Теорема Карлсона

В математике , в области комплексного анализа , теорема Карлсона — это теорема единственности , открытая Фрицем Дэвидом Карлсоном . Неформально он утверждает, что две разные аналитические функции, которые не очень быстро растут на бесконечности, не могут совпадать в целых числах. Теорема может быть получена из теоремы Фрагмена-Линделёфа , которая сама по себе является расширением теоремы о максимальном модуле .

Теорема Карлсона обычно используется для защиты уникальности разложения в ряд Ньютона . Теорема Карлсона имеет обобщенные аналоги для других разложений.

Заявление

Предположим, что $f$ удовлетворяет следующим трем условиям. Первые два условия ограничивают рост $f$ на бесконечности, тогда как третье утверждает, что $f$ обращается в нуль в неотрицательных целых числах.

$f (z)$ — целая функция экспоненциального типа , то есть $|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C}$ для некоторых вещественных значений $C$ , $τ$ .
Существует $c < π$ такое, что $|f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R}$
$f (n) = 0$ для каждого неотрицательного целого числа $n$ .

Тогда $f$ тождественно равен нулю .

Резкость

Первое условие

Первое условие можно ослабить: достаточно предположить, что $f$ аналитична в $Re z > 0$ , непрерывна в $Re z \geq 0$ и удовлетворяет условиям

$|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad \operatorname {Re} z>0$

для некоторых вещественных значений $C$ , $τ$ .

Второе условие

Чтобы убедиться в точности второго условия, рассмотрим функцию $f (z) = sin(π z)$ . Он исчезает в целых числах; однако он растет экспоненциально на мнимой оси со скоростью роста $c = π$ и действительно не равен тождественному нулю.

Третье условие

Результат Рубеля (1956) ослабляет условие, согласно которому $f$ обращается в нуль в целых числах. А именно, Рубель показал, что заключение теоремы остается в силе, если $f$ обращается в нуль на подмножестве $A \subset {0, 1, 2, ...}$ верхней плотности 1, а это означает, что

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|A\cap \{0,1,\ldots ,n-1\}\right|}{n}}=1.$

Это условие является точным, а это означает, что теорема неверна для множеств $A$ верхней плотности меньше 1.

Приложения

Предположим, $f (z)$ — функция, которая обладает всеми конечными прямыми разностями. $\Delta ^{n}f(0)$ . Рассмотрим тогда ряд Ньютона

$g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z \choose n}\,\Delta ^{n}f(0)$

с ${\textstyle {z \choose n}}$ - биномиальный коэффициент и $\Delta ^{n}f(0)$ – это $n$ -я прямая разность . По построению тогда имеем, что $f (k) = g (k)$ для всех неотрицательных целых чисел $k$ , так что разность $h (k) = f (k) - g (k) = 0$ . Это одно из условий теоремы Карлсона; если $h$ подчиняется остальным, то $h$ тождественно равен нулю, а конечные разности $f$ однозначно определяют его ряд Ньютона. То есть, если ряд Ньютона для $f$ существует и разность удовлетворяет условиям Карлсона, то $f$ уникален.

См. также

Ссылки

Ф. Карлсон, Об одном классе рядов Тейлора , (1914) Диссертация, Уппсала, Швеция, 1914.
Рисс, М. (1920). «Sur le principe de Phragmén – Lindelöf». Труды Кембриджского философского общества . 20 : 205–107. , кор 21 (1921) с. 6.
Харди, GH (1920). «О двух теоремах Ф. Карлсона и С. Вигерта» . Акта Математика . 42 : 327–339. дои : 10.1007/bf02404414 .
EC Титчмарш , Теория функций (2-е изд.) (1939) Oxford University Press (см. раздел 5.81)
Р. П. Боас-младший, Все функции , (1954) Academic Press, Нью-Йорк.
ДеМар, Р. (1962). «Существование интерполирующих функций экспоненциального типа» . Пер. амер. Математика. Соц . 105 (3): 359–371. дои : 10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6 .
ДеМар, Р. (1963). «Исчезновение центральных различий» . Учеб. амер. Математика. Соц . 14 : 64–67. дои : 10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2 .
Рубель, Л. А. (1956), «Необходимые и достаточные условия теоремы Карлсона о целых функциях», Trans. амер. Математика. Соц. , 83 (2): 417–429, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8 , JSTOR 1992882 , MR 0081944 , PMC 528143 , PMID 16578453