Гармонический ряд (математика)

В математике гармонический ряд — это бесконечный ряд, образованный суммированием всех положительных единичных дробей : $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .$$

Первый $n$ сумма членов ряда составляет примерно $\ln n+\gamma$, где $\ln$ натуральный логарифм и $\gamma \approx 0.577$ – постоянная Эйлера–Машерони . Поскольку логарифм имеет сколь угодно большие значения, гармонический ряд не имеет конечного предела: это расходящийся ряд . Его расходимость была доказана в 14 веке Николь Орем с использованием предшественника теста конденсации Коши для сходимости бесконечных рядов. Также можно доказать, что оно расходится, сравнивая сумму с интегралом в соответствии с интегральным тестом на сходимость .

Приложения гармонического ряда и его частичных сумм включают доказательство Эйлера о том, что существует бесконечно много простых чисел , анализ проблемы коллекционера купонов о том, сколько случайных испытаний необходимо, чтобы получить полный набор ответов, связные компоненты случайных графов , проблема укладки блоков: насколько далеко за край таблицы может выступать стек блоков , а также анализ среднего случая алгоритма быстрой сортировки .

История

Волна и ее гармоники с длинами волн $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots$

Название гармонического ряда происходит от понятия обертонов или гармоник в музыке : длины волн обертонов колеблющейся струны равны ${\tfrac {1}{2}}$, ${\tfrac {1}{3}}$, ${\tfrac {1}{4}}$и струны т. д. основной длины волны . Каждый член гармонического ряда после первого является средним гармоническим значением соседних членов, поэтому члены образуют гармоническую прогрессию ; Фразы «гармоническое среднее» и «гармоническая прогрессия» также происходят из музыки. Помимо музыки, гармонические последовательности также пользуются определенной популярностью среди архитекторов. Это было особенно актуально в период барокко , когда архитекторы использовали их для установления пропорций планов этажей , фасадов и для установления гармоничных отношений между внутренними и внешними архитектурными деталями церквей и дворцов.

Расходимость гармонического ряда была впервые доказана в 1350 году Николь Орем . Работа Орема и одновременная работа Ричарда Суайнсхеда над другой серией ознаменовали первое появление бесконечных рядов, отличных от геометрических, в математике. Однако это достижение кануло в безвестность. Дополнительные доказательства были опубликованы в 17 веке Пьетро Менголи. и Якоб Бернулли . Бернулли поблагодарил своего брата Иоганна Бернулли за нахождение доказательства. и позже он был включен в собрание сочинений Иоганна Бернулли.

Частичные суммы гармонического ряда были названы гармоническими числами и получили свои обычные обозначения. $H_{n}$, в 1968 году Дональдом Кнутом .

Определение и расхождение

Гармонический ряд – это бесконечный ряд. $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$$в котором все члены представляют собой положительные единичные доли . Это расходящийся ряд : по мере того, как все больше членов ряда включается в частичные суммы ряда, значения этих частичных сумм становятся сколь угодно большими, выходя за пределы любого конечного предела. Поскольку это расходящийся ряд, его следует интерпретировать как формальную сумму, абстрактное математическое выражение, объединяющее доли единицы, а не как что-то, что можно оценить как числовое значение. Существует множество различных доказательств расхождения гармонических рядов, рассмотренных в статье 2006 года С. Дж. Кифовита и Т. А. Стэмпса. Два самых известных перечислены ниже.

Сравнительный тест

Существуют бесконечные синие прямоугольники, каждый площадью 1/2, но их общая площадь превышает площадь серых полос, обозначающих гармонический ряд.

Один из способов доказать расхождение — сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, где каждый знаменатель заменяется следующей по величине степенью двойки : $${\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}$$Группировка равных членов показывает, что второй ряд расходится (поскольку каждая группа сходящихся рядов является только сходящейся): $${\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}$$Поскольку каждый член гармонического ряда больше или равен соответствующему члену второго ряда (и все члены положительны), и поскольку второй ряд расходится, из этого следует (по критерию сравнения ), что гармонический ряд расходится как хорошо. Тот же аргумент более убедительно доказывает, что для каждого положительного целого числа $k$, $$\sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}$$Это оригинальное доказательство, данное Николь Орем примерно в 1350 году. Тест конденсации Коши является обобщением этого аргумента.

