Конечная разница

Конечная разность — это математическое выражение формы f ( x + b ) − f ( x + a ) . Если конечную разность разделить на b − a , получится частное разности . Аппроксимация производных конечными разностями играет центральную роль в -разностных методах численного конечно решения дифференциальных уравнений , особенно краевых задач .

Разностный оператор , обычно обозначаемый $\Delta$ это оператор , который отображает функцию f в функцию $\Delta [f]$ определяется $$\Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).$$Разностное уравнение — это функциональное уравнение , которое включает в себя конечно-разностный оператор так же, как дифференциальное уравнение включает в себя производные . Между разностными и дифференциальными уравнениями есть много общего, особенно в методах решения. Некоторые рекуррентные соотношения можно записать в виде разностных уравнений, заменив итерационные обозначения конечными разностями.

В численном анализе конечные разности широко используются для аппроксимации производных , а термин «конечная разность» часто используется как сокращение от «конечная разность производных». Конечно-разностные аппроксимации представляют собой конечно-разностные факторы в терминологии, использованной выше.

Конечные разности были введены Бруком Тейлором в 1715 году и также изучались как абстрактные самостоятельные математические объекты в работах Джорджа Буля (1860), Л. М. Милн-Томсона (1933) и Кароли Джордана (1939). Конечные разности берут свое начало от одного из Йоста Бюрги алгоритмов ( ок. 1592 г. ) и работ других авторов, включая Исаака Ньютона . Формальное исчисление конечных разностей можно рассматривать как альтернативу исчислению бесконечно малых .

Основные типы

Три типа конечных разностей. Центральная разность относительно x дает наилучшее приближение производной функции в точке x .

Обычно рассматриваются три основных типа: прямые , обратные и центральные конечные разности.

А форвардная разница , обозначаемая $\Delta _{h}[f],$ функции как f — это функция, определенная $$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).$$

В зависимости от применения расстояние h может быть переменным или постоянным. Если этот параметр опущен, h принимается равным 1; то есть, $$\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).$$

А обратная разница использует значения функции в точках x и x − h вместо значений в точках x + h и x : $$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).$$

Наконец, Центральная разница определяется выражением $$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).$$

Связь с деривативами

Конечная разность часто используется как аппроксимация производной, обычно при численном дифференцировании .

Производная f функции x точке в определяется пределом $$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$$

Если h имеет фиксированное (ненулевое) значение вместо того, чтобы приближаться к нулю, то правая часть приведенного выше уравнения будет записана как $${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$$

Следовательно, прямая разность, деленная на h, аппроксимирует производную, когда h мало. Ошибку в этом приближении можно вывести из теоремы Тейлора . Предполагая, что f дважды дифференцируемо, имеем $${\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.$$

Та же формула справедлива и для обратной разницы: $${\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.$$

Однако центральная (также называемая центрированной) разность дает более точное приближение. Если f трижды дифференцируемо, $${\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).$$

Основная проблема Однако метод центральной разности заключается в том, что осциллирующие функции могут давать нулевую производную. Если f ( nh ) = 1 для n нечетного и f ( nh ) = 2 для n четного , то f ′( nh ) = 0, если оно вычисляется по схеме центральной разности . Это особенно проблематично, если область определения f дискретна. См. также Симметричная производная .

Авторы, для которых конечные разности означают аппроксимации с помощью конечных разностей, определяют прямые/обратные/центральные разности как коэффициенты, приведенные в этом разделе (вместо использования определений, данных в предыдущем разделе).

Различия высшего порядка

Аналогичным образом можно получить конечно-разностные аппроксимации производных высших порядков и дифференциальных операторов. Например, используя приведенную выше формулу центральной разности для f ′( x + ⁠ час / 2 ⁠ ) и ж ′( Икс - ⁠ h / 2 ⁠ ) и применяя формулу центральной разности для производной f ′ в точке x , мы получаем аппроксимацию центральной разности второй производной f :

Центральный второго порядка

$f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

Аналогичным образом мы можем рекурсивно применять и другие формулы разностей.

Второй порядок вперед

$f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$

Второй порядок назад

$f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.$

В более общем смысле, разности n прямые, обратные и центральные -го порядка определяются соответственно формулами:

Вперед

$\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},$

Назад

$\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$

Центральный

$\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

В этих уравнениях используются биномиальные коэффициенты после знака суммы, показанного как ( ^н
_я ) . Каждая строка треугольника Паскаля содержит коэффициент для каждого значения i .

