Дигамма-функция

Чтобы узнать о гамма-функции Барнса двух переменных, см. двойную гамма-функцию .

Дигамма-функция $\psi (z)$,
визуализируется с использованием окраски домена

Графики реальной части дигаммы и следующих трех полигамма-функций вдоль действительной линии

В математике дигамма -функция определяется как логарифмическая производная гамма -функции :

$\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.$

Это первая из полигамма-функций . Эта функция строго возрастает и строго вогнута на $(0,\infty )$, и асимптотически ведет себя как

$\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},$

для комплексных чисел с большим модулем ( $|z|\rightarrow \infty$) в секторе $|\arg z|<\pi -\varepsilon$ с некоторой бесконечно малой положительной константой $\varepsilon$.

Дигамма-функция часто обозначается как $\psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)$ или Ϝ (заглавная форма архаической греческой согласной дигаммы, означающей двойную гамма ).

гармоник

Гамма-функция подчиняется уравнению

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,$

Логарифмирование обеих частей дает:

$\ln(\Gamma (z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma (z)),$

Дифференцирование обеих частей по z дает:

$\psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}$

Поскольку числа гармоник определяются для натуральных чисел n как

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

дигамма-функция связана с ними соотношением

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

где H ₀ = 0, а γ — постоянная Эйлера–Машерони . Для полуцелых аргументов дигамма-функция принимает значения

$\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.$

Интегральные представления

Если действительная часть z положительна, то дигамма-функция имеет следующее интегральное представление Гаусса:

$\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.$

Объединив это выражение с интегральным тождеством для постоянной Эйлера–Машерони $\gamma$ дает:

$\psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.$

Интеграл - это гармоническое число Эйлера. $H_{z}$, поэтому предыдущую формулу можно также записать

$\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.$

Следствием является следующее обобщение рекуррентного соотношения:

$\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.$

Интегральное представление Дирихле:

$\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.$

Интегральным представлением Гаусса можно манипулировать, чтобы дать начало асимптотическому расширению $\psi$.

$\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.$

Эта формула также является следствием первого интеграла Бине для гамма-функции. Интеграл можно рассматривать как преобразование Лапласа .

Второй интеграл Бине для гамма-функции дает другую формулу для $\psi$ что также дает первые несколько членов асимптотического разложения:

$\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.$

Из определения $\psi$ и интегральное представление гамма-функции, получаем

$\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,$

с $\Re z>0$.

Бесконечное представление продукта

Функция $\psi (z)/\Gamma (z)$ это целая функция, и его можно представить бесконечным произведением

${\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.$

Здесь $x_{k}$ является k -м нулем числа $\psi$ (см. ниже) и $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони .

Примечание. Это также равно $-{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}$ из-за определения дигамма-функции: ${\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)$.

Представление серии

Формула ряда

Формула произведения Эйлера для гамма-функции в сочетании с функциональным уравнением и тождеством константы Эйлера-Машерони дает следующее выражение для дигамма-функции, действительное в комплексной плоскости за пределами отрицательных целых чисел (Абрамовиц и Стегун 6.3.16):

${\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}$

Эквивалентно,

${\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots .\end{aligned}}$

Вычисление сумм рациональных функций

Приведенное выше тождество можно использовать для оценки сумм вида

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},$

где p ( n ) и q ( n ) являются полиномами от n .

Выполняя дробь от комплексном в _un поле, в случае, когда все корни q ( n ) являются простыми корнями,

$u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.$

Чтобы ряд сходился,

$\lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,$

в противном случае ряд будет больше гармонического ряда и, следовательно, расходится. Следовательно

$\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,$

и

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}$

При разложении в ряд полигамма-функции более высокого ранга обобщенную формулу можно записать как

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),$

при условии, что ряд слева сходится.

Серия Тейлора

Дигамма имеет рациональный дзета-ряд , заданный рядом Тейлора при z = 1 . Это

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k},$

который сходится для | г | < 1 . Здесь ζ ( n ) — дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица .

Серия Ньютона

для Ряд Ньютона дигаммы, иногда называемый рядом Стерна , получен Морицем Абрахамом Стерном в 1847 году. читает

${\begin{aligned}\psi (s)&=-\gamma +(s-1)-{\frac {(s-1)(s-2)}{2\cdot 2!}}+{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot 3!}}\cdots ,\quad \Re (s)>0,\\&=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s-1}{k}}\cdots ,\quad \Re (s)>0.\end{aligned}}$

где ( ^с
_k ) – биномиальный коэффициент . Его также можно обобщить на

$\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,$

где m = 2, 3, 4,...

