Переменная серия

В математике — знакопеременный ряд это бесконечный ряд вида

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$$

или

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$$

с n _> 0 для всех n . Знаки общих терминов чередуются между положительными и отрицательными. Как и любой ряд, знакопеременный ряд сходится связанная с ним последовательность частичных сумм тогда и только тогда, когда сходится .

Примеры

Геометрический ряд 1 / 2 − 1 / 4 + 1 / 8 − 1/16 ⋯ до + суммы 1 / 3 .

Попеременный гармонический ряд имеет конечную сумму, а гармонический ряд — нет.

Ряд Меркатора дает аналитическое выражение натурального логарифма :

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).$$

Функции синус и косинус, используемые в тригонометрии, можно определить как чередующиеся ряды в исчислении, хотя в элементарной алгебре они вводятся как отношения сторон прямоугольного треугольника. Фактически,

$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$$

и

$$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.$$

Когда переменный коэффициент (–1) ^н Если удалить из этих рядов, то получим гиперболические функции sinh и cosh, используемые в исчислении.

Для целого или положительного индекса α функция Бесселя первого рода может быть определена с помощью знакопеременного ряда

$$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$$

где Γ( z ) — гамма-функция .

Если s — комплексное число , эта-функция Дирихле формируется как знакопеременный ряд

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$$

который используется в аналитической теории чисел .

Испытание попеременной серии

Основная статья: Испытание чередующихся серий

Теорема, известная как «Тест Лейбница» или тест знакопеременного ряда, говорит нам, что знакопеременный ряд сходится, если члены n _{сходятся} к 0 монотонно .

Доказательство. Предположим, что последовательность $a_{n}$ сходится к нулю и монотонно убывает. Если $m$ это странно и $m<n$, получим оценку $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ посредством следующего расчета:

$${\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}$$

С $a_{n}$ монотонно убывает, члены $-(a_{m}-a_{m+1})$ являются отрицательными. Таким образом, мы имеем окончательное неравенство: $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$. Аналогично можно показать, что $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$. С $a_{m}$ сходится к $0$, наши частичные суммы $S_{m}$ образуют последовательность Коши (т. е. ряд удовлетворяет критерию Коши ) и, следовательно, сходятся. Аргумент в пользу $m$ даже похоже.

Приближение сумм

Приведенная выше оценка не зависит от $n$. Итак, если $a_{n}$ монотонно приближается к 0, оценка дает оценку погрешности аппроксимации бесконечных сумм частичными суммами:

$$\left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.$$

Это не означает, что эта оценка всегда находит самый первый элемент, после которого ошибка меньше модуля следующего члена ряда. Действительно, если вы возьмете $1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2$ и попытайтесь найти член, после которого ошибка не превышает 0,00005. Приведенное выше неравенство показывает, что частичная сумма равна $a_{20000}$ достаточно, но на самом деле это вдвое больше членов, чем нужно. Действительно, ошибка после суммирования первых 9999 элементов равна 0,0000500025, поэтому частичная сумма суммируется через $a_{10000}$ достаточно. Эта серия обладает тем свойством, что построение новой серии с $a_{n}-a_{n+1}$ также дает переменный ряд, к которому применяется критерий Лейбница, и, таким образом, делает эту простую оценку ошибки неоптимальной. Это было улучшено с помощью границы Калабрезе, открытое в 1962 году, говорит о том, что это свойство позволяет получить результат в 2 раза меньший, чем при ограничении ошибки Лейбница. На самом деле это также не оптимально для серий, в которых это свойство применяется 2 или более раз, что описывается границей ошибки Джонсонбо . Если применить это свойство можно бесконечное число раз, преобразование Эйлера . применимо

Абсолютная

Серия ${\textstyle \sum a_{n}}$ сходится абсолютно, если ряд ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ сходится.

Теорема: Абсолютно сходящиеся ряды сходятся.

Доказательство: предположим ${\textstyle \sum a_{n}}$ абсолютно сходится. Затем, ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ сходится, и отсюда следует, что ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ тоже сходится. С ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$, сериал ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ сходится по критерию сравнения . Поэтому сериал ${\textstyle \sum a_{n}}$ сходится как разность двух сходящихся рядов ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$.

Условная сходимость

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Например, гармонический ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},$$

расходится, а альтернативная версия

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},$$

сходится по тесту чередующихся рядов .

Перестановки

Для любого ряда мы можем создать новый ряд, изменив порядок суммирования. Ряд является безусловно сходящимся , если любая перестановка создает ряд с той же сходимостью, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды сходятся безусловно . Но теорема о рядах Римана утверждает, что условно сходящиеся ряды можно переставлять так, чтобы обеспечить произвольную сходимость. Общий принцип состоит в том, что сложение бесконечных сумм коммутативно только для абсолютно сходящихся рядов.

Например, одно ложное доказательство того, что 1=0, использует несостоятельность ассоциативности для бесконечных сумм.

Еще один пример из серии Меркатора .

$$\ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .$$

Но поскольку ряд не сходится абсолютно, мы можем переставить члены и получить ряд для ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$:

$${\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}$$

Серийное

На практике численное суммирование знакопеременных рядов можно ускорить, используя любой из множества методов ускорения рядов . Одним из старейших методов является метод суммирования Эйлера , и существует множество современных методов, которые могут обеспечить еще более быструю сходимость.

См. также

• сериал Гранди
• Интеграл Нёрлунда – Райса

Ссылки

• Эрл Д. Рейнвилл (1967) Бесконечная серия , стр. 73–6, Macmillan Publishers .
• Вайсштейн, Эрик В. «Переменный ряд» . Математический мир .