Обратите внимание, что центральная разница для нечетного n , будет равна h умноженному на нецелые числа. Это часто является проблемой, поскольку это сводится к изменению интервала дискретизации. Проблему можно решить, взяв среднее значение δ ^н [ ж ]( Икс - ⁠ ч / 2 ⁠ ) и δ ^н [ ж ]( х + ⁠ h / 2 ⁠ ) .

Прямые разности, применяемые к последовательности , иногда называют биномиальным преобразованием последовательности и обладают рядом интересных комбинаторных свойств. Прямые разности можно оценить с помощью интеграла Нёрлунда – Райса . Интегральное представление для этих типов рядов интересно, потому что интеграл часто можно вычислить с использованием асимптотического разложения или перевала методов ; напротив, ряд прямых разностей может быть чрезвычайно сложно оценить численно, поскольку биномиальные коэффициенты быстро растут при больших n .

Связь этих разностей более высокого порядка с соответствующими производными очевидна: $${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o\left(h^{2}\right).$$

Разности более высокого порядка также можно использовать для построения лучших приближений. Как упоминалось выше, разность первого порядка аппроксимирует производную первого порядка с точностью до члена порядка h . Однако сочетание $${\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}$$аппроксимирует f ′( x ) до члена порядка h ² . Это можно доказать, разложив приведенное выше выражение в ряд Тейлора или используя исчисление конечных разностей, объясненное ниже.

При необходимости конечную разность можно центрировать вокруг любой точки путем смешивания прямых, обратных и центральных разностей.

Полиномы

Для данного многочлена степени n ≥ 1 , выраженного в функции P ( x ) , с действительными числами a ≠ 0 и b и членами более низкого порядка (если таковые имеются), отмеченными как лот : $$P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.$$

После n попарных отличий можно получить следующий результат, где h ≠ 0 — действительное число, обозначающее арифметическую разность: $$\Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!$$

Остается только коэффициент при члене высшего порядка. Поскольку этот результат постоянен по отношению к x , любые дальнейшие попарные различия будут иметь значение 0 .

Индуктивное доказательство

Базовый вариант

Пусть Q ( x ) — многочлен степени 1 : $$\Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!$$

Это доказывает это для базового случая.

Индуктивный шаг

Пусть R ( x ) — многочлен степени m − 1 , где m ≥ 2 , а коэффициент при члене старшего порядка a ≠ 0 . справедливо следующее Предполагая, что для всех многочленов степени m − 1 : $$\Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!$$

Пусть S ( x ) — многочлен степени m . С одной попарной разницей: $$\Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]-[ax^{m}+bx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]=ahmx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}=T(x)$$

Поскольку ahm ≠ 0 , это приводит к многочлену T ( x ) степени m − 1 с ahm в качестве коэффициента члена высшего порядка. Учитывая вышеизложенное предположение и m - 1 парных разностей (в результате чего получается m парных разностей для S ( x ) ), можно найти, что: $$\Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!$$

Это завершает доказательство.

Приложение

Это тождество можно использовать для поиска полинома самой низкой степени, который пересекает несколько точек ( x , y ) , где разница по оси x от одной точки до другой является константой h ≠ 0 . Например, учитывая следующие моменты:

х	и
1	4
4	109
7	772
10	2641
13	6364

Мы можем использовать таблицу различий, где для всех ячеек справа от первого y существует следующее отношение к ячейкам в столбце непосредственно слева для ячейки ( a + 1, b + 1) с вершиной- самая левая ячейка находится в координате (0, 0) : $$(a+1,b+1)=(a,b+1)-(a,b)$$

Для нахождения первого члена можно использовать следующую таблицу:

х	и	ΔΔy	Д 2 и	Д 3 и
1	4
4	109	105
7	772	663	558
10	2641	1869	1206	648
13	6364	3723	1854	648

Это приводит к константе 648 . Арифметическая разность равна h = 3 , как установлено выше. Учитывая количество парных разностей, необходимых для достижения константы, можно предположить, что это полином 3-й степени . Таким образом, используя тождество выше: $$648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162$$

Решая для a , можно найти, что оно имеет значение 4 . Таким образом, первый член полинома равен 4 x ³ .