Интегральный тест

Прямоугольники, площадь которых задана гармоническим рядом, и гипербола. $y=1/x$ через верхние левые углы этих прямоугольников

Доказать, что гармонический ряд расходится, можно, сравнивая его сумму с несобственным интегралом . В частности, рассмотрим расположение прямоугольников, показанное на рисунке справа. Каждый прямоугольник имеет ширину 1 единицу и ${\tfrac {1}{n}}$ единиц, поэтому, если гармонический ряд сходится, то общая площадь прямоугольников будет суммой гармонического ряда. Кривая $y={\tfrac {1}{x}}$ остается полностью ниже верхней границы прямоугольников, поэтому площадь под кривой (в диапазоне $x$ от единицы до бесконечности, покрытое прямоугольниками) будет меньше площади объединения прямоугольников. Однако площадь под кривой определяется расходящимся несобственным интегралом , $$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .$$Поскольку этот интеграл не сходится, сумма также не может сходиться.

На рисунке справа сдвиг каждого прямоугольника влево на 1 единицу приведет к созданию последовательности прямоугольников, граница которых находится ниже кривой, а не над ней.Это показывает, что частные суммы гармонического ряда отличаются от интеграла на величину, ограниченную сверху и снизу единицей площади первого прямоугольника: $$\int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.$$Обобщая этот аргумент, любая бесконечная сумма значений монотонно убывающей положительной функции $n$ (как и гармонический ряд) имеет частичные суммы, находящиеся на ограниченном расстоянии от значений соответствующих интегралов. Следовательно, сумма сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл по той же области значений одной и той же функции. Когда эта эквивалентность используется для проверки сходимости суммы путем замены ее более простым интегралом, это называется интегральным тестом на сходимость .

Частичные суммы

Основная статья: Число гармоник

$n$	Частичная сумма гармонического ряда, $H_{n}$
	выраженный в виде дроби		десятичный	относительный размер
1	1		~ 1	1
2	3	/2	1.5	1.5
3	11	/6	~1.83333	1.83333
4	25	/12	~2.08333	2.08333
5	137	/60	~2.28333	2.28333
6	49	/20	2.45	2.45
7	363	/140	~2.59286	2.59286
8	761	/280	~2.71786	2.71786
9	7129	/2520	~2.82897	2.82897
10	7381	/2520	~2.92897	2.92897
11	83711	/27720	~3.01988	3.01988
12	86021	/27720	~3.10321	3.10321
13	1145993	/360360	~3.18013	3.18013
14	1171733	/360360	~3.25156	3.25156
15	1195757	/360360	~3.31823	3.31823
16	2436559	/720720	~3.38073	3.38073
17	42142223	/12252240	~3.43955	3.43955
18	14274301	/4084080	~3.49511	3.49511
19	275295799	/77597520	~3.54774	3.54774
20	55835135	/15519504	~3.59774	3.59774

Добавление первого $n$ Члены гармонического ряда дают частичную сумму , называемую гармоническим числом и обозначаемую $H_{n}$: $$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$$

Темпы роста

Эти числа растут очень медленно, с логарифмическим ростом , как видно из интегрального теста. Точнее, по формуле Эйлера– Маклорена $$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}$$где $\gamma \approx 0.5772$ – постоянная Эйлера–Машерони и $0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}$ который приближается к 0 как $n$ уходит в бесконечность.

Делимость

Никакие номера гармоник не являются целыми числами, за исключением $H_{1}=1$. Один из способов доказать это $H_{n}$ не является целым числом, следует рассматривать высшую степень двойки $2^{k}$ в диапазоне от 1 до $n$. Если $M$ – наименьшее общее кратное чисел от 1 до $n$, затем $H_{k}$ можно переписать в виде суммы дробей с равными знаменателями $$H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}$$в котором только один из числителей, $M/2^{k}$, нечетно, а остальные четны, и (когда $n>1$) $M$ сам по себе четный. Следовательно, в результате получается дробь с нечетным числителем и четным знаменателем, которая не может быть целым числом. Более строго: любая последовательность последовательных целых чисел имеет уникальный член, делящийся на большую степень двойки, чем все остальные члены последовательности, из чего с помощью того же аргумента следует, что никакие два гармонических числа не отличаются на целое число.