второго

Существуют различные ряды для дигаммы, содержащие рациональные коэффициенты только для рациональных аргументов. В частности, ряд с коэффициентами Грегори G _n имеет вид

$\psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,$

$\psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,$

$\psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,$

где ( v ) _n — возрастающий факториал ( v ) _n = v ( v +1)( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) — коэффициенты Грегори высшего порядка с G _n (1) = G _n , Γ — гамма-функция и ζ – дзета- функция Гурвица . Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C _n имеет вид

$\psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,$

Ряд с полиномами Бернулли второго рода имеет следующий вид

$\psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,$

где ψ _n ( a ) — полиномы Бернулли второго рода, определяемые порождающим уравнение

${\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,$

Это может быть обобщено на

$\psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots$

где многочлены N _n,r ( a ) задаются следующим производящим уравнением

${\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,$

так что N _n,1 ( a ) знак равно ψ _n ( a ) . Подобные выражения с логарифмом гамма-функции включают в себя эти формулы

$\psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,$

и

$\psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},$

где $\Re (v)>-a$ и $r=2,3,4,\ldots$.

Формула отражения

Дигамма-функции и полигамма-функции удовлетворяют формулам отражения, аналогичным формулам гамма-функции :

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x$.

$\psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}$.

рекуррентности

Дигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

$\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.$

Таким образом, можно сказать, что это «телескоп». 1 / x , поскольку у одного есть

$\Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}$

где ∆ — оператор прямой разности . Это удовлетворяет рекуррентному соотношению частичной суммы гармонического ряда , отсюда следует формула

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони .

Фактически ψ является единственным решением функционального уравнения

$F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}$

монотонный ​ на R ⁺ и удовлетворяет условию F (1) = − γ . Этот факт непосредственно следует из единственности Г- функции с учетом ее рекуррентного уравнения и ограничения выпуклости. Отсюда следует полезное разностное уравнение:

$\psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}$

включающие дигамм

Существует множество конечных формул суммирования для дигамма-функции. Основные формулы суммирования, такие как

$\sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),$

$\sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

принадлежат Гауссу. Более сложные формулы, например

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}$

связаны с работами некоторых современных авторов (см., например, Приложение B в Blagouchine (2014) ).

У нас также есть

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...$

Гаусса

Для положительных целых чисел r и m ( r < m ) дигамма-функция может быть выражена через константу Эйлера и конечное число элементарных функций.

$\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)$

которое, благодаря своему рекуррентному уравнению, справедливо для всех рациональных аргументов.

Теорема умножения

Теорема умножения $\Gamma$-функция эквивалентна

$\psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi (z+{\frac {k}{n}})+\ln n.$

Асимптотическое

Дигамма-функция имеет асимптотическое разложение

$\psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},$

где Bk _число — k-е , Бернулли а ζ — дзета- функция Римана . Первые несколько условий этого расширения:

$\psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .$

Хотя бесконечная сумма не сходится ни при каком z , любая конечная частичная сумма становится все более точной по мере увеличения z .

Разложение можно найти, применив формулу Эйлера–Маклорена к сумме

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)$

Разложение также можно получить из интегрального представления, исходящего из второй интегральной формулы Бине для гамма-функции. Расширение $t/(t^{2}+z^{2})$как геометрический ряд и замена чисел Бернулли интегральным представлением приводит к тому же асимптотическому ряду, что и выше. Более того, расширение только конечного числа членов ряда дает формулу с явной ошибкой:

$\psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.$

Неравенства

Когда x > 0 , функция

$\ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)$

совершенно монотонна и, в частности, положительна. Это следствие теоремы Бернштейна о монотонных функциях , примененной к интегральному представлению, исходящему из первого интеграла Бине для гамма-функции. Кроме того, по неравенству выпуклости $1+t\leq e^{t}$, подынтегральная функция в этом представлении ограничена сверху величиной $e^{-tz}/2$. Следовательно

${\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)$

также совершенно монотонна. Отсюда следует, что для всех x > 0

$\ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.$

Это восстанавливает теорему Хорста Альцера. Альцер также доказал, что для s ∈ (0, 1 )

${\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),$

Соответствующие оценки были получены Елезовичем, Джордано и Пекаричем, которые доказали, что для x > 0

$\ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},$

где $\gamma =-\psi (1)$ – постоянная Эйлера–Машерони . Константы ( $0.5$ и $e^{-\gamma }\approx 0.56$), появляющиеся в этих границах, являются наилучшими из возможных.

Теорема о среднем значении подразумевает следующий аналог неравенства Гаучи : если x > c , где c ≈ 1,461 — единственный положительный действительный корень дигамма-функции, и если s > 0 , то

$\exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).$

Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда s = 1 .

Вдохновленные гармоническим неравенством среднего значения для классической гамма-функции, Хорцт Альцер и Грэм Джеймсон доказали, среди прочего, гармоническое неравенство среднего значения для дигамма-функции:

$-\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}$ для $x>0$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x=1$.

Расчет и аппроксимация

Асимптотическое разложение дает простой способ вычислить ψ ( x ) , когда действительная часть x велика. Чтобы вычислить ψ ( x ) для малого x , рекуррентное соотношение

$\psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)$

может использоваться для смещения значения x к более высокому значению. Бил предлагает использовать приведенную выше повторяемость, чтобы сдвинуть x до значения больше 6, а затем применить приведенное выше расширение с членами выше x. ¹⁴ отрезано, что дает «более чем достаточную точность» (не менее 12 цифр, за исключением нулей).

Когда x стремится к бесконечности, ψ ( x ) становится сколь угодно близким к обоим ln ( x − 1/2 ​ ​ ) и ln x . При переходе от x + 1 к x ψ уменьшается на 1 / x , ln( x − 1/2 ) уменьшается + на ( x ln 1 / 2 ) / ( Икс - 1/2 чем , ) , что больше 1 / x , а ln x уменьшается на ln(1 + 1 / x ) , что меньше 1 / х . Отсюда мы видим, что для любого положительного x , большего 1 / 2 ,

$\psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)$

или, для любого положительного x ,

$\exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).$

Экспонента exp ψ ( x ) приблизительно равна x − 1/2 x x для больших , но приближается к x при малых x , приближаясь к 0 при = 0 .

Для x < 1 мы можем вычислить пределы, основываясь на том факте, что между 1 и 2 ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] , поэтому

$\psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)$

или

$\exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).$

Из приведенного выше асимптотического ряда для ψ можно вывести асимптотический ряд для exp(− ψ ( x )) . Ряд хорошо соответствует общему поведению, то есть он ведет себя асимптотически так, как и должно быть для больших аргументов, а также имеет нуль неограниченной множественности в начале координат.

${\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots$

Это похоже на разложение Тейлора exp(− ψ (1/ y )) при y = 0 , но оно не сходится. (Функция не является аналитической на бесконечности.) Аналогичный ряд существует для exp( ψ ( x )) который начинается с $\exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.$

Если вычислить асимптотический ряд для ψ ( x +1/2), нет то окажется, что нечетных степеней x (нет x ⁻¹ срок). Это приводит к следующему асимптотическому разложению, которое сохраняет вычислительные члены четного порядка.

$\exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots$

По духу сходен с приближением Ланцоша $\Gamma$-функция является приближением Спуджа .

Другая альтернатива — использовать рекуррентное соотношение или формулу умножения для сдвига аргумента $\psi (x)$ в диапазон $1\leq x\leq 3$ и там оценить сериал Чебышева.

Специальные значения

Дигамма-функция имеет значения в замкнутой форме для рациональных чисел в результате дигамм-теоремы Гаусса . Некоторые из них перечислены ниже:

${\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}$

Более того, взяв логарифмическую производную от $|\Gamma (bi)|^{2}$ или $|\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}$ где $b$ имеет действительное значение, можно легко вывести, что

$\operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),$

$\operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).$

За исключением дигамм-теоремы Гаусса, для вещественной части вообще не известна такая замкнутая формула. Мы имеем, например, в мнимой единице числовое приближение

$\operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.$

Корни дигамма-функции

Корни дигамма-функции являются седловыми точками комплекснозначной гамма-функции. Таким образом, все они лежат на действительной оси . Единственный на положительной действительной оси - это единственный минимум вещественной гамма-функции на R. ⁺ при х ₀ = 1,461 632 144 968 362 341 26 ... . Все остальные возникают одиночно между полюсами на отрицательной оси:

х ₁ = −0,504 083 008 264 455 409 25 ...

х ₂ = −1,573 498 473 162 390 458 77 ...

х ₃ = −2,610 720 868 444 144 650 00 ...

х ₄ = −3,635 293 366 436 901 097 83 ...

$\vdots$

Уже в 1881 году Чарльз Эрмит заметил что

$x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)$

выполняется асимптотически. Лучшее приближение расположения корней дает выражение

$x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2$

а используя еще один термин, становится еще лучше

$x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1$

которые оба вытекают из формулы отражения через

$0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}$

и подставляя ψ ( x _n ) его несходящимся асимптотическим разложением. Правильный второй член этого разложения равен 1/2 n малыми , где данный хорошо подходит для аппроксимации корней с n .

Можно дать еще одно усовершенствование формулы Эрмита:

$x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).$

Что касается нулей, Иштван Мезё и Майкл Хоффман недавно доказали следующие тождества с бесконечной суммой.

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}$

В общем, функция

$Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}$

может быть определена и подробно изучена цитируемыми авторами.

Следующие результаты

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}$

также верны.

Регуляризация

Дигамма-функция появляется при регуляризации расходящихся интегралов.

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},$

этот интеграл можно аппроксимировать расходящимся общим гармоническим рядом, но ряду можно придать следующее значение

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).$

См. также

• Полигамма-функция
• Тригамма-функция
• Чебышёвские разложения дигамма-функции в Слабак, Джет (1961). «Полиномиальные аппроксимации интегральных преобразований» . Математика. Комп . 15 (74): 174–178. дои : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A020759 (десятичное расширение (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2), где Gamma(x) обозначает гамма-функцию) —psi(1/2)

OEIS : A047787 фунтов на квадратный дюйм(1/3), OEIS : A200064 фунтов на квадратный дюйм(2/3), OEIS : A020777 фунтов на квадратный дюйм(1/4), OEIS : A200134 фунтов на квадратный дюйм(3/4), OEIS : от A200135 до OEIS : A200138 фунтов на квадратный дюйм(1) /5) до фунтов на квадратный дюйм (4/5).