последовательности $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ если $Qp_{0}=0$ и $Qp_{n}=np_{n-1}$ для всех $n\geqslant 1$. Последовательность $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ является биномиальным тогда и только тогда, когда его базисный оператор является дельта-оператором . Письмо $E^{a}$ для смены на $a$ оператор Дельта-операторы, соответствующие вышеупомянутым семействам полиномов «Поххаммера», представляют собой обратную разность $I-E^{-c}$ для $c>0$, обычная производная для $c=0$, и прямая разница $E^{-c}-I$ для $c<0$.

теорема

Основная статья: Полиномиальная теорема

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм, содержащих более двух членов. Общая версия такая

$$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},$$

где суммирование производится по всем последовательностям неотрицательных целых индексов от k ₁ до km _, таких что сумма всех k _i равна n . (Для каждого члена разложения показатели степени должны составлять в сумме n ). Коэффициенты ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$ известны как полиномиальные коэффициенты и могут быть вычислены по формуле

$${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.$$

Комбинаторно полиномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$ подсчитывает количество различных способов набор из n элементов на непересекающиеся подмножества размеров k ₁ , ..., km _. разбить

Мультибиномиальная

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

$$(x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.$$

Это можно записать более кратко, с помощью мультииндексной записи , как

$$(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$$

Общее правило Лейбница

Основная статья: Правило генерала Лейбница

Общее правило Лейбница дает n- ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы:

$$(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).$$

Здесь верхний индекс ( n ) указывает на n- ю производную функции, $f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$. Если установить f ( x ) = e ^топор и г ( Икс ) знак равно е ^бх , сокращая общий делитель e ^{( а + б ) х} из каждого члена дает обычную биномиальную теорему.

Приложения

Многоугольные идентичности

Для комплексных чисел биномиальная теорема может быть объединена с формулой Муавра, чтобы получить формулы кратных углов для синуса и косинуса . По формуле Муавра:

$$\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.$$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно разложить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos( nx ) и sin( nx ) . Например, поскольку

$$\left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),$$

Но формула Де Муавра отождествляет левую часть с $(\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)$, так

$$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,$$

которые представляют собой обычные двуугольные тождества. Аналогично, поскольку

$$\left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,$$

Формула Де Муавра дает

$$\cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.$$

В общем,

$$\cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x$$

и

$$\sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.$$

Существуют также аналогичные формулы с использованием полиномов Чебышева .

Серия для е

Число e формуле часто определяют по

$$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для e . В частности:

$$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.$$

k - й член этой суммы равен

$${n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}$$

При n → ∞ рациональное выражение справа приближается к 1 , и, следовательно,

$$\lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.$$

Это указывает на то, что e можно записать в виде ряда:

$$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .$$

Действительно, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающей функцией от n рядов следует , из теоремы о монотонной сходимости , что сумма этого бесконечного ряда равна e .

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией вероятности отрицательного биномиального распределения . Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли. $\{X_{t}\}_{t\in S}$ с вероятностью успеха $p\in [0,1]$ все, что не происходит, это

$P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.$

Верхняя граница этой величины равна $e^{-p|S|}.$

В абстрактной алгебре

Биномиальная теорема справедлива в более общем смысле для двух элементов x и y в кольце или даже полукольце при условии, что xy = yx . Например, это справедливо для двух n × n матриц размера при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно для вычисления мощности матрицы.

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, x , x ² , х ³ , ...} имеет биномиальный тип .

В популярной культуре

• Биномиальная теорема упоминается в « Песне генерал-майора» комической оперы «Пираты Пензанса» .
• профессора Мориарти Шерлок Холмс описывает как написавшего трактат по биномиальной теореме .
• Португальский поэт Фернандо Пессоа , используя гетероним Альваро де Кампос , написал, что «Бином Ньютона так же прекрасен, как Венера Милосская . Правда в том, что мало кто это замечает».
• В фильме 2014 года «Игра в имитацию » Алан Тьюринг ссылается на работу Исаака Ньютона над биномиальной теоремой во время его первой встречи с коммандером Деннистоном в Блетчли-парке.

См. также

• Биномиальное приближение
• Биномиальное распределение
• Биномиальная обратная теорема
• Приближение Стирлинга
• Теорема Таннери
• Полиномы, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий
• q-биномиальная теорема

Дальнейшее чтение

• Сумка, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Индийская историческая наука . 1 (1): 68–74.
• Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). «(5) Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 153–256 . ISBN  978-0-201-55802-9 . OCLC   17649857 .

Внешние ссылки

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Бином Ньютона» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Биномиальная теорема Стивена Вольфрама и «Биномиальная теорема (шаг за шагом)» Брюса Коллетти и Джеффа Брайанта, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Эта статья включает в себя материал из индуктивного доказательства биномиальной теоремы на платформе PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .