Тест на соотношение

В математике тест отношения — это тест (или «критерий») сходимости ряда .

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$

где каждый член представляет собой или комплексное число , а n _n не равно нулю, если действительное велико. Тест был впервые опубликован Жаном ле Роном Даламбером и иногда известен как тест отношения Даламбера или тест отношения Коши .

Тест

Диаграмма принятия решения для теста соотношения

Обычная форма теста использует предел

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.$ ( 1 )

Тест на соотношение утверждает, что:

• если L < 1, то ряд сходится абсолютно ;
• если L > 1, то ряд расходится ;
• если L = 1 или предел не существует, то тест не дает результатов, поскольку существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, удовлетворяющие этому случаю.

Можно сделать проверку соотношения применимой к определенным случаям, когда предел L не существует, если верхний и нижний пределы используются . Критерии проверки также можно уточнить так, чтобы проверка иногда была убедительной, даже если L = 1. Более конкретно, пусть

$R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

$r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$.

Тогда тест на соотношение показывает, что:

• если R < 1, то ряд сходится абсолютно;
• если r > 1, ряд расходится; или эквивалентно, если $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$ при всех больших n (независимо от значения r ) ряд также расходится; это потому что $|a_{n}|$ ненулевое и возрастающее, и, следовательно, не _n приближается к нулю;
• в противном случае тест не дает результатов.

Если предел L в ( 1 ) существует, мы должны иметь L = R = r . Таким образом, исходный тест соотношения является более слабой версией уточненного.

Примеры

Сходящийся, потому что L < 1

Рассмотрим серию

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

Применяя тест отношения, можно вычислить предел

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.$

Поскольку этот предел меньше 1, ряд сходится.

Расхождение, потому что L > 1

Рассмотрим серию

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.$

Поместив это в тест соотношения:

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.$

Таким образом, ряд расходится.

Безрезультатно, потому что L = 1

Рассмотрим три серии

$\sum _{n=1}^{\infty }1,$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.$

Первый ряд ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) расходится, второй (центральный в Базельской задаче ) сходится абсолютно, а третий ( чередующийся гармонический ряд ) сходится условно. Однако поквартальные соотношения величин $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ из трех серий соответственно $1,$   ${\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}$ и ${\frac {n}{n+1}}$. Итак, во всех трех случаях существует предел $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ равно 1. Это показывает, что когда L = 1, ряд может сходиться или расходиться, и, следовательно, исходный тест на соотношение не дает результатов. В таких случаях необходимы более тонкие тесты для определения сходимости или расхождения.

Доказательство

В этом примере соотношение соседних членов в синей последовательности сходится к L=1/2. Выбираем r = (L+1)/2 = 3/4. Тогда синяя последовательность доминирует красная последовательность r ^к для всех n ≥ 2. Красная последовательность сходится, поэтому и синяя последовательность сходится.

Ниже приведено доказательство достоверности исходного теста соотношения.

Предположим, что $L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$. Затем мы можем показать, что ряд сходится абсолютно, показав, что его члены со временем станут меньше, чем члены некоторой сходящейся геометрической прогрессии . Для этого рассмотрим действительное число r такое, что $L<r<1$. Это подразумевает, что $|a_{n+1}|<r|a_{n}|$ для достаточно большого n ; скажем, для всех n больших N. , Следовательно $|a_{n+i}|<r^{i}|a_{n}|$ для каждого n > N и i > 0, и так

$\sum _{i=N+1}^{\infty }|a_{i}|=\sum _{i=1}^{\infty }\left|a_{N+i}\right|<\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}|a_{N}|=|a_{N}|\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=|a_{N}|{\frac {r}{1-r}}<\infty .$

То есть ряд сходится абсолютно.

С другой стороны, если L > 1, то $|a_{n+1}|>|a_{n}|$ для достаточно большого n , так что предел слагаемых отличен от нуля. Следовательно, ряд расходится.

Расширения для L = 1

Как видно из предыдущего примера, тест отношения может оказаться неубедительным, если предел отношения равен 1. Однако расширение теста отношения иногда позволяет справиться с этим случаем.

Во всех приведенных ниже тестах предполагается, что Σ n _{представляет} собой сумму с положительным a _n . Эти тесты также могут быть применены к любому ряду с конечным числом отрицательных членов. Любая такая серия может быть записана как:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}$

где N _— отрицательный термин с наивысшим индексом. Первое выражение справа представляет собой частичную сумму, которая будет конечной, поэтому сходимость всего ряда будет определяться свойствами сходимости второго выражения справа, которое может быть переиндексировано для формирования ряда всех положительные члены, начинающиеся с n =1.

Каждый тест определяет тестовый параметр (ρ _n ), который определяет поведение этого параметра, необходимое для установления сходимости или расхождения. Для каждого теста существует более слабая форма теста, которая вместо этого налагает ограничения на lim _n->∞ ρ _n .

Во всех тестах есть области, в которых они не могут описать свойства сходимости Σa _n . Фактически, ни один тест сходимости не может полностью описать свойства сходимости ряда. Это происходит потому, что если Σa _n сходится, то можно найти второй сходящийся ряд Σb _n , который сходится медленнее: т. е. он обладает тем свойством, что lim _n->∞ (b _n /an ₎ = ∞. Более того, если Σa _n расходится, можно найти второй расходящийся ряд Σb _n , который расходится медленнее: т. е. он обладает тем свойством, что lim _n->∞ (b _n /an ₎ = 0. Признаки сходимости по существу используют сравнение тест на каком-то конкретном семействе _n и проваливается для последовательностей, которые сходятся или расходятся медленнее.

Моргана

Огастес Де Морган предложил иерархию тестов отношения типа.

Параметры теста соотношения ( $\rho _{n}$) ниже все обычно включает в себя термины вида $D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}$. Этот срок можно умножить на $a_{n+1}/a_{n}$ уступать $D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}$. Этот термин может заменить прежний термин в определении параметров испытаний, а сделанные выводы останутся прежними. Соответственно, не будет проводиться различие между ссылками, в которых используется та или иная форма тестового параметра.

1. Тест на соотношение Даламбера

Первым тестом в иерархии Де Моргана является тест соотношения, описанный выше.

2. Тест Раабе

Это расширение связано с Йозефом Людвигом Раабе . Определять:

$\rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)$

(и некоторые дополнительные термины см. Али, Блэкберн, Фельд, Дурис (нет), Дурис2)

В сериале будут:

• Сходятся, когда существует c> 1 такое, что $\rho _{n}\geq c$ для всех n>N .
• расходятся, когда $\rho _{n}\leq 1$ для всех n>N .
• В противном случае тест не дает результатов.

Для лимитной версии сериал будет:

• Сходимся, если $\rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1$ (сюда входит случай ρ = ∞)
• расходятся, если $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1$.
• Если ρ = 1, тест не дает результатов.

Если вышеуказанного предела не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. В сериале будут:

• Сходимся, если $\liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1$
• расходятся, если $\limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1$
• В противном случае тест не дает результатов.

Раабе

Определение $\rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)$нам не нужно предполагать, что предел существует; если $\limsup \rho _{n}<1$, затем $\sum a_{n}$ расходится, а если $\liminf \rho _{n}>1$ сумма сходится.

Доказательство проводится по существу путем сравнения с $\sum 1/n^{R}$. Предположим сначала, что $\limsup \rho _{n}<1$. Конечноесли $\limsup \rho _{n}<0$ затем $a_{n+1}\geq a_{n}$ для больших $n$, поэтому сумма расходится; предположим тогда, что $0\leq \limsup \rho _{n}<1$. Существует $R<1$ такой, что $\rho _{n}\leq R$ для всех $n\geq N$, то есть $a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}$. Таким образом $a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}$, что означает, что $a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}$ для $n\geq N$; с $R<1$ это показывает, что $\sum a_{n}$ расходится.

Доказательство второй половины полностью аналогично, только большая часть неравенств просто меняется местами. Нам нужно предварительное неравенство, чтобы использоватьвместо простого $1+t<e^{t}$ который использовался выше: Исправить $R$ и $N$. Обратите внимание, что $\log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$. Так $\log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)$; следовательно $\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}$.

Предположим теперь, что $\liminf \rho _{n}>1$. Рассуждая так же, как в первом пункте, используя неравенство, установленное в предыдущем пункте, видим, что существует $R>1$ такой, что $a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}$ для $n\geq N$; с $R>1$ это показывает, что $\sum a_{n}$ сходится.

3. Проба Бертрана

Это продление произошло благодаря Джозефу Бертрану и Огастесу Де Моргану .

Определение:

$\rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n$

тест Бертрана утверждает, что сериал будет:

• Сходимся, когда существует c>1 такое, что $\rho _{n}\geq c$ для всех n>N .
• расходятся, когда $\rho _{n}\leq 1$ для всех n>N .
• В противном случае тест не дает результатов.

В лимитированной версии серия будет:

• Сходимся, если $\rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1$ (сюда входит случай ρ = ∞)
• расходятся, если $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1$.
• Если ρ = 1, тест не дает результатов.

Если вышеуказанного предела не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. В сериале будут:

• Сходимся, если $\liminf \rho _{n}>1$
• расходятся, если $\limsup \rho _{n}<1$
• В противном случае тест не дает результатов.

4. Расширенный тест Бертрана

Это расширение, вероятно, впервые появилось у Маргарет Мартин в 1941 году. Краткое доказательство, основанное на тесте Куммера и без технических предположений (например, о существовании пределов), было предоставлено Вячеславом Абрамовым в 2019 году.

Позволять $K\geq 1$ быть целым числом, и пусть $\ln _{(K)}(x)$ обозначают $K$итерация т.е. натурального логарифма , $\ln _{(1)}(x)=\ln(x)$ и для любого $2\leq k\leq K$, $\ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))$.

Предположим, что соотношение $a_{n}/a_{n+1}$, когда $n$ велика, может быть представлена ​​в виде

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.$

(Пустая сумма предполагается равной 0. При $K=1$, тест сводится к критерию Бертрана.)

Значение $\rho _{n}$ можно представить явно в виде

$\rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).$

Расширенный тест Бертрана утверждает, что ряд

• Сходимся, когда существует $c>1$ такой, что $\rho _{n}\geq c$ для всех $n>N$.
• расходятся, когда $\rho _{n}\leq 1$ для всех $n>N$.
• В противном случае тест не дает результатов.

Для лимитной версии серия

• Сходимся, если $\rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1$ (это включает в себя случай $\rho =\infty$)
• расходятся, если $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1$.
• Если $\rho =1$, тест неубедителен.

Если вышеуказанного предела не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. Серия

• Сходимся, если $\liminf \rho _{n}>1$
• расходятся, если $\limsup \rho _{n}<1$
• В противном случае тест не дает результатов.

Информацию о применении расширенного теста Бертрана см. в разделе « Процесс рождения-смерти» .

5. Тест Гаусса

Это расширение принадлежит Карлу Фридриху Гауссу .

Предполагая n _{такую ,} > 0 и r > 1 ограниченную последовательность C _n , можно найти что для всех n :

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}$

тогда серия будет:

• Сходимся, если $\rho >1$
• расходятся, если $\rho \leq 1$

6. Тест Куммера

Это расширение связано с Эрнстом Куммером .

Пусть ζ _n — вспомогательная последовательность положительных констант. Определять

$\rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)$

Тест Куммера утверждает, что серия будет:

• Сходимся, если существует $c>0$ такой, что $\rho _{n}\geq c$ для всех n>N. (Обратите внимание, это не то же самое, что сказать $\rho _{n}>0$)
• расходятся, если $\rho _{n}\leq 0$ для всех n>N и $\sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}$ расходится.

В лимитированной версии серия будет:

• Сходимся, если $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0$ (сюда входит случай ρ = ∞)
• расходятся, если $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0$ и $\sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}$ расходится.
• В противном случае тест не дает результатов

Если вышеуказанного предела не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. Сериал будет

• Сходимся, если $\liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0$
• расходятся, если $\limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0$ и $\sum 1/\zeta _{n}$ расходится.

Особые случаи

Все тесты в иерархии Де Моргана, за исключением теста Гаусса, можно легко рассматривать как частные случаи теста Куммера:

• Для проверки соотношения пусть ζ _n =1. Затем:

$\rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1$

• Для теста Раабе пусть ζ _n =n. Затем:

$\rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1$

• Для теста Бертрана пусть ζ _n =n ln(n). Затем:

$\rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)$

С использованием $\ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)$ и аппроксимация $\ln(1+1/n)\rightarrow 1/n$ для больших n , что незначительно по сравнению с другими членами, $\rho _{\text{Kummer}}$ можно написать:

$\rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1$

• Для расширенного теста Бертрана пусть $\zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n).$ Из расширения ряда Тейлора для больших $n$ мы приходим к приближению

$\ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),$

где пустой продукт предполагается равным 1. Тогда

$\rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left[\prod _{k=1}^{K}\left(\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}\right)\right]+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1).$

Следовательно,

$\rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1.$

Обратите внимание, что для этих четырех тестов, чем выше они находятся в иерархии Де Моргана, тем медленнее $1/\zeta _{n}$ ряд расходится.

Куммера

Если $\rho _{n}>0$ затем зафиксируйте положительное число $0<\delta <\rho _{n}$. Существуетнатуральное число $N$ такой, что для каждого $n>N,$

$\delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}.$

С $a_{n+1}>0$, для каждого $n>N,$

$0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}.$

В частности $\zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}$ для всех $n\geq N$ это означает, что начиная с индекса $N$последовательность $\zeta _{n}a_{n}>0$ монотонно убывает иположительный, что, в частности, означает, что он ограничен снизу 0. Следовательно, предел

$\lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L$ существует.

Это означает, что положительный телескопический ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)$ является сходящимся,

и поскольку для всех $n>N,$

$\delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}$

методом прямого сравнения для положительных серий, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}$ является конвергентным.

С другой стороны, если $\rho <0$, то существует N такое, что $\zeta _{n}a_{n}$ увеличивается за $n>N$. В частности, существует $\epsilon >0$ для чего $\zeta _{n}a_{n}>\epsilon$ для всех $n>N$, и так $\sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}$ расходится по сравнению с $\sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}$.

Куммера

Тонг разработал новую версию теста Куммера. См. также для дальнейших обсуждений и новых доказательств. Приведенная модификация теоремы Куммера характеризуетвсе положительные ряды, а сходимость или расхождение можно сформулировать в виде двух необходимых и достаточных условий: одного для сходимости, другого для расхождения.

• Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность $\zeta _{n}$, $n=1,2,\dots$, такой, что $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.$

• Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность $\zeta _{n}$, $n=1,2,\dots$, такой, что $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,$ и $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .$

Первое из этих утверждений можно упростить следующим образом:

• Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность $\zeta _{n}$, $n=1,2,\dots$, такой, что $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.$

Второе утверждение можно упростить аналогичным образом:

• Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность $\zeta _{n}$, $n=1,2,\dots$, такой, что $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,$ и $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .$

Однако оно становится бесполезным, поскольку условие $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty$ в этом случае сводится к первоначальному иску $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .$

Тест на соотношение Фринка

Другой критерий соотношения, который можно установить в рамках теоремы Куммера, представил Оррин Фринк. 1948.

Предполагать $a_{n}$ представляет собой последовательность в $\mathbb {C} \setminus \{0\}$,

• Если $\limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}$, то ряд $\sum _{n}a_{n}$ сходится абсолютно.
• Если есть $N\in \mathbb {N}$ такой, что ${\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}$ для всех $n\geq N$, затем $\sum _{n}|a_{n}|$ расходится.

Этот результат сводится к сравнению $\sum _{n}|a_{n}|$ со степенным рядом $\sum _{n}n^{-p}$и, как видно, связано с критерием Раабе.

Второй тест Али на соотношение

Более усовершенствованный тест соотношения — это второй тест соотношения: Для $a_{n}>0$ определять:

$L_{0}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}$

$L_{1}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}$

$L\equiv \max(L_{0},L_{1})$

По второму тесту соотношения серия будет:

• Сходимся, если $L<{\frac {1}{2}}$
• расходятся, если $L>{\frac {1}{2}}$
• Если $L={\frac {1}{2}}$ тогда тест не дает результатов.

Если вышеуказанные пределы не существуют, можно использовать верхние и нижние пределы. Определять:

$L_{0}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}$		$L_{1}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}$
$\ell _{0}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}$		$\ell _{1}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}$
$L\equiv \max(L_{0},L_{1})$		$\ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1})$

Тогда в сериале будет:

• Сходимся, если $L<{\frac {1}{2}}$
• расходятся, если $\ell >{\frac {1}{2}}$
• Если $\ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L$ тогда тест не дает результатов.

Али на соотношение м Тест

Этот тест является прямым продолжением второго теста соотношения. Для $0\leq k\leq m-1,$ и позитивный $a_{n}$ определять:

$L_{k}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}$

$L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})$

По $m$тест на соотношение, серия будет:

• Сходимся, если $L<{\frac {1}{m}}$
• расходятся, если $L>{\frac {1}{m}}$
• Если $L={\frac {1}{m}}$ тогда тест не дает результатов.

Если вышеуказанные пределы не существуют, можно использовать верхние и нижние пределы. Для $0\leq k\leq m-1$ определять:

$L_{k}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}$
$\ell _{k}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}$
$L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})$		$\ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{m-1})$

Тогда в сериале будет:

• Сходимся, если $L<{\frac {1}{m}}$
• расходятся, если $\ell >{\frac {1}{m}}$
• Если $\ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L$, то тест не дает результатов.

Критерий φ-отношения Али--Дойче Коэна

Этот тест является расширением $m$тест на соотношение.

Предположим, что последовательность $a_{n}$ является положительной убывающей последовательностью.

Позволять $\varphi :\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}$ быть таким, что $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}$ существует. Обозначим $\alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}$и предположим $0<\alpha <1$.

Предположим также, что $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.$

Тогда в сериале будет:

• Сходимся, если $L<\alpha$
• расходятся, если $L>\alpha$
• Если $L=\alpha$, то тест не дает результатов.

См. также

• Корневой тест
• Радиус схождения

Ссылки

• д'Аламбер, Ж. (1768), Opuscules , vol. В, стр. 171–183 .
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-201-00288-1 : §8.14.
• Кнопп, Конрад (1956), Бесконечные последовательности и серии , Нью-Йорк: Dover Publications, Бибкод : 1956iss..book.....K , ISBN  978-0-486-60153-3 : §3.3, 5.4.
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., ISBN  978-0-07-054235-8 : §3.34.
• «Критерий Бертрана» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Критерий Гаусса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Критерий Куммера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уотсон, Дж.Н.; Уиттакер, ET (1963), Курс современного анализа (4-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-58807-2 : §2.36, 2.37.