Затем вычитаем первый член, который снижает степень полинома, и снова находим конечную разность:

х	и	ΔΔy	Д 2 и
1	4 − 4(1) 3 = 4 − 4 = 0
4	109 − 4(4) 3 = 109 − 256 = −147	−147
7	772 − 4(7) 3 = 772 − 1372 = −600	−453	−306
10	2641 − 4(10) 3 = 2641 − 4000 = −1359	−759	−306
13	6364 − 4(13) 3 = 6364 − 8788 = −2424	−1065	−306

Здесь константа достигается только после двух попарных разностей, что дает следующий результат: $$-306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18$$

Решая для a , который равен −17 , второй член полинома равен −17 x ² .

Переходим к следующему члену, вычитая второй член:

х	и	ΔΔy
1	0 − (−17(1) 2 ) = 0 + 17 = 17
4	−147 − (−17(4) 2 ) = −147 + 272 = 125	108
7	−600 − (−17(7) 2 ) = −600 + 833 = 233	108
10	−1359 − (−17(10) 2 ) = −1359 + 1700 = 341	108
13	−2424 − (−17(13) 2 ) = −2424 + 2873 = 449	108

Таким образом, константа достигается только после одной попарной разницы: $$108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3$$

Можно найти, что a = 36 и, следовательно, третий член многочлена равен 36 x . Вычитая третье слагаемое:

х	и
1	17 − 36(1) = 17 − 36 = −19
4	125 − 36(4) = 125 − 144 = −19
7	233 − 36(7) = 233 − 252 = −19
10	341 − 36(10) = 341 − 360 = −19
13	449 − 36(13) = 449 − 468 = −19

Без каких-либо попарных разностей обнаруживается, что 4-й и последний член многочлена представляет собой константу −19 . Таким образом, находится полином низшей степени, пересекающий все точки первой таблицы: $$4x^{3}-17x^{2}+36x-19$$

Ядра произвольного размера

Основная статья: Коэффициент конечной разности

Дополнительная информация: Пятиточечный трафарет.

Используя линейную алгебру, можно построить аппроксимации с использованием конечных разностей, которые используют произвольное количество точек слева и (возможно, другое) количество точек справа от точки оценки для любой производной порядка. Это включает в себя решение линейной системы так, чтобы разложение Тейлора суммы этих точек вокруг точки оценки лучше всего аппроксимировало разложение Тейлора искомой производной. Такие формулы можно представить графически на шестиугольной или ромбовидной сетке. Это полезно для дифференцирования функции на сетке, где по мере приближения к краю сетки приходится выбирать все меньше и меньше точек с одной стороны. Можно построить конечно-разностные аппроксимации для нестандартных (и даже нецелочисленных) шаблонов, учитывая произвольный шаблон и желаемый порядок производной.

Характеристики

• Для всех положительных k и n $$\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).$$
• Правило Лейбница : $$\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$$

В дифференциальных уравнениях

Основная статья: Метод конечных разностей

Важным применением конечных разностей является численный анализ , особенно численных дифференциальных уравнений , целью которого является численное решение обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных . Идея состоит в том, чтобы заменить производные, входящие в дифференциальное уравнение, аппроксимирующими их конечными разностями. Полученные методы называются методами конечных разностей .

Общие применения метода конечных разностей находятся в вычислительной науке и инженерных дисциплинах, таких как теплотехника , механика жидкости и т. д.

серия Ньютона

Ряд Ньютона состоит из членов прямого разностного уравнения Ньютона , названного в честь Исаака Ньютона ; по сути, это интерполяционная формула Грегори – Ньютона (названный в честь Исаака Ньютона и Джеймса Грегори ), впервые опубликованный в его Principia Mathematica в 1687 году, а именно дискретный аналог непрерывного разложения Тейлора,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),$

которое справедливо для любой полиномиальной функции f и для многих (но не всех) аналитических функций . (Это не выполняется, когда f имеет экспоненциальный тип $\pi$. В этом легко убедиться, поскольку функция синуса обращается в нуль при целых числах, кратных $\pi$; соответствующий ряд Ньютона тождественно равен нулю, поскольку в этом случае все конечные разности равны нулю. Однако очевидно, что синусоидальная функция не равна нулю.) Здесь выражение $${\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}$$- биномиальный коэффициент , а $$(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$$является « падающим факториалом » или «нижним факториалом», в то время как пустой продукт ( x ) ₀ определяется как 1. В этом конкретном случае предполагается, что изменения значений x , h = 1 выполняются с единичными шагами. обобщения ниже.

Обратите внимание на формальное соответствие этого результата теореме Тейлора . Исторически это, как и тождество Чу-Вандермонда , $$(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},$$(следующие из нее и соответствующие биномиальной теореме ), входят в наблюдения, созревшие до системы теневого исчисления .

Разложения в ряд Ньютона могут превосходить разложения в ряд Тейлора при применении к дискретным величинам, таким как квантовые спины (см. Преобразование Гольштейна – Примакова ), бозонные операторные функции или статистика дискретного счета.

Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать формулу Ньютона на практике, рассмотрим первые несколько членов удвоения последовательности Фибоначчи f = 2, 2, 4,... Можно найти полином , воспроизводящий эти значения, сначала вычислив таблицу разностей: а затем подставив разности, соответствующие x ₀ (подчеркнуто), в формулу следующим образом: $${\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}$$

Для случая неравномерных шагов в значениях x Ньютон вычисляет разделенные разности : $$\Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}$$серия продуктов, $${P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),$$и полученный полином является скалярным произведением , $$f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).$$

При анализе с использованием p -адических чисел теорема Малера утверждает, что предположение о том, что f является полиномиальной функцией, может быть ослаблено вплоть до предположения, что f просто непрерывна.

Теорема Карлсона обеспечивает необходимые и достаточные условия уникальности ряда Ньютона, если он существует. Однако ряда Ньютона вообще не существует.

Ряд Ньютона, вместе с рядом Стирлинга и рядом Сельберга , является частным случаем общего разностного ряда , каждый из которых определяется в терминах соответственно масштабированных прямых разностей.

В сжатом и несколько более общем виде с равноудаленными узлами формула выглядит следующим образом: $$f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).$$

Исчисление конечных разностей

Прямую разность можно рассматривать как оператор , называемый оператором разности отображает функцию f в Δh _{, который} [ f ] . Этот оператор составляет $$\Delta _{h}=T_{h}-I,$$ где T _h — оператор сдвига с шагом h , определяемый формулой T _h [ f ]( x ) = f ( x + h ) , а I — тождественный оператор .

Конечная разность более высоких порядков может быть определена рекурсивно как ∆ ^н
_час ≡ Δ _час (Δ ^{п - 1}
_ч ) . Другое эквивалентное определение: ∆ ^н
_час знак равно [ Т _час - я ] ^н .

Разностный оператор ∆h _{, как таковой ,} является линейным оператором он удовлетворяет условию [ _∆h αf + βg ] ( ) = α ∆h _x [ f ]( x ) + β ∆ _h [ g ]( x ) .

специальному правилу Лейбница Он также удовлетворяет указанному выше : Δ _час ( ж ( Икс ) г ( Икс )) знак равно ( Δ _час ж ( Икс )) г ( Икс + час ) + ж ( Икс ) (Δ _час г ( Икс )) . Аналогичные утверждения справедливы для обратных и центральных различий.

Формальное применение ряда Тейлора по отношению к h дает формулу $$\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =e^{hD}-I,$$где D обозначает оператор производной континуума, отображающий f в его производную f ′ . Разложение справедливо, когда обе части действуют на аналитические функции при достаточно малом h . Таким образом, T _h = e ^HD и формальное обращение экспоненциальной доходности $$hD=\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots .$$Эта формула справедлива в том смысле, что оба оператора дают один и тот же результат при применении к многочлену.

Даже для аналитических функций сходимость правого ряда не гарантируется; это может быть асимптотический ряд . Однако его можно использовать для получения более точных приближений производной. Например, сохранение первых двух членов ряда дает аппроксимацию второго порядка для f ′( x ), упомянутую в конце раздела § Разности высшего порядка .

Аналогичные формулы для обратного и центрального разностных операторов имеют вид $$hD=-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right).$$

Исчисление конечных разностей связано с теневым исчислением комбинаторики. Это удивительно систематическое соответствие обусловлено идентичностью коммутаторов теневых величин с их континуальными аналогами ( h → 0 пределы ),

$\left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,T_{h}^{-1}\right]=[D,x]=I.$

Большое количество формальных дифференциальных отношений стандартного исчисления, включающих функции f ( x ) Таким образом, систематически отображаются в теневые конечно-разностные аналоги, включающие f ( xT ⁻¹
_ч ) .

