Серия Меркатор

Полиномиальная аппроксимация логарифма с n=1, 2, 3 и 10 в интервале (0,2).

В математике ряд Меркатора или ряд Ньютона-Меркатора представляет собой ряд Тейлора для натурального логарифма :

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

В суммирования обозначениях

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.$

Ряд сходится к натуральному логарифму (сдвинутому на 1) всякий раз, когда $-1<x\leq 1$ .

История

Серия была открыта независимо Йоханнесом Худде (1656 г.). и Исаак Ньютон (1665 г.), но ни один из них не опубликовал результат. Николас Меркатор также независимо обнаружил это и включил значения ряда малых величин в свой трактат 1668 года « Логарифмотехния» ; Общая серия была включена в Джона Уоллиса обзор книги в «Философских трудах» в 1668 году .

Вывод

Ряд можно получить из теоремы Тейлора путем индуктивного вычисления n ^й производная от $\ln(x)$ в $x=1$ , начиная с

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.$

В качестве альтернативы можно начать с конечной геометрической прогрессии ( $t\neq -1$)

$1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}$

что дает

${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.$

Отсюда следует, что

$\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt$

и путем повременной интеграции,

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt.$

Если $-1<x\leq 1$ , остаточный член стремится к 0, так как $n\to \infty$.

Это выражение можно интегрировать итеративно еще k раз, чтобы получить

$-xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},$

где

$A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}$

и

$B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}$

являются полиномами от x .

Особые случаи

Параметр $x=1$ в ряду Меркатора дает знакопеременный гармонический ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).$

Сложный сериал

Сложный степенной ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots$

представляет собой ряд Тейлора для $-\log(1-z)$ , где log обозначает главную ветвь комплексного логарифма . Этот ряд сходится точно для всех комплексных чисел. $|z|\leq 1,z\neq 1$. Фактически, как видно из теста отношения , он имеет радиус сходимости, равный 1, поэтому сходится абсолютно на каждом диске B (0, r ) с радиусом r < 1. Более того, он сходится равномерно на каждом обработанном диске. ${\textstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}$, причем δ > 0. Это сразу следует из алгебраического тождества:

$(1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},$

учитывая, что правая часть сходится равномерно на всем замкнутом единичном круге.

См. также

• Джон Крейг
• Натуральный логарифм плюс 1

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Меркатора» . Математический мир .
• Антон фон Браунмюль (1903) Лекции по истории тригонометрии , страница 134, через Интернет-архив
• Эрикссон, Ларссон и Вахде. Математический анализ с приложениями , часть 3. Гетеборг, 2002. С. 10.
• Некоторые современники Декарта, Ферма, Паскаля и Гюйгенса из «Краткого описания истории математики» (4-е издание, 1908 г.) У. В. Роуза Болла