Псевдометрическое пространство

В математике псевдометрическое пространство — это обобщение метрического пространства , в котором расстояние между двумя различными точками может быть равно нулю. Псевдометрические пространства были введены Джуро Курепой. ^[1]^[2] в 1934 году. Точно так же, как каждое нормированное пространство является метрическим пространством , каждое полунормированное пространство является псевдометрическим пространством. Из-за этой аналогии термин полуметрическое пространство (имеющий другое значение в топологии ) иногда используется как синоним, особенно в функциональном анализе .

Когда топология создается с использованием семейства псевдометрик, пространство называется калибровочным пространством .

Определение

Псевдометрическое пространство $(X,d)$ это набор $X$ вместе с неотрицательной действительной функцией $d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$ называется псевдометрический , такой, что для каждого $x,y,z\in X,$

$d(x,x)=0.$
Симметрия : $d(x,y)=d(y,x)$
Субаддитивность / неравенство треугольника : $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

В отличие от метрического пространства, точки в псевдометрическом пространстве не обязательно должны быть различимы ; то есть можно иметь $d(x,y)=0$ для различных значений $x\neq y.$

Примеры

Любое метрическое пространство является псевдометрическим пространством. Псевдометрика естественным образом возникает в функциональном анализе . Рассмотрим пространство ${\mathcal {F}}(X)$ вещественных функций $f:X\to \mathbb {R}$ вместе со специальной точкой $x_{0}\in X.$ Затем эта точка индуцирует псевдометрику в пространстве функций, заданную формулой $d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|$ для $f,g\in {\mathcal {F}}(X)$

Полунорма $p$ индуцирует псевдометрику $d(x,y)=p(x-y)$ . Это функция аффинной функции выпуклая $x$ (в частности, перенос ), а значит, выпуклый в $x$ . (Аналогично для $y$ .)

И наоборот, однородная, трансляционно-инвариантная псевдометрика индуцирует полунорму.

Псевдометрики возникают также в теории гиперболических комплексных многообразий : см. метрику Кобаяши .

Каждое измерение пространства $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ можно рассматривать как полное псевдометрическое пространство, определив $d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)$ для всех $A,B\in {\mathcal {A}},$ где треугольник обозначает симметричную разность .

Если $f:X_{1}\to X_{2}$ — функция, а d ₂ — псевдометрика на X ₂ , то $d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))$ дает псевдометрику на X ₁ . Если d ₂ — метрика и инъективен , 1 то d _f — метрика.

Топология

The псевдометрическая топология - это топология, порожденная открытыми шарами. $B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},$ которые составляют основу топологии. ^[3] Топологическое пространство называется псевдометризуемое пространство ^[4] если пространству можно задать псевдометрику такую, что псевдометрическая топология совпадает с заданной топологией пространства.

Разница между псевдометрикой и метрикой полностью топологическая. То есть псевдометрика является метрикой тогда и только тогда, когда порождаемая ею топология равна T ₀ (т. е. различные точки топологически различимы ).

Определения последовательностей Коши и метрического пополнения для метрических пространств переносятся на псевдометрические пространства без изменений. ^[5]

Идентификация метрики

Исчезновение псевдометрики вызывает отношение эквивалентности , называемое метрической идентификацией , которое преобразует псевдометрическое пространство в полноценное метрическое пространство . Это делается путем определения $x\sim y$ если $d(x,y)=0$ . Позволять $X^{*}=X/{\sim }$ быть факторпространством $X$ этим отношением эквивалентности и определим ${\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}$ Это четко определено, поскольку для любого $x'\in [x]$ у нас есть это $d(x,x')=0$ и так $d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)$ и наоборот. Затем $d^{*}$ является показателем $X^{*}$ и $(X^{*},d^{*})$ является четко определенным метрическим пространством, называемым метрическим пространством, индуцированным псевдометрическим пространством $(X,d)$ . ^[6]^[7]

Метрическая идентификация сохраняет индуцированные топологии. То есть подмножество $A\subseteq X$ открыт (или закрыт) в $(X,d)$ тогда и только тогда, когда $\pi (A)=[A]$ открыт (или закрыт) в $\left(X^{*},d^{*}\right)$ и $A$ является насыщенным . Топологической идентификацией является фактор Колмогорова .

Примером такой конструкции является пополнение метрического пространства его последовательностями Коши .

См. также

Обобщенная метрика – Метрическая геометрия
Метрическая сигнатура - количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений метрического тензора.
Метрическое пространство - математическое пространство с понятием расстояния.
Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.

Примечания

^ Курепа, Джуро (1934). «Разветвленные массивы множеств, псевдодистанцирующие пространства». ЧР акад. наук. Париж . 198 (1934): 1563–1565.
^ Коллатц, Лотар (1966). Функциональный анализ и численная математика . Нью-Йорк, Сан-Франциско, Лондон: Academic Press . п. 51.
^ «Псевдометрическая топология» . ПланетаМатематика .
^ Уиллард, с. 23
^ Каин, Джордж (лето 2000 г.). «Глава 7: Полные псевдометрические пространства» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 7 октября 2020 г. Проверено 7 октября 2020 г.
^ Хоуз, Норман Р. (1995). Современный анализ и топология . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-97986-7 . Проверено 10 сентября 2012 г. Позволять $(X,d)$ быть псевдометрическим пространством и определить отношение эквивалентности $\sim$ в $X$ к $x\sim y$ если $d(x,y)=0$ . Позволять $Y$ быть факторпространством $X/\sim$ и $p:X\to Y$ каноническая проекция, отображающая каждую точку $X$ на класс эквивалентности, который его содержит. Определите метрику $\rho$ в $Y$ к $\rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))$ за каждую пару $a,b\in Y$ . Легко показать, что $\rho$ действительно является показателем и $\rho$ определяет фактортопологию на $Y$ .
^ Саймон, Барри (2015). Комплексный курс анализа . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1470410995 .

Ссылки

Архангельский, А.В. ; Понтрягин, Л.С. (1990). Общая топология I: основные понятия и конструкции. Теория размерности . Энциклопедия математических наук. Спрингер . ISBN 3-540-18178-4 .
Стин, Линн Артур ; Зеебах, Артур (1995) [1970]. Контрпримеры в топологии (новое изд.). Дуврские публикации . ISBN 0-486-68735-Х .
Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( Дуврское переиздание изд. 1970 г.), Аддисон-Уэсли
Эта статья включает в себя материал из псевдометрического пространства на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
«Пример псевдометрического пространства» . ПланетаМатематика .

[1] Курепа, Джуро (1934). «Разветвленные массивы множеств, псевдодистанцирующие пространства». ЧР акад. наук. Париж . 198 (1934): 1563–1565.

[2] Коллатц, Лотар (1966). Функциональный анализ и численная математика . Нью-Йорк, Сан-Франциско, Лондон: Academic Press . п. 51.

[3] «Псевдометрическая топология» . ПланетаМатематика .

[4] Уиллард, с. 23

[5] Каин, Джордж (лето 2000 г.). «Глава 7: Полные псевдометрические пространства» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 7 октября 2020 г. Проверено 7 октября 2020 г.

[6] Хоуз, Норман Р. (1995). Современный анализ и топология . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-97986-7 . Проверено 10 сентября 2012 г. Позволять $(X,d)$ быть псевдометрическим пространством и определить отношение эквивалентности $\sim$ в $X$ к $x\sim y$ если $d(x,y)=0$ . Позволять $Y$ быть факторпространством $X/\sim$ и $p:X\to Y$ каноническая проекция, отображающая каждую точку $X$ на класс эквивалентности, который его содержит. Определите метрику $\rho$ в $Y$ к $\rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))$ за каждую пару $a,b\in Y$ . Легко показать, что $\rho$ действительно является показателем и $\rho$ определяет фактортопологию на $Y$ .

[7] Саймон, Барри (2015). Комплексный курс анализа . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1470410995 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]