Другое доказательство того, что числа гармоник не являются целыми числами, состоит в том, что знаменатель $H_{n}$ должно делиться на все простые числа больше $n/2$и использует постулат Бертрана , чтобы доказать, что это множество простых чисел непусто. Тот же аргумент более убедительно подразумевает, что, за исключением $H_{1}=1$, $H_{2}=1.5$, и $H_{6}=2.45$, ни одно гармоническое число не может иметь конечное десятичное представление. Была выдвинута гипотеза, что каждое простое число делит числители только конечного подмножества гармонических чисел, но это остается недоказанным.

Интерполяция

Дигамма -функция комплексных чисел

Дигамма -функция определяется как логарифмическая производная гамма -функции. $$\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.$$Так же, как гамма-функция обеспечивает непрерывную интерполяцию факториалов что , дигамма-функция обеспечивает непрерывную интерполяцию чисел гармоник в том смысле, $\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$. Это уравнение можно использовать для распространения определения на гармонические числа с рациональными индексами.

Приложения

Многие известные математические задачи имеют решения, включающие гармонический ряд и его частичные суммы.

Пересечение пустыни

Основная статья: Проблема с джипом

Решение проблемы джипа для $n=3$, показывающий количество топлива на каждом складе и в джипе на каждом этапе

Задача о джипах или задача о пересечении пустыни включена в сборник задач 9-го века Алкуина « Propositiones ad Acuendos Juvenes» (сформулированный в терминах верблюдов, а не джипов), но с неправильным решением. Задача состоит в том, как далеко в пустыню может проехать джип и вернуться, начиная с базы с $n$ грузы топлива, вывозя часть топлива в пустыню и оставляя его на складах. Оптимальное решение предполагает размещение складов, расположенных на расстоянии ${\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n-1)}},{\tfrac {r}{2(n-2)}},\dots$ от начальной точки и друг друга, где $r$ — это расстояние, которое джип может преодолеть с одной заправкой топлива. При каждой поездке от базы и обратно джип размещает еще один склад, по пути дозаправляясь на других складах и помещая как можно больше топлива на новый склад, оставляя при этом достаточно для себя, чтобы вернуться на предыдущий. склады и база. Таким образом, общее расстояние, пройденное на $n$эта поездка $${\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+{\frac {r}{2(n-2)}}+\cdots ={\frac {r}{2}}H_{n},$$где $H_{n}$ это $n$номер гармоники . Из расходимости гармонического ряда следует, что при достаточном количестве топлива возможны пересечения любой длины.

Например, для версии проблемы Алкуина: $r=30$: верблюд может нести 30 мер зерна и может проехать одну лейку, съев при этом одну меру, где лейка — это единица расстояния, примерно равная 2,3 км (1,4 мили). Проблема имеет $n=3$: имеется 90 мер зерна, достаточно для снабжения трех рейсов. При стандартной формулировке задачи о пересечении пустыни верблюд мог бы путешествовать ${\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}})=27.5$ лей и обратно, разместив зернохранилище 5 лей от базы при первой поездке и 12,5 лей от базы при второй поездке. Однако вместо этого Алкуин задает немного другой вопрос: сколько зерна можно перевезти на расстояние в 30 лейков без последнего обратного пути, и либо застревает в пустыне, либо не учитывает количество зерна, потребляемого верблюдом на своем пути. обратные поездки.

Укладка блоков

Основная статья: Проблема укладки блоков

Проблема укладки блоков : блоки, выровненные в соответствии с гармоническим рядом, могут выступать за край стола на номера гармоник.

В задаче о штабелировании блоков необходимо поместить стопку $n$ одинаковые прямоугольные блоки, по одному на слой, так, чтобы они свешивались как можно дальше за край стола, не падая. Верхний блок можно разместить с ${\tfrac {1}{2}}$ его длины, выходящей за пределы следующего нижнего блока. Если он размещен таким образом, следующий блок вниз должен быть размещен не более ${\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}$ его длина выходит за пределы следующего нижнего блока, так что центр масс двух верхних блоков поддерживается и они не опрокидываются. Третий блок необходимо разместить не более ${\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}$ его длина выходит за пределы следующего нижнего блока и так далее. Таким образом, можно разместить $n$ блоки таким образом, что они расширяются ${\tfrac {1}{2}}H_{n}$ длины за пределами таблицы, где $H_{n}$ это $n$номер гармоники . Расхождение гармонического ряда подразумевает, что нет предела тому, как далеко за пределы таблицы может простираться стек блоков. Для стопок с одним блоком на слой лучшее решение невозможно, но значительно большего выступа можно добиться, используя стопки с более чем одним блоком на слой.

Подсчет простых чисел и делителей

Основная статья: Расхождение суммы обратных простых чисел

В 1737 году Леонард Эйлер заметил, что как формальная сумма гармонический ряд равен произведению Эйлера , в котором каждый член представляет собой простое число : $$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}},$$ где $\mathbb {P}$ обозначает множество простых чисел. Левое равенство возникает в результате применения распределительного закона к произведению и признания полученных членов простыми факторизациями членов гармонического ряда, а правое равенство использует стандартную формулу для геометрической прогрессии . Произведение расходится, как и сумма, но если бы оно сходилось, можно было бы логарифмировать и получить $$\ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}+K.$$Здесь каждый логарифм заменяется своим рядом Тейлора , а константа $K$ справа — оценка сходящегося ряда членов с показателем степени больше единицы. Из этих манипуляций следует, что сумма обратных простых чисел в правой части этого равенства должна расходиться, поскольку, если бы она сходилась, эти шаги можно было бы повернуть вспять, чтобы показать, что гармонический ряд также сходится, чего на самом деле нет. Непосредственным следствием является то, что существует бесконечно много простых чисел , поскольку конечная сумма не может расходиться. Хотя работа Эйлера не считается достаточно строгой по стандартам современной математики, ее можно сделать строгой, если уделять больше внимания пределам и границам ошибок. Вывод Эйлера о том, что частичные суммы обратных простых чисел растут как двойной логарифм числа членов, был подтвержден более поздними математиками как одна из теорем Мертенса : и может рассматриваться как предшественник теоремы о простых числах .

Другая проблема теории чисел, тесно связанная с гармоническим рядом, касается среднего числа делителей чисел в диапазоне от 1 до $n$, формализованный как средний порядок функции делителя , $${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{i}}=H_{n}.$$Операция округления каждого члена гармонического ряда до следующего меньшего целого числа, кратного ${\tfrac {1}{n}}$ заставляет это среднее отличаться от номеров гармоник на небольшую константу, а Питер Густав Лежен Дирихле более точно показал, что среднее число делителей равно $\ln n+2\gamma -1+O(1/{\sqrt {n}})$ (выражено в большой записи O ). Более точное определение конечного члена ошибки остается открытой проблемой, известной как проблема делителей Дирихле .

Сбор купонов

Основная статья: Проблема коллекционера купонов

График зависимости количества предметов от ожидаемого количества попыток, необходимых для сбора всех предметов

Некоторые распространенные игры или развлечения включают повторение случайного выбора из набора предметов до тех пор, пока не будут выбраны все возможные варианты; к ним относятся коллекция коллекционных карточек и завершение бинго parkrun , цель которого состоит в том, чтобы получить все 60 возможных чисел секунд за раз из последовательности беговых событий. Более серьезные применения этой проблемы включают отбор проб всех вариантов произведенного продукта для контроля его качества . и связность случайных графов . В ситуациях такой формы, как только возникают $k$ предметы, оставшиеся подлежащими сбору, из общего числа $n$ равновероятные предметы, вероятность собрать новый предмет при одном случайном выборе равна $k/n$ а ожидаемое количество случайных выборов, необходимых, пока не будет собран новый предмет, равно $n/k$. Суммируя все значения $k$ от $n$ до 1 показывает, что общее ожидаемое количество случайных выборов, необходимых для сбора всех предметов, равно $nH_{n}$, где $H_{n}$ это $n$номер гармоники .

Анализ алгоритмов

Основная статья: Быстрая сортировка

Анимация версии быстрой сортировки для среднего случая, с рекурсивными подзадачами, обозначенными заштрихованными стрелками, и с опорными точками (красные элементы и синие линии), выбранными в качестве последнего элемента в каждой подзадаче.

Алгоритм быстрой сортировки набора элементов можно проанализировать с помощью гармонических чисел. Алгоритм работает, выбирая один элемент в качестве «опорной точки», сравнивая его со всеми остальными и рекурсивно сортируя два подмножества элементов, сравнение которых помещает их перед опорной точкой и после опорной точки. Либо в среднем случае сложности (с предположением, что все входные перестановки одинаково вероятны), либо в ожидаемом временном анализе входных данных для наихудшего случая со случайным выбором опорной точки все элементы с одинаковой вероятностью будут выбраны в качестве опорной точки. . В таких случаях можно вычислить вероятность того, что два элемента когда-либо будут сравниваться друг с другом на протяжении всей рекурсии, как функцию количества других элементов, которые разделяют их в окончательном отсортированном порядке. Если предметы $x$ и $y$ разделены $k$ другие элементы, то алгоритм проведет сравнение между $x$ и $y$ только тогда, когда по ходу рекурсии она выбирает $x$ или $y$ в качестве основы перед выбором любого другого $k$ предметы между ними. Потому что каждый из этих $k+2$ предметы с равной вероятностью будут выбраны первыми, это происходит с вероятностью ${\tfrac {2}{k+2}}$. Общее ожидаемое количество сравнений, которое контролирует общее время работы алгоритма, затем может быть рассчитано путем суммирования этих вероятностей по всем парам, что дает $$\sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1}^{n-1}2H_{i}=O(n\log n).$$Расхождение гармонического ряда в этом приложении соответствует тому факту, что в сравнительной модели сортировки, используемой для быстрой сортировки, сортировка невозможна за линейное время .

Похожие серии

См. Также: Список сумм обратных величин.

Переменный гармонический ряд

См. Также: Теорема о рядах Римана § Изменение суммы

Первые четырнадцать частичных сумм чередующихся гармонических рядов (отрезки черной линии) показаны сходящимися к натуральному логарифму 2 (красная линия).

Серия $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$$известен как знакопеременный гармонический ряд . Оно условно сходится по признаку знака знакопеременного ряда , но не абсолютно сходится . Его сумма представляет собой натуральный логарифм числа 2 .

Явно асимптотическое разложение ряда имеет вид

$${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{2n}}+O(n^{-2})$$

Использование чередующихся знаков только с нечетными долями единицы дает связанный ряд - формулу Лейбница для π. $$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.$$

Дзета-функция Римана

Основная статья: дзета-функция Римана

Дзета- функция Римана определена для реального $x>1$ сходящимся рядом $$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,$$для чего $x=1$ будет гармонический ряд. Его можно расширить путем аналитического продолжения до голоморфной функции для всех комплексных чисел, кроме $x=1$, где расширенная функция имеет простой полюс . Другие важные значения дзета-функции включают в себя $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$, решение Базельской задачи , постоянная Апери $\zeta (3)$, доказал которое Роджер Апери как иррациональное число , и «критическая линия» комплексных чисел с действительной частью ${\tfrac {1}{2}}$, которые, согласно гипотезе Римана, являются единственными значениями, отличными от отрицательных целых чисел, при которых функция может быть равна нулю.

Случайный гармонический ряд

Случайный гармонический ряд – это $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},$$где значения $s_{n}$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , которые принимают два значения $+1$ и $-1$ с равной вероятностью ${\tfrac {1}{2}}$. Он сходится с вероятностью 1 , как можно увидеть, используя теорему Колмогорова о трех рядах или тесно связанное с ней максимальное неравенство Колмогорова . Сумма ряда представляет собой случайную величину, которой функция плотности вероятности близка к ${\tfrac {1}{4}}$ для значений между $-1$ и $1$и уменьшается почти до нуля для значений, превышающих $3$ или меньше чем $-3$. Промежуточные между этими диапазонами, при значениях $\pm 2$, плотность вероятности равна ${\tfrac {1}{8}}-\varepsilon$ для ненулевого, но очень маленького значения $\varepsilon <10^{-42}$.

Обедненный гармонический ряд

Основная статья: серия Кемпнера

Можно показать, что обедненный гармонический ряд, из которого удалены все члены, в которых цифра 9 появляется где-либо в знаменателе, сходится к значению 22,92067 66192 64150 34816 ... . Фактически, когда удаляются все члены, содержащие какую-либо конкретную строку цифр (в любом основании ), ряд сходится.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармонический ряд» . Математический мир .