Теорема Малера

В математике теорема Малера , введенная Куртом Малером ( 1958 ), выражает любую непрерывную p -адическую функцию как бесконечную серию определенных специальных полиномов . Это p -адический аналог теоремы Стоуна-Вейерштрасса для непрерывных вещественных функций на замкнутом интервале.

Заявление

Позволять $(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)$ быть оператором прямой разности . Тогда для любой p -адической функции $f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Q} _{p}$ , теорема Малера утверждает, что $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда его ряд Ньютона всюду сходится к $f$ , так что для всех $x\in \mathbb {Z} _{p}$ у нас есть

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\Delta ^{n}f)(0){x \choose n},

где

{x \choose n}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}{n!}}

это $n$ й биномиальный коэффициент полинома. Здесь $n$ прямая разность вычисляется с помощью биномиального преобразования , так что $(\Delta ^{n}f)(0)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}f(k).$ Более того, у нас есть такое $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда коэффициенты $(\Delta ^{n}f)(0)\to 0$ в $\mathbb {Q} _{p}$ как $n\to \infty$ .

Примечательно, что в p -адической ситуации достаточно такого слабого предположения, как непрерывность, чтобы установить сходимость рядов Ньютона. Напротив, ряды Ньютона в области комплексных чисел имеют гораздо более жесткие ограничения и требуют теоремы Карлсона выполнения .

Ссылки

Малер, К. (1958), «Интерполяционный ряд для непрерывных функций p-адической переменной» , Журнал чистой и прикладной математики , 1958 (199): 23–34, doi : 10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN 0075-4102 , МР 0095821 , С2КИД 199546556