Пространство Фреше – Урысона

В области топологии пространство Фреше – Урысона является топологическим пространством. $X$ со свойством, что для каждого подмножества $S\subseteq X$ закрытие ​ ​ $S$ в $X$ идентично последовательному закрытию $S$ в $X.$ Пространства Фреше–Урысона представляют собой особый тип секвенциального пространства .

Объект назван в честь Мориса Фреше и Павла Урысона .

Определения

См. Также: Последовательное пространство

Позволять $(X,\tau )$ быть топологическим пространством . Последовательное закрытие ​ $S$ в $(X,\tau )$ это набор: $${\begin{alignedat}{4}\operatorname {scl} S:&=[S]_{\operatorname {seq} }:=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists a sequence }}s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq S{\text{ in }}S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x{\text{ in }}(X,\tau )\right\}\end{alignedat}}$$

где $\operatorname {scl} _{X}S$ или $\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S$ можно написать, если нужна ясность.

Топологическое пространство $(X,\tau )$ называется пространством Фреше–Урысона, если $$\operatorname {cl} _{X}S=\operatorname {scl} _{X}S$$

для каждого подмножества $S\subseteq X,$ где $\operatorname {cl} _{X}S$ означает закрытие ​ $S$ в $(X,\tau ).$

Последовательно открытые/закрытые множества

Предположим, что $S\subseteq X$ это любое подмножество $X.$ Последовательность $x_{1},x_{2},\ldots$ в конце концов в $S$ если существует целое положительное число $N$ такой, что $x_{i}\in S$ для всех индексов $i\geq N.$

Набор $S$ называется последовательно открытой, если каждая последовательность $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ который сходится к точке $S$ в конце концов в $S$; Обычно, если $X$ тогда понятно $\operatorname {scl} S$ пишется вместо $\operatorname {scl} _{X}S.$

Набор $S$ называется последовательно замкнутым, если $S=\operatorname {scl} _{X}S,$ или, что то же самое, если всякий раз, когда $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $S$ сходящиеся к $x,$ затем $x$ также должен быть в $S.$ Дополнением к секвенциально открытому множеству является секвенциально замкнутое множество, и наоборот.

Позволять $${\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ):&=\left\{S\subseteq X~:~S{\text{ is sequentially open in }}(X,\tau )\right\}\\&=\left\{S\subseteq X~:~S=\operatorname {SeqInt} _{(X,\tau )}S\right\}\\\end{alignedat}}$$

обозначают множество всех последовательно открытых подмножеств $(X,\tau ),$ где это может быть обозначено $\operatorname {SeqOpen} X$ это топология $\tau$ понятно. Набор $\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )$ это топология на $X$ это тоньше исходной топологии $\tau .$ Каждое открытое (соответственно закрытое) подмножество $X$ последовательно открыт (соответственно последовательно закрыт), из чего следует, что $$\tau \subseteq \operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).$$

Сильное пространство Фреше–Урысона.

Топологическое пространство $X$ является сильным пространством Фреше–Урысона, если для каждой точки $x\in X$ и каждая последовательность $A_{1},A_{2},\ldots$ подмножеств пространства $X$ такой, что $x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}},$ существует последовательность $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ такой, что $a_{i}\in A_{i}$ для каждого $i\in \mathbb {N}$ и $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x$ в $(X,\tau ).$ Вышеуказанные свойства можно выразить как принципы отбора .

В отличие от последовательных пространств

Каждое открытое подмножество $X$ секвенциально открыто, и каждое замкнутое множество секвенциально замкнуто. Однако обратные утверждения, как правило, неверны. Пространства, для которых справедливы обратные утверждения, называются секвенциальными пространствами ; то есть секвенциальное пространство - это топологическое пространство, в котором каждое секвенциально открытое подмножество обязательно открыто, или, что то же самое, это пространство, в котором каждое секвенциально замкнутое подмножество обязательно закрыто. Каждое пространство Фреше-Урысона является секвенциальным пространством, но существуют секвенциальные пространства, которые не являются пространствами Фреше-Урысона.

Секвенциальные пространства (соответственно пространства Фреше-Урысона) можно рассматривать/интерпретировать как именно такие пространства. $X$ где для любого заданного подмножества $S\subseteq X,$ знание того, какие последовательности в $X$ сходятся к какой точке(ам) $X$ (а какие нет) достаточно, чтобы определить, является ли $S$ закрыт в $X$ (соответственно достаточно для замыкания определения $S$ в $X$). Таким образом, секвенциальные пространства — это пространства $X$ для каких последовательностей в $X$ может использоваться как «тест», чтобы определить, является ли какое-либо данное подмножество открытым (или, что то же самое, закрытым) в $X$; или, другими словами, секвенциальные пространства — это те пространства, топологии которых можно полностью охарактеризовать с точки зрения сходимости последовательностей. В любом пространстве, которое не является последовательным, существует подмножество, для которого этот «тест» дает « ложноположительный результат ».

Характеристики

Если $(X,\tau )$ является топологическим пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является пространством Фреше–Урысона.
2. Определение: $\operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S$ для каждого подмножества $S\subseteq X.$
3. $\operatorname {scl} _{X}S~\supseteq ~\operatorname {cl} _{X}S$ для каждого подмножества $S\subseteq X.$
   • Это утверждение эквивалентно приведенному выше определению, поскольку $\operatorname {scl} _{X}S~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}S$ всегда держится для каждого $S\subseteq X.$
4. Каждое подпространство $X$ является секвенциальным пространством .
5. Для любого подмножества $S\subseteq X$ который не закрыт внутри $X$ и для каждого $x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,$ существует последовательность в $S$ который сходится к $x.$
   • Сравните это условие со следующей характеристикой секвенциального пространства :

   Для любого подмножества $S\subseteq X$ который не закрыт внутри $X,$ существует какой-то $x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S$ для которого существует последовательность в $S$ который сходится к $x.$

   • Из этой характеристики следует, что каждое пространство Фреше–Урысона является секвенциальным пространством.

Приведенная ниже характеристика показывает, что среди секвенциальных пространств Хаусдорфа пространства Фреше – Урысона - это именно те, для которых всегда можно найти « конфинальную сходящую диагональную последовательность», аналогично диагональному принципу , который используется для характеристики топологий в терминах сходящихся сетей . В следующей характеристике предполагается, что вся сходимость имеет место в $(X,\tau ).$

Если $(X,\tau )$ является Хаусдорфа секвенциальным пространством , тогда $X$ является пространством Фреше–Урысона тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: если $\left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $X$ которые сходятся к некоторым $x\in X$ и если для каждого $l\in \mathbb {N} ,$ $\left(x_{l}^{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $X$ который сходится к $x_{l},$ где эти гипотезы можно резюмировать следующей диаграммой

$${\begin{alignedat}{11}&x_{1}^{1}~\;~&x_{1}^{2}~\;~&x_{1}^{3}~\;~&x_{1}^{4}~\;~&x_{1}^{5}~~&\ldots ~~&x_{1}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{1}\\[1.2ex]&x_{2}^{1}~\;~&x_{2}^{2}~\;~&x_{2}^{3}~\;~&x_{2}^{4}~\;~&x_{2}^{5}~~&\ldots ~~&x_{2}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{2}\\[1.2ex]&x_{3}^{1}~\;~&x_{3}^{2}~\;~&x_{3}^{3}~\;~&x_{3}^{4}~\;~&x_{3}^{5}~~&\ldots ~~&x_{3}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{3}\\[1.2ex]&x_{4}^{1}~\;~&x_{4}^{2}~\;~&x_{4}^{3}~\;~&x_{4}^{4}~\;~&x_{4}^{5}~~&\ldots ~~&x_{4}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{4}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\[0.5ex]&x_{l}^{1}~\;~&x_{l}^{2}~\;~&x_{l}^{3}~\;~&x_{l}^{4}~\;~&x_{l}^{5}~~&\ldots ~~&x_{l}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{l}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\&&&&&&&&&\,\downarrow \\&&&&&&&&~~&\;x\\\end{alignedat}}$$ тогда существуют строго возрастающие отображения $\iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ такой, что $\left(x_{\lambda (n)}^{\iota (n)}\right)_{n=1}^{\infty }\to x.$

(Достаточно рассматривать только последовательности $\left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }$ с бесконечными диапазонами (т.е. $\left\{x_{l}:l\in \mathbb {N} \right\}$ бесконечно), потому что если оно конечно, то из хаусдорфовости следует, что оно обязательно в конечном итоге будет постоянным со значением $x,$ в этом случае существование карт $\iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ для этого специального случая легко проверяется (даже если $(X,\tau )$ не является пространством Фреше–Урысона).

Характеристики

Каждое подпространство пространства Фреше–Урысона является пространством Фреше–Урысона.

Каждое пространство Фреше–Урысона является секвенциальным пространством, хотя противоположное импликация, вообще говоря, неверно.

Если хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство $(X,\tau )$ является пространством Фреше-Урысона, тогда $\tau$ равна окончательной топологии на $X$ индуцированный набором $\operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)$ всех дуг в $(X,\tau ),$ которые по определению являются непрерывными путями $[0,1]\to (X,\tau )$ которые также являются топологическими вложениями .

Примеры

Каждое первое счетное пространство является пространством Фреше–Урысона. Следовательно, каждое счетное до секунды пространство , каждое метризуемое пространство и каждое псевдометризуемое пространство является пространством Фреше–Урысона. Отсюда также следует, что каждое топологическое пространство $(X,\tau )$ на конечном множестве $X$ является пространством Фреше–Урысона.

Метризуемые непрерывные двойственные пространства

Метризуемое ( локально выпуклое топологическое векторное пространство ТВП) $X$ (например, пространство Фреше ) является нормируемым пространством тогда и только тогда, когда его сильное двойственное пространство $X_{b}^{\prime }$ является пространством Фреше–Урысона, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $X_{b}^{\prime }$ является нормальным пространством.

Секвенционные пространства, не являющиеся пространствами Фреше–Урысона.

Прямой предел конечномерных евклидовых пространств

Пространство конечных вещественных последовательностей $\mathbb {R} ^{\infty }$ является секвенциальным пространством Хаусдорфа, не являющимся пространством Фреше–Урысона. Для каждого целого числа $n\geq 1,$ идентифицировать $\mathbb {R} ^{n}$ с набором $\mathbb {R} ^{n}\times \{\left(0,0,0,\ldots \right)\}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\},$ где последнее является подмножеством пространства последовательностей действительных чисел $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} };$ явно, элементы $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ и $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ идентифицируются вместе. В частности, $\mathbb {R} ^{n}$ можно определить как подмножество $\mathbb {R} ^{n+1}$ и, в более общем смысле, как подмножество $\mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}$ для любого целого числа $k\geq 0.$ Позволять $${\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }:=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} ^{n}.\end{alignedat}}$$ Давать $\mathbb {R} ^{\infty }$ обычная топология $\tau ,$ в котором подмножество $S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }$ открыт (соответственно закрыт) тогда и только тогда, когда для любого целого числа $n\geq 1,$ набор $S\cap \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)~:~\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)\in S\right\}$ является открытым (соответственно закрытым) подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ (при этом обычная евклидова топология ). Если $v\in \mathbb {R} ^{\infty }$ и $v_{\bullet }$ представляет собой последовательность в $\mathbb {R} ^{\infty }$ затем $v_{\bullet }\to v$ в $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число $n\geq 1$ такой, что оба $v$ и $v_{\bullet }$ содержатся в $\mathbb {R} ^{n}$ и $v_{\bullet }\to v$ в $\mathbb {R} ^{n}.$ Из этих фактов следует, что $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ представляет собой последовательное пространство. Для каждого целого числа $n\geq 1,$ позволять $B_{n}$ обозначаем открытый шар в $\mathbb {R} ^{n}$ радиуса $1/n$ (в евклидовой норме ) с центром в начале координат. Позволять $S:=\mathbb {R} ^{\infty }\,\setminus \,\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}.$ Затем закрытие $S$ является $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ это все из $\mathbb {R} ^{\infty }$ но происхождение $(0,0,0,\ldots )$ из $\mathbb {R} ^{\infty }$ не относится к последовательному замыканию $S$ в $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right).$ Фактически, можно показать, что $$\mathbb {R} ^{\infty }=\operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S~\neq ~\operatorname {scl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S=\mathbb {R} ^{\infty }\setminus \{(0,0,0,\ldots )\}.$$ Это доказывает, что $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ не является пространством Фреше–Урысона.

Montel DF-пространства

Каждое бесконечномерное Монтеля DF-пространство является секвенциальным пространством, но не пространством Фреше–Урысона.

Пространство Шварца ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ и пространство гладких функций $C^{\infty }(U)$

Следующие широко используемые пространства являются яркими примерами секвенциальных пространств, которые не являются пространствами Фреше – Урысона. Позволять ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ обозначим пространство Шварца и пусть $C^{\infty }(U)$ обозначим пространство гладких функций на открытом подмножестве $U\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ где оба этих пространства имеют свои обычные топологии пространства Фреше , определенные в статье о распределениях . Оба ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ и $C^{\infty }(U),$ а также сильные двойственные пространства обоих этих пространств являются полными ядерными пространствами Монтеля ультраборнологическими , из чего следует, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также паракомпактны. обычные рефлексивные бочкообразные пространства . Сильные дуальные пространства обоих ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ и $C^{\infty }(U)$ являются секвенциальными пространствами, но ни одно из этих двойственных пространств не является пространством Фреше-Урысона .

См. также

• Аксиома счетности – свойство определенных математических объектов (обычно в категории), утверждающее существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Первое счетное пространство - Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестности.
• Предел последовательности - значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
• Карта покрытия последовательности
• Секвенциальное пространство - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.

Ссылки

• Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S., General Topology I , Springer-Verlag, New York (1990) ISBN   3-540-18178-4 .
• Бут П.И. и Тиллотсон А., Моноидальные замкнутые, декартово замкнутые и удобные категории топологических пространств Pacific J. Math., 88 (1980), стр. 35–53.
• Энгелькинг Р., Общая топология , Хелдерманн, Берлин (1989). Переработанное и дополненное издание.
• Франклин С.П., « Пространства, в которых достаточно последовательностей », Fund. Математика. 57 (1965), 107–115.
• Франклин, С.П., « Пространства, в которых достаточно последовательностей II », Fund. Математика. 61 (1967), 51–56.
• Горэм, Энтони, « Последовательная сходимость в топологических пространствах ».
• Стинрод, Н. Е., Удобная категория топологических пространств , Мичиганская математика. Дж., 14 (1967), 133–152.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .