Последовательно компактное пространство

В математике топологическое пространство X называется секвенциально компактным , если каждая последовательность точек в X имеет сходящую подпоследовательность , сходящуюся к точке из X. $X$ .

Каждое метрическое пространство, естественно, является топологическим пространством, и для метрических пространств понятия компактности и секвенциальной компактности эквивалентны (если предположить счетный выбор ). Однако существуют секвенциально компактные топологические пространства, которые не являются компактными, и компактные топологические пространства, которые не являются секвенциально компактными.

Примеры и свойства [ править ]

Пространство всех действительных чисел стандартной топологии не является секвенциально компактным; последовательность $(s_{n})$ данный $s_{n}=n$ для всех натуральных чисел $n$ последовательность, не имеющая сходящейся подпоследовательности.

Если пространство является метрическим пространством , то оно секвенциально компактно тогда и только тогда, когда оно компактно . ^[1] Первый несчетный ординал с порядковой топологией является примером секвенциально компактного топологического пространства, которое не является компактным. Продукт $2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ копии замкнутого единичного интервала являются примером компактного пространства, которое не является секвенциально компактным. ^[2]

Связанные понятия [ править ]

Топологическое пространство $X$ называется предельным компактом, если каждое бесконечное подмножество $X$ имеет предельную точку $X$ , и счетно компактно , если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. В метрическом пространстве понятия секвенциальной компактности, компактности предельной точки, счетной компактности и компактности эквивалентны (если принять аксиому выбора ).

В секвенциальном (хаусдорфовом) пространстве секвенциальная компактность эквивалентна счётной компактности. ^[3]

Существует также понятие одноточечной последовательной компактификации — идея состоит в том, что все несходящиеся последовательности должны сходиться к дополнительной точке. ^[4]

См. также [ править ]

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Ограниченная последовательность в конечномерном евклидовом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность.
Пространство Фреше – Урысона - Свойство топологического пространства.
Карты покрытия последовательностей
Секвенциальное пространство - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.

Примечания [ править ]

^ Уиллард, 17G, с. 125.
^ Стин и Зеебах, Пример 105 , стр. 125–126.
^ Энгелькинг, Общая топология, теорема 3.10.31.
КП Харт, Джун-ити Нагата, Дж. Э. Воган (редакторы), Энциклопедия общей топологии, глава d3 (П. Саймон)
^ Браун, Рональд, «Последовательно правильные карты и последовательноекомпактификация», J. London Math Soc. (2) 7 (1973)515-522.

Ссылки [ править ]

Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6 .

Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Уиллард, 17G, с. 125.

[2] Стин и Зеебах, Пример 105 , стр. 125–126.

[3] Энгелькинг, Общая топология, теорема 3.10.31.
КП Харт, Джун-ити Нагата, Дж. Э. Воган (редакторы), Энциклопедия общей топологии, глава d3 (П. Саймон)

[4] Браун, Рональд, «Последовательно правильные карты и последовательноекомпактификация», J. London Math Soc. (2) 7 (1973)515-522.

[1]

[2]

[3]

[4]