Теорема Малера о компактности

В математике , характеризующим множества решеток , теорема о компактности Малера , доказанная Куртом Малером ( 1946 ), является основополагающим результатом о решетках в евклидовом пространстве которые «ограничены» в определенном смысле. С другой стороны, он объясняет, каким образом решетка может вырождаться ( уходить в бесконечность ) в последовательности решеток. Интуитивно это говорит о том, что это возможно только двумя способами: стать более крупнозернистым с фундаментальной областью , которая имеет все больший объем; или содержащие все более и более короткие векторы. Ее также называют его теоремой выбора , следуя более старому соглашению, используемому для обозначения теорем компактности, поскольку они были сформулированы в терминах последовательной компактности (возможности выбора сходящейся подпоследовательности).

Пусть X — пространство

$\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

который параметризует решетки в $\mathbb {R} ^{n}$, с его фактортопологией . Существует четко определенная функция Δ на X , которая является абсолютным значением определителя целочисленная матрица матрицы – она постоянна для смежных классов , поскольку обратимая имеет определитель 1 или -1.

Теорема Малера о компактности утверждает, что подмножество Y в X относительно компактно тогда и только тогда, когда ∆ ограничено на Y и существует окрестность N точки 0 в $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что для всех Λ в Y единственной точкой решетки Λ в N является сам 0.

Утверждение теоремы Малера эквивалентно компактности пространства решеток единичного объема в $\mathbb {R} ^{n}$ которого систола больше или равна любой фиксированной $\varepsilon >0$.

Теорема Малера о компактности была обобщена на полупростые группы Ли Дэвидом Мамфордом ; см. теорему о компактности Мамфорда .

Ссылки

• Уильям Эндрю Коппел (2006), Теория чисел , с. 418.

• Малер, Курт (1946), «О точках решетки в n -мерных звездных телах. I. Теоремы существования», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: Математические, физические и технические науки , 187 : 151–187, doi : 10.1098/rspa.1946.0072 , ISSN   0962-8444 , JSTOR   97965 , MR   0017753