Например, теневой аналог монома x ^н является обобщением приведенного выше падающего факториала ( k-символ Поххаммера ), $$(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )},$$ так что $${\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},$$отсюда и приведенная выше формула интерполяции Ньютона (путем сопоставления коэффициентов в разложении произвольной функции f ( x ) по таким символам) и так далее.

Например, теневой синус $$\sin \left(x\,T_{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots$$

Как и в континуальном пределе , собственная функция ⁠ ⁠ Δ _h / h ⁠ также бывает экспонентой,

${\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},$

и, следовательно, суммы Фурье непрерывных функций легко точно отображаются в теневые суммы Фурье , т. е. с использованием тех же коэффициентов Фурье, умножающих эти теневые базисные экспоненты. Таким образом, эта теневая экспонента равна экспоненциальной производящей функции символов Поххаммера .

Так, например, дельта-функция Дирака отображается на своего теневого корреспондента, кардинальную синусоидальную функцию : $$\delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},$$и так далее. Разностные уравнения часто можно решить с помощью методов, очень похожих на методы решения дифференциальных уравнений .

Обратный оператор прямого разностного оператора, то есть теневой интеграл, представляет собой оператор неопределенной суммы или антиразности.

Правила исчисления конечно-разностных операторов

Аналогично правилам нахождения производной имеем:

• Правило констант : если c — константа , то $$\Delta c=0$$
• Линейность : если a и b — константы , $$\Delta (a\ f+b\ g)=a\ \Delta f+b\ \Delta g$$

Все вышеперечисленные правила одинаково хорошо применимы к любому разностному оператору относительно Δ , включая δ и ∇ .

• Правило продукта : $${\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\[4pt]\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}$$
• Правило частностей : $$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)=\left.\left(\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\right)\right/\left(g\cdot \det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)$$ или $$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}$$
• Правила суммирования : $${\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}$$

См. ссылки.

Обобщения

• Обобщенная конечная разность обычно определяется как $$\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),$$ где µ = ( µ ₀ , …, µ _N ) — вектор его коэффициентов. Бесконечная разность — это дальнейшее обобщение, в котором приведенная выше конечная сумма заменяется бесконечным рядом . обобщения состоит в том, чтобы сделать коэффициенты от _µk точки x : µk _{Другой способ} = µk _{зависящими} ( x ) , таким образом рассматривая взвешенную конечную разность . Также можно сделать так, чтобы шаг h зависел от точки x : h = h ( x ) . Такие обобщения полезны для построения различных модулей непрерывности .
• Обобщенную разность можно рассматривать как кольца R [ THh _] . полиномов Это приводит к разностным алгебрам.
• Разностный оператор обобщает обращение Мёбиуса над частично упорядоченным множеством .
• В качестве оператора свертки: с помощью формализма алгебр инцидентности разностные операторы и другие инверсии Мёбиуса могут быть представлены сверткой с функцией на частично упорядоченном множестве, называемой функцией Мёбиуса μ ; для разностного оператора µ — это последовательность (1, −1, 0, 0, 0, …) .

Многомерные конечные разности

Конечные разности можно рассматривать более чем по одной переменной. Они аналогичны частным производным по нескольким переменным.

Некоторые приближения частных производных: $${\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}$$

Альтернативно, для приложений, в которых вычисление f является наиболее дорогостоящим шагом и необходимо вычислить как первую, так и вторую производные, более эффективная формула для последнего случая: $$f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},$$поскольку единственные значения для вычисления, которые еще не нужны для предыдущих четырех уравнений, - это f ( x + h , y + k ) и f ( x − h , y − k ) .

См. также

• Дискретное исчисление
• Разделенные различия
• Метод конечных разностей во временной области (FDTD)
• Метод конечного объема
• Схема ФТСС
• Гипотеза Гилбрета
• Последовательность Шеффера
• Суммирование по частям
• Расчет шкалы времени
• Разностная схема против ветра для конвекции

Ссылки

• Ричардсон, CH (1954): Введение в исчисление конечных разностей (Ван Ностранд (1954) онлайн-копия
• Микенс, Р.Э. (1991): Разностные уравнения: теория и приложения (Чепмен и Холл / CRC) ISBN   978-0442001360

Внешние ссылки

• «Исчисление в конечных разностях» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Таблица полезных формул конечных разностей, созданная с помощью Mathematica
• Д. Гляйх (2005), Конечное исчисление: руководство по решению неприятных сумм
• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек